Страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. a) Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби и найдите ее период:

1) $\frac{4}{9}$; 2) $2\frac{2}{11}$; 3) $3\frac{1}{3}$; 4) $1\frac{4}{15}$; 5) $2\frac{3}{7}$; 6) $3\frac{6}{17}$;

б) Переведите бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

1) $3, (13)$; 2) $1, (36)$; 3) $2,2(3)$; 4) $10,0(21)$; 5) $0,2(13)$; 6) $2,20(31)$.

Упростите выражения (9–11):

а) 1) Чтобы перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель. Для дроби $\frac{4}{9}$ выполним деление: $4 \div 9 = 0,444...$. В записи этой дроби бесконечно повторяется цифра 4. Это и есть период. Получаем десятичную дробь $0,(4)$. Ответ: $0,(4)$, период 4.

а) 2) Для смешанной дроби $2\frac{2}{11}$ целая часть равна 2. Работаем с дробной частью $\frac{2}{11}$. Выполним деление: $2 \div 11 = 0,1818...$. Периодически повторяется группа цифр 18. Таким образом, $\frac{2}{11} = 0,(18)$. Соединяем целую и дробную части: $2 + 0,(18) = 2,(18)$. Ответ: $2,(18)$, период 18.

а) 3) Для смешанной дроби $3\frac{1}{3}$ целая часть равна 3. Переведем дробную часть $\frac{1}{3}$ в десятичную: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Соединяем целую и дробную части: $3 + 0,(3) = 3,(3)$. Ответ: $3,(3)$, период 3.

а) 4) Для смешанной дроби $1\frac{4}{15}$ целая часть равна 1. Переведем дробную часть $\frac{4}{15}$: $4 \div 15 = 0,2666... = 0,2(6)$. Здесь цифра 2 после запятой не повторяется, а цифра 6 повторяется бесконечно. Соединяем целую и дробную части: $1 + 0,2(6) = 1,2(6)$. Ответ: $1,2(6)$, период 6.

а) 5) Для смешанной дроби $2\frac{3}{7}$ целая часть равна 2. Переведем дробную часть $\frac{3}{7}$: $3 \div 7 = 0,428571428571... = 0,(428571)$. Соединяем целую и дробную части: $2 + 0,(428571) = 2,(428571)$. Ответ: $2,(428571)$, период 428571.

а) 6) Для смешанной дроби $3\frac{6}{17}$ целая часть равна 3. Переведем дробную часть $\frac{6}{17}$: $6 \div 17 = 0,3529411764705882...$. Остаток от деления снова стал равен 6, значит, последовательность цифр начнет повторяться. Таким образом, $\frac{6}{17} = 0,(3529411764705882)$. Соединяем целую и дробную части: $3 + 0,(3529411764705882) = 3,(3529411764705882)$. Ответ: $3,(3529411764705882)$, период 3529411764705882.

б) 1) Пусть $x = 3,(13) = 3,1313...$. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$: $100x = 313,1313...$. Теперь вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 313,1313... - 3,1313...$. Получим $99x = 310$. Отсюда $x = \frac{310}{99}$. Выделим целую часть: $310 \div 99 = 3$ (остаток 13). Значит, $x = 3\frac{13}{99}$. Ответ: $3\frac{13}{99}$.

б) 2) Пусть $x = 1,(36) = 1,3636...$. Умножим на 100, так как в периоде две цифры: $100x = 136,3636...$. Вычтем исходное уравнение: $100x - x = 136,3636... - 1,3636...$. Получим $99x = 135$. Отсюда $x = \frac{135}{99}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9: $x = \frac{15}{11}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 1\frac{4}{11}$. Ответ: $1\frac{4}{11}$.

б) 3) Пусть $x = 2,2(3) = 2,2333...$. Это смешанная периодическая дробь. Умножим на 10, чтобы часть до периода стала целой: $10x = 22,333...$. Теперь умножим на 100 (так как нужно сдвинуть запятую еще на одну цифру, чтобы "захватить" период): $100x = 223,333...$. Вычтем из второго полученного уравнения первое: $100x - 10x = 223,333... - 22,333...$. Получим $90x = 201$. Отсюда $x = \frac{201}{90}$. Сократим дробь на 3: $x = \frac{67}{30}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 2\frac{7}{30}$. Ответ: $2\frac{7}{30}$.

б) 4) Пусть $x = 10,0(21) = 10,02121...$. Умножим на 10: $10x = 100,2121...$. Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100: $100 \times 10x = 1000x = 10021,2121...$. Вычтем: $1000x - 10x = 10021,2121... - 100,2121...$. Получим $990x = 9921$. Отсюда $x = \frac{9921}{990}$. Сократим дробь на 3: $x = \frac{3307}{330}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 10\frac{7}{330}$. Ответ: $10\frac{7}{330}$.

б) 5) Пусть $x = 0,2(13) = 0,21313...$. Умножим на 10: $10x = 2,1313...$. Умножим еще на 100: $1000x = 213,1313...$. Вычтем: $1000x - 10x = 213,1313... - 2,1313...$. Получим $990x = 211$. Отсюда $x = \frac{211}{990}$. Число 211 - простое, поэтому дробь несократимая. Ответ: $\frac{211}{990}$.

б) 6) Пусть $x = 2,20(31) = 2,203131...$. Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (20) оказалась до запятой: $100x = 220,3131...$. Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100: $10000x = 22031,3131...$. Вычтем: $10000x - 100x = 22031,3131... - 220,3131...$. Получим $9900x = 21811$. Отсюда $x = \frac{21811}{9900}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 2\frac{2011}{9900}$. Ответ: $2\frac{2011}{9900}$.

9. 1) $(a + 7)^2 + (a - 2)(a + 5) - 7a;$

2) $(a - 6)^2 + (a + 3)(a - 5) + 7;$

3) $-(a - 3)^2 + (a + 6)(a - 2) - 8a;$

4) $8 - (a + 5)^2 - (a - 4)(a + 7) + 16a.$

1) $(a + 7)^2 + (a - 2)(a + 5) - 7a$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и правило умножения многочленов.

Раскрываем квадрат суммы:

$(a + 7)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = a^2 + 14a + 49$

Раскрываем произведение скобок:

$(a - 2)(a + 5) = a \cdot a + 5a - 2a - 2 \cdot 5 = a^2 + 3a - 10$

Подставляем полученные выражения в исходное:

$(a^2 + 14a + 49) + (a^2 + 3a - 10) - 7a$

Убираем скобки и группируем подобные слагаемые:

$a^2 + 14a + 49 + a^2 + 3a - 10 - 7a = (a^2 + a^2) + (14a + 3a - 7a) + (49 - 10)$

Выполняем сложение и вычитание:

$2a^2 + 10a + 39$

Ответ: $2a^2 + 10a + 39$

2) $(a - 6)^2 + (a + 3)(a - 5) + 7$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и правило умножения многочленов.

Раскрываем квадрат разности:

$(a - 6)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = a^2 - 12a + 36$

Раскрываем произведение скобок:

$(a + 3)(a - 5) = a \cdot a - 5a + 3a - 3 \cdot 5 = a^2 - 2a - 15$

Подставляем полученные выражения в исходное:

$(a^2 - 12a + 36) + (a^2 - 2a - 15) + 7$

Убираем скобки и группируем подобные слагаемые:

$a^2 - 12a + 36 + a^2 - 2a - 15 + 7 = (a^2 + a^2) + (-12a - 2a) + (36 - 15 + 7)$

Выполняем сложение и вычитание:

$2a^2 - 14a + 28$

Ответ: $2a^2 - 14a + 28$

3) $-(a - 3)^2 + (a + 6)(a - 2) - 8a$

Раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит знак минус, поэтому при раскрытии все знаки внутри изменятся на противоположные.

Раскрываем квадрат разности и меняем знаки:

$-(a - 3)^2 = -(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) = -(a^2 - 6a + 9) = -a^2 + 6a - 9$

Раскрываем произведение скобок:

$(a + 6)(a - 2) = a \cdot a - 2a + 6a - 6 \cdot 2 = a^2 + 4a - 12$

Подставляем полученные выражения в исходное:

$(-a^2 + 6a - 9) + (a^2 + 4a - 12) - 8a$

Убираем скобки и группируем подобные слагаемые:

$-a^2 + 6a - 9 + a^2 + 4a - 12 - 8a = (-a^2 + a^2) + (6a + 4a - 8a) + (-9 - 12)$

Выполняем сложение и вычитание:

$0 \cdot a^2 + 2a - 21 = 2a - 21$

Ответ: $2a - 21$

4) $8 - (a + 5)^2 - (a - 4)(a + 7) + 16a$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки минус перед ними.

Раскрываем квадрат суммы со знаком минус перед ним:

$-(a + 5)^2 = -(a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) = -(a^2 + 10a + 25) = -a^2 - 10a - 25$

Раскрываем произведение скобок со знаком минус перед ним:

$-(a - 4)(a + 7) = -(a \cdot a + 7a - 4a - 4 \cdot 7) = -(a^2 + 3a - 28) = -a^2 - 3a + 28$

Подставляем полученные выражения в исходное:

$8 + (-a^2 - 10a - 25) + (-a^2 - 3a + 28) + 16a$

Убираем скобки и группируем подобные слагаемые:

$8 - a^2 - 10a - 25 - a^2 - 3a + 28 + 16a = (-a^2 - a^2) + (-10a - 3a + 16a) + (8 - 25 + 28)$

Выполняем сложение и вычитание:

$-2a^2 + 3a + 11$

Ответ: $-2a^2 + 3a + 11$

10. 1) $4(a - 1)^2 + (a - 2)(6 - a) - 13;$

2) $5(a - 4)^2 - (a - 4)(7 - 2a) + 20a^2;$

3) $-(a - 5)^2 + (3a - 2)(7 - a) - 18a + 6;$

4) $-(4 - 2a)^2 - (3a - 2)(6 - a) + a^2.$

1)Упростим выражение $4(a - 1)² + (a - 2)(6 - a) - 13$.
Для этого выполним действия по шагам:
1. Раскроем квадрат разности $(a - 1)²$ по формуле $(x - y)² = x² - 2xy + y²$:
$(a - 1)² = a² - 2 \cdot a \cdot 1 + 1² = a² - 2a + 1$.
2. Умножим полученный многочлен на 4:
$4(a² - 2a + 1) = 4a² - 8a + 4$.
3. Раскроем произведение скобок $(a - 2)(6 - a)$:
$(a - 2)(6 - a) = a \cdot 6 + a \cdot (-a) - 2 \cdot 6 - 2 \cdot (-a) = 6a - a² - 12 + 2a$.
Приведем подобные слагаемые: $6a + 2a - a² - 12 = 8a - a² - 12$.
4. Подставим полученные выражения в исходное:
$(4a² - 8a + 4) + (8a - a² - 12) - 13$.
5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4a² - a²) + (-8a + 8a) + (4 - 12 - 13) = 3a² + 0 - 21 = 3a² - 21$.
Ответ: $3a² - 21$.

2)Упростим выражение $5(a - 4)² - (a - 4)(7 - 2a) + 20a²$.
1. Раскроем квадрат разности $(a - 4)²$:
$(a - 4)² = a² - 2 \cdot a \cdot 4 + 4² = a² - 8a + 16$.
2. Умножим полученный многочлен на 5:
$5(a² - 8a + 16) = 5a² - 40a + 80$.
3. Раскроем произведение скобок $(a - 4)(7 - 2a)$:
$(a - 4)(7 - 2a) = a \cdot 7 + a \cdot (-2a) - 4 \cdot 7 - 4 \cdot (-2a) = 7a - 2a² - 28 + 8a$.
Приведем подобные слагаемые: $7a + 8a - 2a² - 28 = 15a - 2a² - 28$.
4. Подставим все в исходное выражение. Обратим внимание на знак минус перед вторым произведением:
$(5a² - 40a + 80) - (15a - 2a² - 28) + 20a²$.
Раскроем скобки: $5a² - 40a + 80 - 15a + 2a² + 28 + 20a²$.
5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5a² + 2a² + 20a²) + (-40a - 15a) + (80 + 28) = 27a² - 55a + 108$.
Ответ: $27a² - 55a + 108$.

3)Упростим выражение $-(a - 5)² + (3a - 2)(7 - a) - 18a + 6$.
1. Раскроем квадрат разности $(a - 5)² = a² - 10a + 25$. Так как перед скобкой стоит знак минус, меняем знаки:
$-(a² - 10a + 25) = -a² + 10a - 25$.
2. Раскроем произведение скобок $(3a - 2)(7 - a)$:
$(3a - 2)(7 - a) = 3a \cdot 7 + 3a \cdot (-a) - 2 \cdot 7 - 2 \cdot (-a) = 21a - 3a² - 14 + 2a$.
Приведем подобные слагаемые: $21a + 2a - 3a² - 14 = 23a - 3a² - 14$.
3. Подставим все в исходное выражение:
$(-a² + 10a - 25) + (23a - 3a² - 14) - 18a + 6$.
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-a² - 3a²) + (10a + 23a - 18a) + (-25 - 14 + 6) = -4a² + 15a - 33$.
Ответ: $-4a² + 15a - 33$.

4)Упростим выражение $-(4 - 2a)² - (3a - 2)(6 - a) + a²$.
1. Раскроем квадрат разности $(4 - 2a)² = 4² - 2 \cdot 4 \cdot 2a + (2a)² = 16 - 16a + 4a²$.
Учтем знак минус перед скобкой: $-(16 - 16a + 4a²) = -16 + 16a - 4a²$.
2. Раскроем произведение скобок $(3a - 2)(6 - a)$:
$(3a - 2)(6 - a) = 3a \cdot 6 + 3a \cdot (-a) - 2 \cdot 6 - 2 \cdot (-a) = 18a - 3a² - 12 + 2a$.
Приведем подобные слагаемые: $18a + 2a - 3a² - 12 = 20a - 3a² - 12$.
3. Подставим все в исходное выражение, учитывая знак минус перед вторым произведением:
$(-16 + 16a - 4a²) - (20a - 3a² - 12) + a²$.
Раскроем скобки: $-16 + 16a - 4a² - 20a + 3a² + 12 + a²$.
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-4a² + 3a² + a²) + (16a - 20a) + (-16 + 12) = 0 \cdot a² - 4a - 4 = -4a - 4$.
Ответ: $-4a - 4$.

11. 1) $7(2a + 1)^2 - (3a - 2)(6 - 2a) - 3a^2;$

2) $-(3a - 1)^2 - (4 - 5a)(7 - 2a) - 5a^2;$

3) $(2a - 5)^2 + (1 - 3a)(3 - 2a) - 7a^2;$

4) $2(2a - 3)^2 - 3(3a + 7)(4 - a) + 9a^2 + 72a.$

1) $7(2a + 1)^2 - (3a - 2)(6 - 2a) - 3a^2$

Для решения данного выражения, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Сначала возведем в квадрат двучлен $(2a + 1)$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$

Теперь умножим результат на 7:

$7(4a^2 + 4a + 1) = 28a^2 + 28a + 7$

Далее, раскроем произведение двух скобок $(3a - 2)(6 - 2a)$:

$(3a - 2)(6 - 2a) = 3a \cdot 6 + 3a \cdot (-2a) - 2 \cdot 6 - 2 \cdot (-2a) = 18a - 6a^2 - 12 + 4a = -6a^2 + 22a - 12$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$28a^2 + 28a + 7 - (-6a^2 + 22a - 12) - 3a^2$

Раскроем скобки, меняя знаки:

$28a^2 + 28a + 7 + 6a^2 - 22a + 12 - 3a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(28a^2 + 6a^2 - 3a^2) + (28a - 22a) + (7 + 12) = 31a^2 + 6a + 19$

Ответ: $31a^2 + 6a + 19$

2) $-(3a - 1)^2 - (4 - 5a)(7 - 2a) - 5a^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Возведем в квадрат двучлен $(3a - 1)$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(3a - 1)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$

Учтем знак минус перед скобкой:

$-(9a^2 - 6a + 1) = -9a^2 + 6a - 1$

Теперь раскроем произведение двух скобок $(4 - 5a)(7 - 2a)$:

$(4 - 5a)(7 - 2a) = 4 \cdot 7 + 4 \cdot (-2a) - 5a \cdot 7 - 5a \cdot (-2a) = 28 - 8a - 35a + 10a^2 = 10a^2 - 43a + 28$

Подставим полученные выражения в исходное:

$-9a^2 + 6a - 1 - (10a^2 - 43a + 28) - 5a^2$

Раскроем скобки, меняя знаки:

$-9a^2 + 6a - 1 - 10a^2 + 43a - 28 - 5a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-9a^2 - 10a^2 - 5a^2) + (6a + 43a) + (-1 - 28) = -24a^2 + 49a - 29$

Ответ: $-24a^2 + 49a - 29$

3) $(2a - 5)^2 + (1 - 3a)(3 - 2a) - 7a^2$

Возведем в квадрат двучлен $(2a - 5)$ по формуле квадрата разности:

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$

Раскроем произведение двух скобок $(1 - 3a)(3 - 2a)$:

$(1 - 3a)(3 - 2a) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2a) - 3a \cdot 3 - 3a \cdot (-2a) = 3 - 2a - 9a + 6a^2 = 6a^2 - 11a + 3$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(4a^2 - 20a + 25) + (6a^2 - 11a + 3) - 7a^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - 20a + 25 + 6a^2 - 11a + 3 - 7a^2$

$(4a^2 + 6a^2 - 7a^2) + (-20a - 11a) + (25 + 3) = 3a^2 - 31a + 28$

Ответ: $3a^2 - 31a + 28$

4) $2(2a - 3)^2 - 3(3a + 7)(4 - a) + 9a^2 + 72a$

Возведем в квадрат двучлен $(2a - 3)$:

$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Умножим результат на 2:

$2(4a^2 - 12a + 9) = 8a^2 - 24a + 18$

Раскроем произведение двух скобок $(3a + 7)(4 - a)$:

$(3a + 7)(4 - a) = 3a \cdot 4 + 3a \cdot (-a) + 7 \cdot 4 + 7 \cdot (-a) = 12a - 3a^2 + 28 - 7a = -3a^2 + 5a + 28$

Умножим результат на -3:

$-3(-3a^2 + 5a + 28) = 9a^2 - 15a - 84$

Подставим все в исходное выражение:

$(8a^2 - 24a + 18) + (9a^2 - 15a - 84) + 9a^2 + 72a$

Приведем подобные слагаемые:

$(8a^2 + 9a^2 + 9a^2) + (-24a - 15a + 72a) + (18 - 84) = 26a^2 + 33a - 66$

Ответ: $26a^2 + 33a - 66$

12. Для каких значений переменной y является тождеством равенство:

1) $(4c - y)^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2;$

2) $(5c + y)^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2;$

3) $(y - 7a)^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2;$

4) $(2c - 3y)^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2?$

1) $(4c - y)^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2$

Чтобы равенство стало тождеством, необходимо, чтобы его левая и правая части были равны для любых значений переменных $c$ и $a$. Для этого раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

$(4c - y)^2 = (4c)^2 - 2 \cdot (4c) \cdot y + y^2 = 16c^2 - 8cy + y^2$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$16c^2 - 8cy + y^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2$.

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, соответствующие слагаемые в обеих частях должны быть равны. Сравнивая их, получаем два условия:

1) Слагаемые, содержащие произведение $ca$: $-8cy = -24ca$

2) Слагаемые, не содержащие $c$: $y^2 = 9a^2$

Из первого уравнения, разделив обе части на $-8c$ (при условии $c \ne 0$), находим $y$:

$y = \frac{-24ca}{-8c} = 3a$.

Из второго уравнения, извлекая квадратный корень, получаем:

$y = \pm \sqrt{9a^2} = \pm 3a$.

Значение $y=3a$ удовлетворяет обоим условиям. Проверим его: $(4c - 3a)^2 = 16c^2 - 2 \cdot 4c \cdot 3a + (3a)^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2$. Выражение совпадает с правой частью.

Ответ: $y = 3a$.

2) $(5c + y)^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.

$(5c + y)^2 = (5c)^2 + 2 \cdot (5c) \cdot y + y^2 = 25c^2 + 10cy + y^2$.

Приравняем левую и правую части:

$25c^2 + 10cy + y^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2$.

Сравнивая соответствующие слагаемые, получаем систему:

1) $10cy = 30ca$

2) $y^2 = 9a^2$

Из первого уравнения (при $c \ne 0$): $y = \frac{30ca}{10c} = 3a$.

Из второго уравнения: $y = \pm 3a$.

Общим решением является $y = 3a$. Проверка: $(5c + 3a)^2 = 25c^2 + 2 \cdot 5c \cdot 3a + (3a)^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2$.

Ответ: $y = 3a$.

3) $(y - 7a)^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности:

$(y - 7a)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7a + (7a)^2 = y^2 - 14ay + 49a^2$.

Приравняем левую и правую части:

$y^2 - 14ay + 49a^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2$.

Сравнивая соответствующие слагаемые, получаем систему:

1) $y^2 = 16c^2$

2) $-14ay = -56ca$

Из первого уравнения: $y = \pm \sqrt{16c^2} = \pm 4c$.

Из второго уравнения (при $a \ne 0$): $y = \frac{-56ca}{-14a} = 4c$.

Общим решением является $y = 4c$. Проверка: $(4c - 7a)^2 = (4c)^2 - 2 \cdot 4c \cdot 7a + (7a)^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2$.

Ответ: $y = 4c$.

4) $(2c - 3y)^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности:

$(2c - 3y)^2 = (2c)^2 - 2 \cdot (2c) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4c^2 - 12cy + 9y^2$.

Приравняем левую и правую части:

$4c^2 - 12cy + 9y^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2$.

Сравнивая соответствующие слагаемые, получаем систему:

1) $-12cy = -24ca$

2) $9y^2 = 36a^2$

Из первого уравнения (при $c \ne 0$): $y = \frac{-24ca}{-12c} = 2a$.

Из второго уравнения: $y^2 = \frac{36a^2}{9} = 4a^2$, откуда $y = \pm \sqrt{4a^2} = \pm 2a$.

Общим решением является $y = 2a$. Проверка: $(2c - 3(2a))^2 = (2c - 6a)^2 = (2c)^2 - 2 \cdot 2c \cdot 6a + (6a)^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2$.

Ответ: $y = 2a$.

13. Докажите, что не зависит от значений переменных значение выражения:

1) $x^3(x^2 - y^2) - x^3(x^2 + y^2) + 2x^3y^2 - 7;$

2) $(3xy - 5)^2 - (5xy - 3)^2 + 16(x^2y^2 - 2) - 1.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки в выражении $x^3(x^2 - y^2) - x^3(x^2 + y^2) + 2x^3y^2 - 7$.
$x^3(x^2 - y^2) - x^3(x^2 + y^2) + 2x^3y^2 - 7 = (x^3 \cdot x^2 - x^3 \cdot y^2) - (x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot y^2) + 2x^3y^2 - 7 = x^5 - x^3y^2 - x^5 - x^3y^2 + 2x^3y^2 - 7$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^5 - x^5) + (-x^3y^2 - x^3y^2 + 2x^3y^2) - 7 = 0 \cdot x^5 - 2x^3y^2 + 2x^3y^2 - 7 = 0 + 0 - 7 = -7$.
В результате упрощения мы получили число -7, которое не зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это доказывает, что значение исходного выражения является постоянным при любых значениях переменных.
Ответ: -7

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, упростим его: $(3xy - 5)^2 - (5xy - 3)^2 + 16(x^2y^2 - 2) - 1$.
Для первых двух слагаемых применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3xy - 5$ и $b = 5xy - 3$.
$(3xy - 5)^2 - (5xy - 3)^2 = ((3xy - 5) - (5xy - 3)) \cdot ((3xy - 5) + (5xy - 3)) = (3xy - 5 - 5xy + 3)(3xy - 5 + 5xy - 3) = (-2xy - 2)(8xy - 8)$.
Теперь раскроем скобки в полученном произведении:
$(-2xy - 2)(8xy - 8) = -2xy \cdot 8xy - 2xy \cdot (-8) - 2 \cdot 8xy - 2 \cdot (-8) = -16x^2y^2 + 16xy - 16xy + 16 = -16x^2y^2 + 16$.
Подставим это выражение обратно в исходное:
$(-16x^2y^2 + 16) + 16(x^2y^2 - 2) - 1$.
Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:
$-16x^2y^2 + 16 + 16x^2y^2 - 32 - 1 = (-16x^2y^2 + 16x^2y^2) + (16 - 32 - 1) = 0 + (-16 - 1) = -17$.
В результате упрощения мы получили число -17, которое не зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это доказывает, что значение исходного выражения является постоянным при любых значениях переменных.
Ответ: -17

14. Докажите тождество:

1) $ (2a - 5)(2a + 5) + 25 - 3a^2 = a^2; $

2) $ (a + 6)(3a - 4) + 2(12 - a^2 - 6a) + 1 = (a + 1)^2. $

1) Докажем тождество $(2a - 5)(2a + 5) + 25 - 3a^2 = a^2$.

Для этого преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части.

1. В левой части равенства выражение $(2a - 5)(2a + 5)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(2a - 5)(2a + 5) = (2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$.

2. Подставим полученный результат обратно в левую часть исходного тождества:

$(4a^2 - 25) + 25 - 3a^2$.

3. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$4a^2 - 25 + 25 - 3a^2 = (4a^2 - 3a^2) + (-25 + 25) = a^2 + 0 = a^2$.

4. В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна $a^2$, что совпадает с правой частью.

Таким образом, мы получили верное равенство $a^2 = a^2$.

Ответ: Так как в результате преобразований левая часть тождества стала равна правой ($a^2 = a^2$), тождество доказано.

2) Докажем тождество $(a + 6)(3a - 4) + 2(12 - a^2 - 6a) + 1 = (a + 1)^2$.

Для этого преобразуем обе части тождества к стандартному виду многочлена и сравним получившиеся выражения.

1. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

Сначала раскроем скобки. Перемножим многочлены $(a + 6)$ и $(3a - 4)$:

$(a + 6)(3a - 4) = a \cdot 3a + a \cdot (-4) + 6 \cdot 3a + 6 \cdot (-4) = 3a^2 - 4a + 18a - 24 = 3a^2 + 14a - 24$.

Раскроем вторые скобки:

$2(12 - a^2 - 6a) = 24 - 2a^2 - 12a$.

Теперь запишем всю левую часть и приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $(3a^2 + 14a - 24) + (24 - 2a^2 - 12a) + 1 = (3a^2 - 2a^2) + (14a - 12a) + (-24 + 24 + 1) = a^2 + 2a + 1$.

2. Преобразуем правую часть (ПЧ):

Выражение $(a + 1)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

ПЧ = $(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.

3. Сравним полученные выражения для левой и правой частей:

ЛЧ = $a^2 + 2a + 1$

ПЧ = $a^2 + 2a + 1$

Поскольку левая и правая части тождества равны, тождество является верным.

Ответ: Так как в результате преобразований левая и правая части тождества стали равны ($a^2 + 2a + 1 = a^2 + 2a + 1$), тождество доказано.

15. Упростите выражение:

1) $(2a + 5)^2 - 3(a - 7)(7 - a) + 9a^2 - 79;$

2) $-(2a - 3)^2 - 5(3a - 7)(4 + a) - 3a^2 - 2;$

3) $-(3 - 2a)^2 + 2(a - 8)(4 - a) - 5a^2 - 7;$

4) $3(5 - 2a)^2 - 4(3a - 5)(7 - a) + 15a^2 - 6.$

1) Упростим выражение $(2a + 5)^2 - 3(a - 7)(7 - a) + 9a^2 - 79$.

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы $(2a + 5)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(2a + 5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$.

Шаг 2: Упростим произведение $-3(a - 7)(7 - a)$. Заметим, что $(7 - a) = -(a - 7)$.

$-3(a - 7)(7 - a) = -3(a - 7)(-(a - 7)) = 3(a - 7)^2$.

Теперь раскроем квадрат разности $(a-7)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$3(a - 7)^2 = 3(a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2) = 3(a^2 - 14a + 49) = 3a^2 - 42a + 147$.

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное уравнение.

$(4a^2 + 20a + 25) + (3a^2 - 42a + 147) + 9a^2 - 79$.

Шаг 4: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(4a^2 + 3a^2 + 9a^2) + (20a - 42a) + (25 + 147 - 79) = 16a^2 - 22a + 93$.

Ответ: $16a^2 - 22a + 93$.

2) Упростим выражение $-(2a - 3)^2 - 5(3a - 7)(4 + a) - 3a^2 - 2$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности $(2a - 3)^2$ и учтем знак минус перед скобкой.

$-(2a - 3)^2 = -((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2) = -(4a^2 - 12a + 9) = -4a^2 + 12a - 9$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(3a - 7)(4 + a)$.

$(3a - 7)(4 + a) = 3a \cdot 4 + 3a \cdot a - 7 \cdot 4 - 7 \cdot a = 12a + 3a^2 - 28 - 7a = 3a^2 + 5a - 28$.

Шаг 3: Умножим полученный результат на $-5$.

$-5(3a^2 + 5a - 28) = -15a^2 - 25a + 140$.

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение.

$(-4a^2 + 12a - 9) + (-15a^2 - 25a + 140) - 3a^2 - 2$.

Шаг 5: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-4a^2 - 15a^2 - 3a^2) + (12a - 25a) + (-9 + 140 - 2) = -22a^2 - 13a + 129$.

Ответ: $-22a^2 - 13a + 129$.

3) Упростим выражение $-(3 - 2a)^2 + 2(a - 8)(4 - a) - 5a^2 - 7$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности $(3 - 2a)^2$ и учтем знак минус.

$-(3 - 2a)^2 = -(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2a + (2a)^2) = -(9 - 12a + 4a^2) = -9 + 12a - 4a^2$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(a - 8)(4 - a)$.

$(a - 8)(4 - a) = a \cdot 4 - a \cdot a - 8 \cdot 4 - 8 \cdot (-a) = 4a - a^2 - 32 + 8a = -a^2 + 12a - 32$.

Шаг 3: Умножим результат на $2$.

$2(-a^2 + 12a - 32) = -2a^2 + 24a - 64$.

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение.

$(-9 + 12a - 4a^2) + (-2a^2 + 24a - 64) - 5a^2 - 7$.

Шаг 5: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-4a^2 - 2a^2 - 5a^2) + (12a + 24a) + (-9 - 64 - 7) = -11a^2 + 36a - 80$.

Ответ: $-11a^2 + 36a - 80$.

4) Упростим выражение $3(5 - 2a)^2 - 4(3a - 5)(7 - a) + 15a^2 - 6$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности $(5 - 2a)^2$ и умножим на $3$.

$3(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2a + (2a)^2) = 3(25 - 20a + 4a^2) = 75 - 60a + 12a^2$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(3a - 5)(7 - a)$.

$(3a - 5)(7 - a) = 3a \cdot 7 - 3a \cdot a - 5 \cdot 7 - 5 \cdot (-a) = 21a - 3a^2 - 35 + 5a = -3a^2 + 26a - 35$.

Шаг 3: Умножим результат на $-4$.

$-4(-3a^2 + 26a - 35) = 12a^2 - 104a + 140$.

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение.

$(75 - 60a + 12a^2) + (12a^2 - 104a + 140) + 15a^2 - 6$.

Шаг 5: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(12a^2 + 12a^2 + 15a^2) + (-60a - 104a) + (75 + 140 - 6) = 39a^2 - 164a + 209$.

Ответ: $39a^2 - 164a + 209$.