Страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44. Решите неравенство с параметром:

1) $a \cdot x - 7 > 3$;

2) $c \cdot x + 6 > 3,5$;

3) $a \cdot x - 6 \frac{1}{5} < -5,5$;

4) $8 - c \cdot x \le 7,3$.

1) $a \cdot x - 7 > 3$.
Перенесем число -7 в правую часть неравенства, изменив его знак:
$a \cdot x > 3 + 7$
$a \cdot x > 10$
Для нахождения $x$ необходимо разделить обе части неравенства на параметр $a$. Решение зависит от знака параметра $a$.
1. Если $a > 0$ (положительное число), то при делении на $a$ знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{10}{a}$
2. Если $a < 0$ (отрицательное число), то при делении на $a$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{10}{a}$
3. Если $a = 0$, то исходное неравенство принимает вид $0 \cdot x > 10$, то есть $0 > 10$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $a = 0$ решений нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (\frac{10}{a}; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; \frac{10}{a})$; если $a = 0$, то решений нет.

2) $c \cdot x + 6 > 3,5$.
Перенесем число 6 в правую часть неравенства:
$c \cdot x > 3,5 - 6$
$c \cdot x > -2,5$
Решение зависит от знака параметра $c$.
1. Если $c > 0$, то при делении на $c$ знак неравенства сохраняется:
$x > -\frac{2,5}{c}$
2. Если $c < 0$, то при делении на $c$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -\frac{2,5}{c}$
3. Если $c = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot x > -2,5$, то есть $0 > -2,5$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.
Ответ: если $c > 0$, то $x \in (-\frac{2,5}{c}; +\infty)$; если $c < 0$, то $x \in (-\infty; -\frac{2,5}{c})$; если $c = 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $a \cdot x - 6\frac{1}{5} < -5,5$.
Преобразуем смешанную дробь в десятичную: $6\frac{1}{5} = 6,2$.
$a \cdot x - 6,2 < -5,5$
Перенесем -6,2 в правую часть:
$a \cdot x < -5,5 + 6,2$
$a \cdot x < 0,7$
Решение зависит от знака параметра $a$.
1. Если $a > 0$, то при делении на $a$ знак неравенства сохраняется:
$x < \frac{0,7}{a}$
2. Если $a < 0$, то при делении на $a$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{0,7}{a}$
3. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot x < 0,7$, то есть $0 < 0,7$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty; \frac{0,7}{a})$; если $a < 0$, то $x \in (\frac{0,7}{a}; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $8 - c \cdot x \le 7,3$.
Перенесем 8 в правую часть:
$-c \cdot x \le 7,3 - 8$
$-c \cdot x \le -0,7$
Умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный:
$c \cdot x \ge 0,7$
Решение зависит от знака параметра $c$.
1. Если $c > 0$, то при делении на $c$ знак неравенства сохраняется:
$x \ge \frac{0,7}{c}$
2. Если $c < 0$, то при делении на $c$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{0,7}{c}$
3. Если $c = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot x \ge 0,7$, то есть $0 \ge 0,7$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $c = 0$ решений нет.
Ответ: если $c > 0$, то $x \in [\frac{0,7}{c}; +\infty)$; если $c < 0$, то $x \in (-\infty; \frac{0,7}{c}]$; если $c = 0$, то решений нет.

Решите систему неравенств (45–46):

45. 1)

$\begin{cases} 3x - 9 > -6, \\ 2x + 5 > 4,3 + x; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 4x + 7 > x - 5, \\ 3x - 6,7 < 4,3 + 2,5x; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2,5x + 12,4 > 3x + 1,5, \\ 3x - 6,7 < 4,3 + 4,5x; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2,4x + 3,6 > 2x - 3,4, \\ 5,4x - 8,7 < 7,3 + 2,4x. \end{cases}$

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 9 > -6, \\ 2x + 5 > 4.3 + x; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:
$3x - 9 > -6$
$3x > -6 + 9$
$3x > 3$
$x > 1$

Решаем второе неравенство:
$2x + 5 > 4.3 + x$
$2x - x > 4.3 - 5$
$x > -0.7$

Общее решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $x > 1$ и $x > -0.7$. На числовой оси это множество значений, которые одновременно больше $-0.7$ и больше $1$. Таким образом, решением является $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4x + 7 > x - 5, \\ 3x - 6.7 < 4.3 + 2.5x; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:
$4x + 7 > x - 5$
$4x - x > -5 - 7$
$3x > -12$
$x > -4$

Решаем второе неравенство:
$3x - 6.7 < 4.3 + 2.5x$
$3x - 2.5x < 4.3 + 6.7$
$0.5x < 11$
$x < 22$

Общее решение системы — это пересечение решений $x > -4$ и $x < 22$, что можно записать в виде двойного неравенства $-4 < x < 22$.

Ответ: $x \in (-4; 22)$.

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2.5x + 12.4 > 3x + 1.5, \\ 3x - 6.7 < 4.3 + 4.5x; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:
$2.5x + 12.4 > 3x + 1.5$
$12.4 - 1.5 > 3x - 2.5x$
$10.9 > 0.5x$
$21.8 > x$ или $x < 21.8$

Решаем второе неравенство:
$3x - 6.7 < 4.3 + 4.5x$
$-6.7 - 4.3 < 4.5x - 3x$
$-11 < 1.5x$
$x > -\frac{11}{1.5}$
$x > -\frac{22}{3}$

Общее решение системы — это пересечение решений $x < 21.8$ и $x > -\frac{22}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{22}{3}; 21.8)$.

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2.4x + 3.6 > 2x - 3.4, \\ 5.4x - 8.7 < 7.3 + 2.4x. \end{cases} $

Решаем первое неравенство:
$2.4x + 3.6 > 2x - 3.4$
$2.4x - 2x > -3.4 - 3.6$
$0.4x > -7$
$x > -\frac{7}{0.4}$
$x > -17.5$

Решаем второе неравенство:
$5.4x - 8.7 < 7.3 + 2.4x$
$5.4x - 2.4x < 7.3 + 8.7$
$3x < 16$
$x < \frac{16}{3}$

Общее решение системы — это пересечение решений $x > -17.5$ и $x < \frac{16}{3}$.

Ответ: $x \in (-17.5; \frac{16}{3})$.

46. 1)

$$\begin{cases} 3x - 2 \geq 2,5, \\ |x| \leq 3; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} 2x - 6,1 \geq 4,5, \\ |x| > 3; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} 3|x| - 5 \geq 2,5, \\ |x| \leq 3; \end{cases}$$

4)

$$\begin{cases} 5,1 - 2|x| \leq 4,5, \\ |x| \leq 3. \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2 \ge 2.5 \\ |x| \le 3 \end{cases} $.
Сначала решим первое неравенство:
$3x - 2 \ge 2.5$
$3x \ge 2.5 + 2$
$3x \ge 4.5$
$x \ge \frac{4.5}{3}$
$x \ge 1.5$
Решение первого неравенства — промежуток $x \in [1.5; +\infty)$.
Теперь решим второе неравенство:
$|x| \le 3$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 \le x \le 3$
Решение второго неравенства — промежуток $x \in [-3; 3]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[1.5; +\infty)$ и $[-3; 3]$.
На числовой оси это будет выглядеть так:

Пересечением является промежуток $[1.5; 3]$.
Ответ: $x \in [1.5; 3]$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 6.1 \ge 4.5 \\ |x| > 3 \end{cases} $.
Решим первое неравенство:
$2x - 6.1 \ge 4.5$
$2x \ge 4.5 + 6.1$
$2x \ge 10.6$
$x \ge \frac{10.6}{2}$
$x \ge 5.3$
Решение первого неравенства — промежуток $x \in [5.3; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$|x| > 3$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x > 3$ или $x < -3$
Решение второго неравенства — объединение промежутков $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $[5.3; +\infty) \cap ((-\infty; -3) \cup (3; +\infty))$.
Пересечение с промежутком $(-\infty; -3)$ пусто. Пересечение с промежутком $(3; +\infty)$ дает $[5.3; +\infty)$.

Общим решением является промежуток $[5.3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [5.3; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3|x| - 5 \ge 2.5 \\ |x| \le 3 \end{cases} $.
Решим первое неравенство:
$3|x| - 5 \ge 2.5$
$3|x| \ge 2.5 + 5$
$3|x| \ge 7.5$
$|x| \ge \frac{7.5}{3}$
$|x| \ge 2.5$
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 2.5$ или $x \le -2.5$.
Решение первого неравенства — объединение промежутков $(-\infty; -2.5] \cup [2.5; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$|x| \le 3$
Это равносильно $-3 \le x \le 3$, то есть промежутку $x \in [-3; 3]$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty; -2.5] \cup [2.5; +\infty))$ и $[-3; 3]$.
Это можно сделать по частям:
1) $(-\infty; -2.5] \cap [-3; 3] = [-3; -2.5]$
2) $[2.5; +\infty) \cap [-3; 3] = [2.5; 3]$
Объединив эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-3; -2.5] \cup [2.5; 3]$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5.1 - 2|x| \le 4.5 \\ |x| \le 3 \end{cases} $.
Решим первое неравенство:
$5.1 - 2|x| \le 4.5$
$-2|x| \le 4.5 - 5.1$
$-2|x| \le -0.6$
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$|x| \ge \frac{-0.6}{-2}$
$|x| \ge 0.3$
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 0.3$ или $x \le -0.3$.
Решение первого неравенства — объединение промежутков $(-\infty; -0.3] \cup [0.3; +\infty)$.
Решение второго неравенства $|x| \le 3$ — это промежуток $x \in [-3; 3]$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty; -0.3] \cup [0.3; +\infty))$ и $[-3; 3]$.
Найдем пересечение по частям:
1) $(-\infty; -0.3] \cap [-3; 3] = [-3; -0.3]$
2) $[0.3; +\infty) \cap [-3; 3] = [0.3; 3]$
Объединяем полученные промежутки.

Ответ: $x \in [-3; -0.3] \cup [0.3; 3]$.

47. Найдите наименьшее и наибольшее целые значения переменной x, для которых верно неравенство:

1) $|\frac{5}{8}x - 4| \le 1\frac{2}{9}$;

2) $|4\frac{1}{3}x - 5,3| < 2\frac{4}{9}$;

3) $|9,7 - 5\frac{1}{4}x| \le 9\frac{4}{7}$;

4) $|2,6 - 3\frac{1}{3}x| < 3\frac{2}{3}$.

1) Исходное неравенство $|\frac{5}{8}x - 4| \le 1\frac{2}{9}$.
Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{11}{9} \le \frac{5}{8}x - 4 \le \frac{11}{9}$
Прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-4$ в центре:
$4 - \frac{11}{9} \le \frac{5}{8}x \le 4 + \frac{11}{9}$
$\frac{36}{9} - \frac{11}{9} \le \frac{5}{8}x \le \frac{36}{9} + \frac{11}{9}$
$\frac{25}{9} \le \frac{5}{8}x \le \frac{47}{9}$
Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{8}{5}$:
$\frac{25}{9} \cdot \frac{8}{5} \le x \le \frac{47}{9} \cdot \frac{8}{5}$
$\frac{5 \cdot 8}{9} \le x \le \frac{376}{45}$
$\frac{40}{9} \le x \le \frac{376}{45}$
Для нахождения целых решений преобразуем неправильные дроби в смешанные числа:
$4\frac{4}{9} \le x \le 8\frac{16}{45}$
Примерные десятичные значения: $4,44... \le x \le 8,35...$
Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 5, 6, 7, 8.
Наименьшее из них - 5, а наибольшее - 8.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 5, наибольшее – 8.

2) Исходное неравенство $|4\frac{1}{3}x - 5,3| < 2\frac{4}{9}$.
Неравенство с модулем вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
Сначала переведем все смешанные дроби и десятичные числа в неправильные дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$; $5,3 = \frac{53}{10}$; $2\frac{4}{9} = \frac{22}{9}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{22}{9} < \frac{13}{3}x - \frac{53}{10} < \frac{22}{9}$
Прибавим $\frac{53}{10}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{53}{10} - \frac{22}{9} < \frac{13}{3}x < \frac{53}{10} + \frac{22}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 90:
$\frac{53 \cdot 9 - 22 \cdot 10}{90} < \frac{13}{3}x < \frac{53 \cdot 9 + 22 \cdot 10}{90}$
$\frac{477 - 220}{90} < \frac{13}{3}x < \frac{477 + 220}{90}$
$\frac{257}{90} < \frac{13}{3}x < \frac{697}{90}$
Умножим все части на $\frac{3}{13}$:
$\frac{257}{90} \cdot \frac{3}{13} < x < \frac{697}{90} \cdot \frac{3}{13}$
$\frac{257}{30 \cdot 13} < x < \frac{697}{30 \cdot 13}$
$\frac{257}{390} < x < \frac{697}{390}$
Оценим значения дробей: $\frac{257}{390} \approx 0,66$ и $\frac{697}{390} \approx 1,79$.
Таким образом, $0,66 < x < 1,79$.
Единственное целое число в этом интервале - это 1. Значит, наименьшее и наибольшее целые значения совпадают.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 1, наибольшее – 1.

3) Исходное неравенство $|9,7 - 5\frac{1}{4}x| \le 9\frac{4}{7}$.
Это неравенство вида $|A| \le B$, которое равносильно $-B \le A \le B$.
Переведем все числа в неправильные дроби: $9,7 = \frac{97}{10}$; $5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $9\frac{4}{7} = \frac{67}{7}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{67}{7} \le \frac{97}{10} - \frac{21}{4}x \le \frac{67}{7}$
Вычтем $\frac{97}{10}$ из всех частей:
$-\frac{67}{7} - \frac{97}{10} \le -\frac{21}{4}x \le \frac{67}{7} - \frac{97}{10}$
Приведем к общему знаменателю 70:
$\frac{-670 - 679}{70} \le -\frac{21}{4}x \le \frac{670 - 679}{70}$
$-\frac{1349}{70} \le -\frac{21}{4}x \le -\frac{9}{70}$
Умножим все части на $-\frac{4}{21}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-\frac{9}{70}) \cdot (-\frac{4}{21}) \le x \le (-\frac{1349}{70}) \cdot (-\frac{4}{21})$
$\frac{9 \cdot 4}{70 \cdot 21} \le x \le \frac{1349 \cdot 4}{70 \cdot 21}$
Сократим дроби:
$\frac{3 \cdot 2}{35 \cdot 7} \le x \le \frac{1349 \cdot 2}{35 \cdot 21}$
$\frac{6}{245} \le x \le \frac{2698}{735}$
Оценим значения дробей: $\frac{6}{245} \approx 0,024$ и $\frac{2698}{735} \approx 3,67$.
Неравенство для $x$: $0,024 \le x \le 3,67$.
Целые значения $x$ в этом промежутке: 1, 2, 3.
Наименьшее целое значение равно 1, наибольшее - 3.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 1, наибольшее – 3.

4) Исходное неравенство $|2,6 - 3\frac{1}{3}x| < 3\frac{2}{3}$.
Это неравенство вида $|A| < B$, равносильное $-B < A < B$.
Переведем все числа в неправильные дроби: $2,6 = \frac{13}{5}$; $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{11}{3} < \frac{13}{5} - \frac{10}{3}x < \frac{11}{3}$
Вычтем $\frac{13}{5}$ из всех частей:
$-\frac{11}{3} - \frac{13}{5} < -\frac{10}{3}x < \frac{11}{3} - \frac{13}{5}$
Приведем к общему знаменателю 15:
$\frac{-55 - 39}{15} < -\frac{10}{3}x < \frac{55 - 39}{15}$
$-\frac{94}{15} < -\frac{10}{3}x < \frac{16}{15}$
Умножим все части на $-\frac{3}{10}$ и поменяем знаки неравенства на противоположные:
$\frac{16}{15} \cdot (-\frac{3}{10}) < x < (-\frac{94}{15}) \cdot (-\frac{3}{10})$
$-\frac{16 \cdot 3}{15 \cdot 10} < x < \frac{94 \cdot 3}{15 \cdot 10}$
Сократим дроби:
$-\frac{16}{5 \cdot 10} < x < \frac{94}{5 \cdot 10}$
$-\frac{16}{50} < x < \frac{94}{50}$
$-\frac{8}{25} < x < \frac{47}{25}$
Переведем в десятичные дроби для удобства: $-0,32 < x < 1,88$.
Целые значения $x$ в этом интервале: 0, 1.
Наименьшее целое значение равно 0, наибольшее - 1.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 0, наибольшее – 1.

48. Решите неравенство:

1) $|x - 3| + 2x - 3,2 > 4;$

2) $|2x - 5| - 3x + 1,6 > 7,3;

3) $4|x - 6| - 2x - 5,2 > 7,6;$

4) $3|2x + 3| - 6x - 1,2 > 8,4.$

1) Решим неравенство $|x - 3| + 2x - 3,2 > 4$.

Сначала упростим неравенство, перенеся числовые слагаемые в правую часть:

$|x - 3| + 2x > 4 + 3,2$

$|x - 3| + 2x > 7,2$

Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение $x - 3$ меняет знак, это $x = 3$.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

При этом условии $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:

$(x - 3) + 2x > 7,2$

$3x - 3 > 7,2$

$3x > 7,2 + 3$

$3x > 10,2$

$x > \frac{10,2}{3}$

$x > 3,4$

Найдем пересечение полученного решения $x > 3,4$ с условием этого случая $x \ge 3$. Пересечением является интервал $x > 3,4$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

При этом условии $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Неравенство принимает вид:

$(-x + 3) + 2x > 7,2$

$x + 3 > 7,2$

$x > 7,2 - 3$

$x > 4,2$

Найдем пересечение полученного решения $x > 4,2$ с условием этого случая $x < 3$. Эти два условия противоречат друг другу, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (3,4; +\infty)$

2) Решим неравенство $|2x - 5| - 3x + 1,6 > 7,3$.

Упростим неравенство:

$|2x - 5| - 3x > 7,3 - 1,6$

$|2x - 5| - 3x > 5,7$

Рассмотрим два случая. Точка смены знака подмодульного выражения $2x - 5$ это $x = \frac{5}{2} = 2,5$.

Случай 1: $2x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 2,5$.

Тогда $|2x - 5| = 2x - 5$. Неравенство становится:

$(2x - 5) - 3x > 5,7$

$-x - 5 > 5,7$

$-x > 10,7$

$x < -10,7$

Пересечение $x < -10,7$ и $x \ge 2,5$ является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $2x - 5 < 0$, то есть $x < 2,5$.

Тогда $|2x - 5| = -(2x - 5) = -2x + 5$. Неравенство становится:

$(-2x + 5) - 3x > 5,7$

$-5x + 5 > 5,7$

$-5x > 0,7$

$x < -\frac{0,7}{5}$

$x < -0,14$

Пересечение $x < -0,14$ и $x < 2,5$ дает $x < -0,14$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,14)$

3) Решим неравенство $4|x - 6| - 2x - 5,2 > 7,6$.

Упростим неравенство:

$4|x - 6| - 2x > 7,6 + 5,2$

$4|x - 6| - 2x > 12,8$

Точка смены знака подмодульного выражения $x - 6$ это $x = 6$.

Случай 1: $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.

Тогда $|x - 6| = x - 6$. Неравенство становится:

$4(x - 6) - 2x > 12,8$

$4x - 24 - 2x > 12,8$

$2x > 12,8 + 24$

$2x > 36,8$

$x > 18,4$

Пересечение $x > 18,4$ и $x \ge 6$ дает $x > 18,4$.

Случай 2: $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$.

Тогда $|x - 6| = -(x - 6) = -x + 6$. Неравенство становится:

$4(-x + 6) - 2x > 12,8$

$-4x + 24 - 2x > 12,8$

$-6x > 12,8 - 24$

$-6x > -11,2$

$x < \frac{-11,2}{-6}$

$x < \frac{11,2}{6} = \frac{112}{60} = \frac{28}{15}$

Пересечение $x < \frac{28}{15}$ и $x < 6$ (учитывая, что $\frac{28}{15} \approx 1,87 < 6$) дает $x < \frac{28}{15}$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{28}{15}) \cup (18,4; +\infty)$

4) Решим неравенство $3|2x + 3| - 6x - 1,2 > 8,4$.

Упростим неравенство:

$3|2x + 3| - 6x > 8,4 + 1,2$

$3|2x + 3| - 6x > 9,6$

Разделим обе части неравенства на 3:

$|2x + 3| - 2x > 3,2$

Точка смены знака подмодульного выражения $2x + 3$ это $x = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Случай 1: $2x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -1,5$.

Тогда $|2x + 3| = 2x + 3$. Неравенство становится:

$(2x + 3) - 2x > 3,2$

$3 > 3,2$

Это неверное числовое неравенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $2x + 3 < 0$, то есть $x < -1,5$.

Тогда $|2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3$. Неравенство становится:

$(-2x - 3) - 2x > 3,2$

$-4x - 3 > 3,2$

$-4x > 6,2$

$x < -\frac{6,2}{4}$

$x < -1,55$

Пересечение $x < -1,55$ и $x < -1,5$ дает $x < -1,55$.

Поскольку в первом случае решений нет, итоговое решение совпадает с решением второго случая.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,55)$

49. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения графиков.

1) $f(x) = x^3$ и $f(x) = x$;

2) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x$;

3) $f(x) = x^2$ и $f(x) = x + 2$.

1) $f(x) = x^3$ и $f(x) = x$

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = x$, необходимо приравнять их правые части:

$x^3 = x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три значения $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив полученные $x$ в любую из исходных функций (например, в $y = x$):

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.

При $x_3 = -1$, $y_3 = -1$. Точка пересечения: $(-1, -1)$.

Построим графики функций. График $y=x$ — это прямая, проходящая через начало координат. График $y=x^3$ — это кубическая парабола.

Ответ: $(-1, -1), (0, 0), (1, 1)$.

2) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x$

Чтобы найти точки пересечения, приравняем функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = x$:

$\frac{1}{x} = x$

Умножим обе части на $x$, учитывая, что $x \neq 0$ (согласно области определения функции $y = \frac{1}{x}$):

$1 = x^2$

$x^2 - 1 = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в $y = x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -1$. Точка пересечения: $(-1, -1)$.

Построим графики функций. График $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. График $y=x$ — прямая.

Ответ: $(-1, -1), (1, 1)$.

3) $f(x) = x^2$ и $f(x) = x + 2$

Приравняем правые части функций $y = x^2$ и $y = x + 2$:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это уравнение можно решить через дискриминант или разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Тогда уравнение можно разложить на множители:

$(x - 2)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = x + 2$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 + 2 = 4$. Точка пересечения: $(2, 4)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -1 + 2 = 1$. Точка пересечения: $(-1, 1)$.

Построим графики функций. График $y=x^2$ — парабола с вершиной в начале координат. График $y=x+2$ — прямая.

Ответ: $(-1, 1), (2, 4)$.

Постройте графики функций (50–51):

50. 1) $y = \frac{1}{x}$;

2) $y = -\frac{1}{x}$;

3) $y = \frac{2}{x}$;

4) $y = \frac{1}{x - 1}$;

5) $y = x^2$;

6) $y = -x^3$;

7) $y = -2x^3$;

8) $y = 0,5x^3$.

1) $y = \frac{1}{x}$

Это график обратной пропорциональности, который называется гиперболой. Он является базовым для функций вида $y = k/x$.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как на ноль делить нельзя.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как дробь никогда не равна нулю.
- Асимптоты: оси координат. Вертикальная — $x = 0$ (ось Oy), горизонтальная — $y = 0$ (ось Ox).
- Симметрия: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
- Расположение: ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.
Ключевые точки: $(-2, -0.5)$, $(-1, -1)$, $(-0.5, -2)$, $(0.5, 2)$, $(1, 1)$, $(2, 0.5)$.

Ответ:

2) $y = -\frac{1}{x}$

Этот график является гиперболой, полученной из графика $y = \frac{1}{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox (или оси Oy).
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты: $x = 0$ и $y = 0$.
- Симметрия: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
- Расположение: ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.
Ключевые точки: $(-2, 0.5)$, $(-1, 1)$, $(-0.5, 2)$, $(0.5, -2)$, $(1, -1)$, $(2, -0.5)$.

Ответ:

3) $y = \frac{2}{x}$

Это гипербола. График получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. Ветви графика будут дальше от осей координат.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты: $x = 0$ и $y = 0$.
- Расположение: ветви в I и III четвертях.
Ключевые точки: $(-2, -1)$, $(-1, -2)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$.

Ответ:

4) $y = \frac{1}{x-1}$

Это гипербола. График получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, так как знаменатель $x-1 \neq 0$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты: Вертикальная — $x = 1$, горизонтальная — $y = 0$.
Ключевые точки: $(-1, -0.5)$, $(0, -1)$, $(0.5, -2)$, $(1.5, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 0.5)$.

Ответ:

5) $y = x^2$

Это график квадратичной функции, называемый параболой. Вершина параболы находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как квадрат любого числа неотрицателен.
- Симметрия: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
Ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

Ответ:

6) $y = -x^3$

Это кубическая парабола. График получается из графика $y = x^3$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Симметрия: функция нечетная, $y(-x) = -(-x)^3 = x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Функция является убывающей на всей области определения.
Ключевые точки: $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$.

Ответ:

7) $y = -2x^3$

Это кубическая парабола. График получается из $y = x^3$ отражением относительно оси Ox и растяжением вдоль оси Oy в 2 раза. Он будет "круче", чем график $y = -x^3$.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Симметрия: нечетная функция, график симметричен относительно начала координат.
Ключевые точки: $(-1.5, 6.75)$, $(-1, 2)$, $(0, 0)$, $(1, -2)$, $(1.5, -6.75)$.

Ответ:

8) $y = 0.5x^3$

Это кубическая парабола. График получается из $y = x^3$ сжатием вдоль оси Oy в 2 раза (коэффициент 0.5). Он будет более "пологим", чем график $y = x^3$.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Симметрия: нечетная функция, график симметричен относительно начала координат.
- Функция является возрастающей на всей области определения.
Ключевые точки: $(-2, -4)$, $(-1, -0.5)$, $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(2, 4)$.

Ответ: