Номер 1.2, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.2. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

1) $-2,\overline{3};$

2) $-5,0\overline{6};$

3) $-12,\overline{124};$

4) $4,21\overline{31};$

5) $123,40\overline{103};$

6) $888,\overline{89}.$

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь используется следующий алгоритм:

1. Обозначить исходную дробь через $x$.
2. Умножить $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр после запятой до периода, чтобы получить число, у которого период начинается сразу после запятой.
3. Умножить полученное число на $10^m$, где $m$ — количество цифр в периоде.
4. Вычесть из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части.
5. Решить полученное уравнение относительно $x$.

1) $-2,(3)$

Сначала преобразуем положительную часть $2,(3)$.
$2,(3) = 2 + 0,(3)$.
Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$
В периоде одна цифра, умножим на 10:
$10x = 3,333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Следовательно, $2,(3) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Тогда $-2,(3) = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$

2) $-5,0(6)$

Сначала преобразуем положительную часть $5,0(6)$.
$5,0(6) = 5 + 0,0(6)$.
Пусть $x = 0,0(6) = 0,0666...$
До периода одна цифра (0), умножим на 10:
$10x = 0,666... = 0,(6)$
В периоде одна цифра (6), умножим на 10:
$100x = 6,666... = 6,(6)$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 6,(6) - 0,(6)$
$90x = 6$
$x = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$
Следовательно, $5,0(6) = 5 + \frac{1}{15} = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{75+1}{15} = \frac{76}{15}$.
Тогда $-5,0(6) = -\frac{76}{15}$.
Ответ: $-\frac{76}{15}$

3) $-12,(124)$

Сначала преобразуем положительную часть $12,(124)$.
$12,(124) = 12 + 0,(124)$.
Пусть $x = 0,(124) = 0,124124...$
В периоде три цифры, умножим на 1000:
$1000x = 124,124124...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - x = 124,124... - 0,124...$
$999x = 124$
$x = \frac{124}{999}$
Следовательно, $12,(124) = 12 + \frac{124}{999} = \frac{12 \cdot 999 + 124}{999} = \frac{11988 + 124}{999} = \frac{12112}{999}$.
Тогда $-12,(124) = -\frac{12112}{999}$.
Ответ: $-\frac{12112}{999}$

4) $4,21(31)$

Представим число как сумму целой и дробной частей: $4,21(31) = 4 + 0,21(31)$.
Пусть $x = 0,21(31) = 0,213131...$
До периода две цифры (21), умножим на 100:
$100x = 21,3131... = 21,(31)$
В периоде две цифры (31), умножим на 100:
$10000x = 2131,3131... = 2131,(31)$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10000x - 100x = 2131,(31) - 21,(31)$
$9900x = 2110$
$x = \frac{2110}{9900} = \frac{211}{990}$
Следовательно, $4,21(31) = 4 + \frac{211}{990} = \frac{4 \cdot 990 + 211}{990} = \frac{3960 + 211}{990} = \frac{4171}{990}$.
Ответ: $\frac{4171}{990}$

5) $123,40(103)$

Представим число как сумму целой и дробной частей: $123,40(103) = 123 + 0,40(103)$.
Пусть $x = 0,40(103) = 0,40103103...$
До периода две цифры (40), умножим на 100:
$100x = 40,103103... = 40,(103)$
В периоде три цифры (103), умножим на 1000:
$100000x = 40103,103103... = 40103,(103)$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 100x = 40103,(103) - 40,(103)$
$99900x = 40063$
$x = \frac{40063}{99900}$
Следовательно, $123,40(103) = 123 + \frac{40063}{99900} = \frac{123 \cdot 99900 + 40063}{99900} = \frac{12287700 + 40063}{99900} = \frac{12327763}{99900}$.
Ответ: $\frac{12327763}{99900}$

6) $888,(89)$

Представим число как сумму целой и дробной частей: $888,(89) = 888 + 0,(89)$.
Пусть $x = 0,(89) = 0,8989...$
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = 89,8989...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 89,89... - 0,89...$
$99x = 89$
$x = \frac{89}{99}$
Следовательно, $888,(89) = 888 + \frac{89}{99} = \frac{888 \cdot 99 + 89}{99} = \frac{87912 + 89}{99} = \frac{88001}{99}$.
Ответ: $\frac{88001}{99}$