Страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.1. Из ряда чисел -22; $-13\frac{4}{23}$; 0; 1; 7; 11,23; $47\frac{3}{11}$; 1298 выпишите:

1) натуральные числа;

2) целые числа;

3) рациональные числа.

1) натуральные числа
Натуральные числа — это целые положительные числа, которые используются при счете ($1, 2, 3, \ldots$). В представленном ряду чисел $ -22; -13\frac{4}{23}; 0; 1; 7; 11,23; 47\frac{3}{11}; 1298 $ к натуральным относятся $1$, $7$ и $1298$.
Ответ: $1; 7; 1298$.

2) целые числа
Целые числа — это множество, состоящее из натуральных чисел, им противоположных отрицательных чисел и нуля ($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$). Из данного ряда к целым числам относятся все натуральные ($1, 7, 1298$), а также $-22$ и $0$. Дробные числа $-13\frac{4}{23}$, $11,23$ и $47\frac{3}{11}$ не являются целыми.
Ответ: $-22; 0; 1; 7; 1298$.

3) рациональные числа
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. К рациональным числам относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и смешанные числа. Все числа в заданном ряду являются рациональными, так как каждое из них можно представить в виде такой дроби:
$-22 = \frac{-22}{1}$
$-13\frac{4}{23} = -\frac{303}{23}$
$0 = \frac{0}{1}$
$1 = \frac{1}{1}$
$7 = \frac{7}{1}$
$11,23 = \frac{1123}{100}$
$47\frac{3}{11} = \frac{520}{11}$
$1298 = \frac{1298}{1}$
Следовательно, все числа из списка являются рациональными.
Ответ: $-22; -13\frac{4}{23}; 0; 1; 7; 11,23; 47\frac{3}{11}; 1298$.

1.2. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

1) $-2,\overline{3};$

2) $-5,0\overline{6};$

3) $-12,\overline{124};$

4) $4,21\overline{31};$

5) $123,40\overline{103};$

6) $888,\overline{89}.$

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь используется следующий алгоритм:

1. Обозначить исходную дробь через $x$.
2. Умножить $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр после запятой до периода, чтобы получить число, у которого период начинается сразу после запятой.
3. Умножить полученное число на $10^m$, где $m$ — количество цифр в периоде.
4. Вычесть из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части.
5. Решить полученное уравнение относительно $x$.

1) $-2,(3)$

Сначала преобразуем положительную часть $2,(3)$.
$2,(3) = 2 + 0,(3)$.
Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$
В периоде одна цифра, умножим на 10:
$10x = 3,333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Следовательно, $2,(3) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Тогда $-2,(3) = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$

2) $-5,0(6)$

Сначала преобразуем положительную часть $5,0(6)$.
$5,0(6) = 5 + 0,0(6)$.
Пусть $x = 0,0(6) = 0,0666...$
До периода одна цифра (0), умножим на 10:
$10x = 0,666... = 0,(6)$
В периоде одна цифра (6), умножим на 10:
$100x = 6,666... = 6,(6)$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 6,(6) - 0,(6)$
$90x = 6$
$x = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$
Следовательно, $5,0(6) = 5 + \frac{1}{15} = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{75+1}{15} = \frac{76}{15}$.
Тогда $-5,0(6) = -\frac{76}{15}$.
Ответ: $-\frac{76}{15}$

3) $-12,(124)$

Сначала преобразуем положительную часть $12,(124)$.
$12,(124) = 12 + 0,(124)$.
Пусть $x = 0,(124) = 0,124124...$
В периоде три цифры, умножим на 1000:
$1000x = 124,124124...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - x = 124,124... - 0,124...$
$999x = 124$
$x = \frac{124}{999}$
Следовательно, $12,(124) = 12 + \frac{124}{999} = \frac{12 \cdot 999 + 124}{999} = \frac{11988 + 124}{999} = \frac{12112}{999}$.
Тогда $-12,(124) = -\frac{12112}{999}$.
Ответ: $-\frac{12112}{999}$

4) $4,21(31)$

Представим число как сумму целой и дробной частей: $4,21(31) = 4 + 0,21(31)$.
Пусть $x = 0,21(31) = 0,213131...$
До периода две цифры (21), умножим на 100:
$100x = 21,3131... = 21,(31)$
В периоде две цифры (31), умножим на 100:
$10000x = 2131,3131... = 2131,(31)$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10000x - 100x = 2131,(31) - 21,(31)$
$9900x = 2110$
$x = \frac{2110}{9900} = \frac{211}{990}$
Следовательно, $4,21(31) = 4 + \frac{211}{990} = \frac{4 \cdot 990 + 211}{990} = \frac{3960 + 211}{990} = \frac{4171}{990}$.
Ответ: $\frac{4171}{990}$

5) $123,40(103)$

Представим число как сумму целой и дробной частей: $123,40(103) = 123 + 0,40(103)$.
Пусть $x = 0,40(103) = 0,40103103...$
До периода две цифры (40), умножим на 100:
$100x = 40,103103... = 40,(103)$
В периоде три цифры (103), умножим на 1000:
$100000x = 40103,103103... = 40103,(103)$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 100x = 40103,(103) - 40,(103)$
$99900x = 40063$
$x = \frac{40063}{99900}$
Следовательно, $123,40(103) = 123 + \frac{40063}{99900} = \frac{123 \cdot 99900 + 40063}{99900} = \frac{12287700 + 40063}{99900} = \frac{12327763}{99900}$.
Ответ: $\frac{12327763}{99900}$

6) $888,(89)$

Представим число как сумму целой и дробной частей: $888,(89) = 888 + 0,(89)$.
Пусть $x = 0,(89) = 0,8989...$
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = 89,8989...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 89,89... - 0,89...$
$99x = 89$
$x = \frac{89}{99}$
Следовательно, $888,(89) = 888 + \frac{89}{99} = \frac{888 \cdot 99 + 89}{99} = \frac{87912 + 89}{99} = \frac{88001}{99}$.
Ответ: $\frac{88001}{99}$

1.3. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби обыкновенную дробь:

1) $- \frac{2}{25}$

2) $-2\frac{12}{17}$

3) $4\frac{3}{11}$

4) $13\frac{23}{39}$

5) $18\frac{5}{12}$

6) $127\frac{12}{41}$

1) Чтобы представить обыкновенную дробь $-\frac{2}{25}$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Поскольку дробь отрицательная, мы сначала найдем десятичное представление для $\frac{2}{25}$, а затем добавим знак минус.

Выполним деление 2 на 25 в столбик:

$2 \div 25 = 0.08$
Так как 2 меньше 25, целая часть равна 0. Ставим запятую.
$20 \div 25 = 0$.
$200 \div 25 = 8$.
$200 - 200 = 0$. Деление завершено без остатка.
Мы получили конечную десятичную дробь $0.08$. Любую конечную десятичную дробь можно записать как бесконечную периодическую, добавив 0 в периоде: $0.08 = 0.08000... = 0.08(0)$.
Следовательно, $-\frac{2}{25} = -0.08(0)$.
Ответ: $-0.08(0)$.

2) Для смешанного числа $-2\frac{12}{17}$ сначала преобразуем его дробную часть $\frac{12}{17}$ в десятичную дробь, разделив 12 на 17. Целая часть -2 останется без изменений.

Выполняем деление 12 на 17 в столбик:

$12 \div 17 = 0.7058823529411764...$
$120 \div 17 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 17 = 0$ (остаток 10)
$100 \div 17 = 5$ (остаток 15)
$150 \div 17 = 8$ (остаток 14)
$140 \div 17 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 17 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 17 = 3$ (остаток 9)
$90 \div 17 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 17 = 2$ (остаток 16)
$160 \div 17 = 9$ (остаток 7)
$70 \div 17 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 17 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 17 = 1$ (остаток 13)
$130 \div 17 = 7$ (остаток 11)
$110 \div 17 = 6$ (остаток 8)
$80 \div 17 = 4$ (остаток 12)
Мы получили остаток 12, который равен исходному числителю. Это значит, что последовательность цифр начнет повторяться. Период состоит из 16 цифр: 7058823529411764.
Таким образом, $\frac{12}{17} = 0.(7058823529411764)$.
Прибавив целую часть и знак минус, получаем: $-2\frac{12}{17} = -2.(7058823529411764)$.
Ответ: $-2.(7058823529411764)$.

3) Для смешанного числа $4\frac{3}{11}$ преобразуем дробную часть $\frac{3}{11}$ в десятичную дробь. Целая часть равна 4.

Делим 3 на 11 в столбик:

$3 \div 11 = 0.2727...$
$30 \div 11 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 11 = 7$ (остаток 3)
Остаток 3 равен исходному числителю, значит, цифры 2 и 7 будут повторяться. Период равен 27.
Следовательно, $\frac{3}{11} = 0.(27)$.
Вместе с целой частью получаем: $4\frac{3}{11} = 4.(27)$.
Ответ: $4.(27)$.

4) Для смешанного числа $13\frac{23}{39}$ преобразуем дробную часть $\frac{23}{39}$ в десятичную дробь. Целая часть равна 13.

Делим 23 на 39 в столбик:

$23 \div 39 = 0.589743...$
$230 \div 39 = 5$ (остаток 35)
$350 \div 39 = 8$ (остаток 38)
$380 \div 39 = 9$ (остаток 29)
$290 \div 39 = 7$ (остаток 17)
$170 \div 39 = 4$ (остаток 14)
$140 \div 39 = 3$ (остаток 23)
Остаток 23 равен исходному числителю, поэтому последовательность цифр 589743 будет повторяться.
Следовательно, $\frac{23}{39} = 0.(589743)$.
Вместе с целой частью получаем: $13\frac{23}{39} = 13.(589743)$.
Ответ: $13.(589743)$.

5) Для смешанного числа $18\frac{5}{12}$ преобразуем дробную часть $\frac{5}{12}$ в десятичную. Целая часть равна 18. Знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$ содержит множитель 3, отличный от 2 и 5, поэтому дробь будет смешанной периодической.

Делим 5 на 12 в столбик:

$5 \div 12 = 0.4166...$
$50 \div 12 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 12 = 1$ (остаток 8)
$80 \div 12 = 6$ (остаток 8)
Остаток 8 начал повторяться, следовательно, цифра 6 будет в периоде. Цифры 4 и 1, полученные до повторяющегося остатка, образуют непериодическую часть (предпериод).
Следовательно, $\frac{5}{12} = 0.41(6)$.
Вместе с целой частью получаем: $18\frac{5}{12} = 18.41(6)$.
Ответ: $18.41(6)$.

6) Для смешанного числа $127\frac{12}{41}$ преобразуем дробную часть $\frac{12}{41}$ в десятичную. Целая часть равна 127.

Делим 12 на 41 в столбик:

$12 \div 41 = 0.29268...$
$120 \div 41 = 2$ (остаток 38)
$380 \div 41 = 9$ (остаток 11)
$110 \div 41 = 2$ (остаток 28)
$280 \div 41 = 6$ (остаток 34)
$340 \div 41 = 8$ (остаток 12)
Остаток 12 равен исходному числителю, поэтому найден период дроби: 29268.
Следовательно, $\frac{12}{41} = 0.(29268)$.
Вместе с целой частью получаем: $127\frac{12}{41} = 127.(29268)$.
Ответ: $127.(29268)$.

1.4. Сравните числа:

1) $0,02305$ и $0,02315$;

2) $0,375$ и $\frac{3}{8}$;

3) $-2,374$ и $-2\frac{3}{7}$;

4) $\frac{11}{14}$ и $\frac{15}{17}$;

5) $-43,3052$ и $-43,30(52)$;

6) $3,(14)$ и $\pi$;

7) $2,(53)$ и $2,53$;

8) $6\frac{1}{7}$ и $6,144$.

1) Сравниваем десятичные дроби 0,02305 и 0,02315 поразрядно слева направо. Целые части у чисел равны нулю. Первые три цифры после запятой (0, 2 и 3) также совпадают. Сравниваем четвертые цифры после запятой: у первого числа это 0, а у второго — 1. Так как $0 < 1$, то и первое число меньше второго. Ответ: $0,02305 < 0,02315$

2) Для сравнения чисел 0,375 и $\frac{3}{8}$ необходимо представить их в одном виде. Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель: $3 \div 8 = 0,375$. Таким образом, мы видим, что данные числа равны. Ответ: $0,375 = \frac{3}{8}$

3) Чтобы сравнить отрицательные числа $-2,374$ и $-2\frac{3}{7}$, сначала сравним их модули (абсолютные значения): $2,374$ и $2\frac{3}{7}$. Для этого преобразуем смешанное число в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{3}{7}$ равна $3 \div 7 \approx 0,42857...$. Значит, $2\frac{3}{7} \approx 2,42857...$. Теперь сравним $2,374$ и $2,42857...$. В разряде десятых у первого числа стоит 3, а у второго — 4. Так как $3 < 4$, то $2,374 < 2\frac{3}{7}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Следовательно, $-2,374 > -2\frac{3}{7}$. Ответ: $-2,374 > -2\frac{3}{7}$

4) Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{14}$ и $\frac{15}{17}$, можно воспользоваться методом перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой. $11 \times 17$ и $15 \times 14$. Вычисляем произведения: $11 \times 17 = 187$ и $15 \times 14 = 210$. Так как $187 < 210$, то и соответствующая дробь меньше: $\frac{11}{14} < \frac{15}{17}$. Ответ: $\frac{11}{14} < \frac{15}{17}$

5) Сравниваем отрицательные числа $-43,3052$ и $-43,30(52)$. Сначала сравним их модули: $43,3052$ и $43,30(52)$. Периодическая дробь $43,30(52)$ записывается как $43,305252...$. Сравним поразрядно $43,305200...$ и $43,305252...$. Первые четыре знака после запятой (3052) у них совпадают. Пятый знак после запятой у первого числа — 0, а у второго — 5. Так как $0 < 5$, то $43,3052 < 43,30(52)$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Значит, $-43,3052 > -43,30(52)$. Ответ: $-43,3052 > -43,30(52)$

6) Сравниваем периодическую дробь $3,(14)$ и иррациональное число $\pi$. Запишем приближенные значения чисел. $3,(14) = 3,141414...$. Число $\pi \approx 3,141592...$. Сравним их поразрядно. Целые части и первые три цифры после запятой (141) совпадают. Четвертая цифра после запятой у первого числа — 4, а у второго — 5. Так как $4 < 5$, то $3,141414... < 3,141592...$. Следовательно, $3,(14) < \pi$. Ответ: $3,(14) < \pi$

7) Сравниваем периодическую дробь $2,(53)$ и конечную десятичную дробь $2,53$. Раскроем запись периодической дроби: $2,(53) = 2,535353...$. Конечную дробь можно представить с нулями на конце: $2,53 = 2,530000...$. Сравнивая $2,5353...$ и $2,5300...$ поразрядно, видим, что первые две цифры после запятой (53) совпадают. Третья цифра у первого числа — 5, а у второго — 0. Так как $5 > 0$, то $2,(53) > 2,53$. Ответ: $2,(53) > 2,53$

8) Сравниваем смешанное число $6\frac{1}{7}$ и десятичную дробь $6,144$. Преобразуем дробную часть смешанного числа в десятичную дробь: $1 \div 7 \approx 0,142857...$. Значит, $6\frac{1}{7} \approx 6,142857...$. Теперь сравним $6,142857...$ и $6,144$. Целые части и первые две цифры после запятой (14) совпадают. Третья цифра после запятой у первого числа — 2, а у второго — 4. Так как $2 < 4$, то $6,142857... < 6,144$. Следовательно, $6\frac{1}{7} < 6,144$. Ответ: $6\frac{1}{7} < 6,144$

1.5. Может ли значение суммы (разности) двух чисел быть рациональным числом, если одно из данных чисел иррациональное, а другое -- рациональное? Приведите примеры.

Нет, значение суммы (или разности) иррационального и рационального чисел не может быть рациональным числом. Такое значение всегда будет иррациональным.

Докажем это утверждение методом от противного.

Пусть $a$ — иррациональное число, а $b$ — рациональное число.

Рассмотрим сумму $c = a + b$.

Предположим, что их сумма $c$ является рациональным числом. Тогда из равенства $c = a + b$ мы можем выразить иррациональное число $a$ следующим образом: $a = c - b$.

По определению, разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Поскольку мы предположили, что $c$ — рациональное, и по условию $b$ — рациональное, то их разность $c - b$ также должна быть рациональным числом. Это означает, что $a$ должно быть рациональным числом. Однако это противоречит нашему исходному условию, согласно которому $a$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма иррационального и рационального чисел не может быть рациональным числом.

Рассмотрим разность $d = a - b$.

Аналогично предположим, что разность $d$ является рациональным числом. Тогда из равенства $d = a - b$ выразим $a$: $a = d + b$.

Сумма двух рациональных чисел ($d$ и $b$) всегда является рациональным числом. Следовательно, $a$ должно быть рациональным числом, что снова противоречит исходному условию. Таким образом, разность иррационального и рационального чисел также не может быть рациональным числом.

Примеры:

В соответствии с доказательством, любая сумма или разность иррационального и рационального чисел будет иррациональной.

1. Сумма иррационального числа $\sqrt{2}$ и рационального числа 5: $\sqrt{2} + 5$. Это число является иррациональным.

2. Разность иррационального числа $\pi$ и рационального числа 3: $\pi - 3$. Это число является иррациональным.

3. Сумма иррационального числа $e$ и рационального числа $-0.5$: $e + (-0.5) = e - 0.5$. Это число является иррациональным.

Ответ: Нет, значение суммы (разности) иррационального и рационального чисел не может быть рациональным числом; оно всегда будет иррациональным.

1.6. Известно, что a, b, c и d рациональные числа. Объясните, почему рациональны и числа: $a + d$; $a \cdot d$; $b : c$; $b - c$; $abc$.

Объяснение основывается на свойстве замкнутости множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) относительно арифметических операций. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — ненулевое целое число ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$). Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Пусть даны рациональные числа $a, b, c, d$. Представим их в виде дробей:
$a = \frac{p_1}{q_1}$, $b = \frac{p_2}{q_2}$, $c = \frac{p_3}{q_3}$, $d = \frac{p_4}{q_4}$
где $p_1, p_2, p_3, p_4$ — целые числа, а $q_1, q_2, q_3, q_4$ — целые ненулевые числа.

a + d
Сумма двух рациональных чисел $a$ и $d$ равна: $a + d = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_4}{q_4} = \frac{p_1q_4 + p_4q_1}{q_1q_4}$. Так как произведение и сумма целых чисел также являются целыми числами, то числитель $p_1q_4 + p_4q_1$ — целое число. Знаменатель $q_1q_4$ — произведение двух ненулевых целых чисел, поэтому он также является ненулевым целым числом. Следовательно, $a+d$ представимо в виде дроби, где числитель — целое, а знаменатель — ненулевое целое, а значит, является рациональным числом.
Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

a · d
Произведение двух рациональных чисел $a$ и $d$ равно: $a \cdot d = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_4}{q_4} = \frac{p_1p_4}{q_1q_4}$. Числитель $p_1p_4$ является целым числом (произведение целых). Знаменатель $q_1q_4$ является ненулевым целым числом. Таким образом, $a \cdot d$ является рациональным числом.
Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

b : c
Частное двух рациональных чисел $b$ и $c$ (при условии, что $c \neq 0$) равно: $b : c = \frac{p_2}{q_2} : \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_2}{q_2} \cdot \frac{q_3}{p_3} = \frac{p_2q_3}{q_2p_3}$. Так как $c \neq 0$, то и его числитель $p_3 \neq 0$. Тогда числитель итоговой дроби $p_2q_3$ — целое число, а знаменатель $q_2p_3$ — ненулевое целое число (произведение двух ненулевых целых). Следовательно, $b:c$ является рациональным числом.
Ответ: Частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) является рациональным числом.

b - c
Разность двух рациональных чисел $b$ и $c$ равна: $b - c = \frac{p_2}{q_2} - \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_2q_3 - p_3q_2}{q_2q_3}$. Числитель $p_2q_3 - p_3q_2$ является целым числом (разность произведений целых чисел). Знаменатель $q_2q_3$ является ненулевым целым числом. Следовательно, $b-c$ является рациональным числом.
Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

abc
Произведение трех рациональных чисел $a, b$ и $c$ равно: $abc = (\frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2}) \cdot \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2} \cdot \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_1p_2p_3}{q_1q_2q_3}$. Числитель $p_1p_2p_3$ является целым числом. Знаменатель $q_1q_2q_3$ является ненулевым целым числом. Следовательно, $abc$ является рациональным числом. Это также можно объяснить последовательным применением свойства замкнутости умножения: произведение $a \cdot b$ рационально, и его произведение на $c$ также рационально.
Ответ: Произведение рациональных чисел является рациональным числом.

1.7. Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен:

1) 3;

2) 5;

3) 7.

1)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $x$, квадрат которого равен 3. То есть $x^2 = 3$.

Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(p, q) = 1$).

Тогда наше предположение можно записать как: $(\frac{p}{q})^2 = 3$.

Возведем дробь в квадрат: $\frac{p^2}{q^2} = 3$.

Из этого равенства следует, что $p^2 = 3q^2$.

Это означает, что $p^2$ делится нацело на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа ($p^2$) делится на 3, то и само это число ($p$) должно делиться на 3. Таким образом, $p$ кратно 3.

Представим $p$ в виде $p = 3k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение обратно в уравнение $p^2 = 3q^2$:

$(3k)^2 = 3q^2$

$9k^2 = 3q^2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3k^2 = q^2$

Из этого нового равенства следует, что $q^2$ также делится нацело на 3. По той же причине (так как 3 — простое число), само число $q$ должно делиться на 3.

Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 3. Это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен 3.

Ответ: Доказано.

2)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $x$, такое что $x^2 = 5$.

Представим $x$ в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Тогда $(\frac{p}{q})^2 = 5$, откуда получаем $p^2 = 5q^2$.

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 5. Так как 5 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 5.

Значит, $p$ можно записать как $p = 5k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в уравнение $p^2 = 5q^2$:

$(5k)^2 = 5q^2$

$25k^2 = 5q^2$

Разделим обе части на 5:

$5k^2 = q^2$

Отсюда следует, что $q^2$ делится на 5, а значит, и $q$ делится на 5.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 5. Это противоречит нашему предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.

Следовательно, исходное предположение неверно, и не существует рационального числа, квадрат которого равен 5.

Ответ: Доказано.

3)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $x$, такое что $x^2 = 7$.

Представим $x$ в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Тогда $(\frac{p}{q})^2 = 7$, откуда получаем $p^2 = 7q^2$.

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 7. Так как 7 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 7.

Значит, $p$ можно записать как $p = 7k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в уравнение $p^2 = 7q^2$:

$(7k)^2 = 7q^2$

$49k^2 = 7q^2$

Разделим обе части на 7:

$7k^2 = q^2$

Отсюда следует, что $q^2$ делится на 7, а значит, и $q$ делится на 7.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 7. Это противоречит нашему предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.

Следовательно, исходное предположение неверно, и не существует рационального числа, квадрат которого равен 7.

Ответ: Доказано.