Номер 1.5, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.5. Может ли значение суммы (разности) двух чисел быть рациональным числом, если одно из данных чисел иррациональное, а другое -- рациональное? Приведите примеры.

Нет, значение суммы (или разности) иррационального и рационального чисел не может быть рациональным числом. Такое значение всегда будет иррациональным.

Докажем это утверждение методом от противного.

Пусть $a$ — иррациональное число, а $b$ — рациональное число.

Рассмотрим сумму $c = a + b$.

Предположим, что их сумма $c$ является рациональным числом. Тогда из равенства $c = a + b$ мы можем выразить иррациональное число $a$ следующим образом: $a = c - b$.

По определению, разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Поскольку мы предположили, что $c$ — рациональное, и по условию $b$ — рациональное, то их разность $c - b$ также должна быть рациональным числом. Это означает, что $a$ должно быть рациональным числом. Однако это противоречит нашему исходному условию, согласно которому $a$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма иррационального и рационального чисел не может быть рациональным числом.

Рассмотрим разность $d = a - b$.

Аналогично предположим, что разность $d$ является рациональным числом. Тогда из равенства $d = a - b$ выразим $a$: $a = d + b$.

Сумма двух рациональных чисел ($d$ и $b$) всегда является рациональным числом. Следовательно, $a$ должно быть рациональным числом, что снова противоречит исходному условию. Таким образом, разность иррационального и рационального чисел также не может быть рациональным числом.

Примеры:

В соответствии с доказательством, любая сумма или разность иррационального и рационального чисел будет иррациональной.

1. Сумма иррационального числа $\sqrt{2}$ и рационального числа 5: $\sqrt{2} + 5$. Это число является иррациональным.

2. Разность иррационального числа $\pi$ и рационального числа 3: $\pi - 3$. Это число является иррациональным.

3. Сумма иррационального числа $e$ и рационального числа $-0.5$: $e + (-0.5) = e - 0.5$. Это число является иррациональным.

Ответ: Нет, значение суммы (разности) иррационального и рационального чисел не может быть рациональным числом; оно всегда будет иррациональным.