Страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33. 1)
$ \begin{cases} 0.3x - 0.7y = -2.4 \\ 1.2y - 0.9x = 2.7 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2.4x - 0.9y = -3.6 \\ 1.2y + 0.8x = 1.8 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3.4x - 2.6y = 4.2 \\ 1.3y + 0.8x = 2.9 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 1.4x - 0.7y = -0.7 \\ 2.1y - 0.7x = -1.4 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 3.5x - 0.9y - 15.6 = -13 \\ -1.8y + 0.8x + 1.8 = 0.8 \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 0.8x - 2.3y - 25.6 = -30.3 \\ -3.7y - 0.8x + 2.8 = 1.5 \end{cases} $

1)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 0,3x - 0,7y = -2,4 \\ 1,2y - 0,9x = 2,7 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые:$ \begin{cases} 0,3x - 0,7y = -2,4 \\ -0,9x + 1,2y = 2,7 \end{cases} $
Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:$ \begin{cases} 3x - 7y = -24 \\ -9x + 12y = 27 \end{cases} $
Второе уравнение можно упростить, разделив все его члены на 3:$ \begin{cases} 3x - 7y = -24 \\ -3x + 4y = 9 \end{cases} $
Теперь используем метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:$ (3x - 7y) + (-3x + 4y) = -24 + 9 $
$ -3y = -15 $
$ y = 5 $
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение ($3x - 7y = -24$):$ 3x - 7(5) = -24 $
$ 3x - 35 = -24 $
$ 3x = 35 - 24 $
$ 3x = 11 $
$ x = \frac{11}{3} $
Проверим решение, подставив $x = \frac{11}{3}$ и $y = 5$ во второе исходное уравнение $1,2y - 0,9x = 2,7$:$ 1,2(5) - 0,9(\frac{11}{3}) = 6 - 0,3 \cdot 11 = 6 - 3,3 = 2,7 $. Равенство верно.
Ответ: $x = \frac{11}{3}, y = 5$.

2)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 2,4x - 0,9y = -3,6 \\ 1,2y + 0,8x = 1,8 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ \begin{cases} 2,4x - 0,9y = -3,6 \\ 0,8x + 1,2y = 1,8 \end{cases} $
Умножим оба уравнения на 10:$ \begin{cases} 24x - 9y = -36 \\ 8x + 12y = 18 \end{cases} $
Упростим уравнения. Первое разделим на 3, а второе на 2:$ \begin{cases} 8x - 3y = -12 \\ 4x + 6y = 9 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:$ 2(8x - 3y) = 2(-12) \implies 16x - 6y = -24 $
Теперь система выглядит так:$ \begin{cases} 16x - 6y = -24 \\ 4x + 6y = 9 \end{cases} $
Сложим уравнения:$ (16x - 6y) + (4x + 6y) = -24 + 9 $
$ 20x = -15 $
$ x = -\frac{15}{20} = -\frac{3}{4} = -0,75 $
Подставим $x = -0,75$ в уравнение $8x - 3y = -12$:$ 8(-0,75) - 3y = -12 $
$ -6 - 3y = -12 $
$ -3y = -6 $
$ y = 2 $
Ответ: $x = -0,75, y = 2$.

3)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 3,4x - 2,6y = 4,2 \\ 1,3y + 0,8x = 2,9 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ \begin{cases} 3,4x - 2,6y = 4,2 \\ 0,8x + 1,3y = 2,9 \end{cases} $
Умножим оба уравнения на 10:$ \begin{cases} 34x - 26y = 42 \\ 8x + 13y = 29 \end{cases} $
Упростим первое уравнение, разделив его на 2:$ 17x - 13y = 21 $
Теперь система:$ \begin{cases} 17x - 13y = 21 \\ 8x + 13y = 29 \end{cases} $
Сложим уравнения:$ (17x - 13y) + (8x + 13y) = 21 + 29 $
$ 25x = 50 $
$ x = 2 $
Подставим $x = 2$ в уравнение $8x + 13y = 29$:$ 8(2) + 13y = 29 $
$ 16 + 13y = 29 $
$ 13y = 13 $
$ y = 1 $
Ответ: $x = 2, y = 1$.

4)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 1,4x - 0,7y = -0,7 \\ 2,1y - 0,7x = -1,4 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ \begin{cases} 1,4x - 0,7y = -0,7 \\ -0,7x + 2,1y = -1,4 \end{cases} $
Умножим оба уравнения на 10:$ \begin{cases} 14x - 7y = -7 \\ -7x + 21y = -14 \end{cases} $
Разделим оба уравнения на 7:$ \begin{cases} 2x - y = -1 \\ -x + 3y = -2 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:$ y = 2x + 1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:$ -x + 3(2x + 1) = -2 $
$ -x + 6x + 3 = -2 $
$ 5x = -5 $
$ x = -1 $
Найдем $y$:$ y = 2(-1) + 1 = -1 $
Ответ: $x = -1, y = -1$.

5)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 3,5x - 0,9y - 15,6 = -13 \\ -1,8y + 0,8x + 1,8 = 0,8 \end{cases} $
Упростим оба уравнения, перенеся свободные члены в правую часть:$ \begin{cases} 3,5x - 0,9y = -13 + 15,6 \\ 0,8x - 1,8y = 0,8 - 1,8 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3,5x - 0,9y = 2,6 \\ 0,8x - 1,8y = -1 \end{cases} $
Умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей:$ \begin{cases} 35x - 9y = 26 \\ 8x - 18y = -10 \end{cases} $
Второе уравнение можно упростить, разделив на 2:$ 4x - 9y = -5 $
Получаем систему:$ \begin{cases} 35x - 9y = 26 \\ 4x - 9y = -5 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:$ (35x - 9y) - (4x - 9y) = 26 - (-5) $
$ 31x = 31 $
$ x = 1 $
Подставим $x = 1$ в уравнение $4x - 9y = -5$:$ 4(1) - 9y = -5 $
$ 4 - 9y = -5 $
$ -9y = -9 $
$ y = 1 $
Ответ: $x = 1, y = 1$.

6)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 0,8x - 2,3y - 25,6 = -30,3 \\ -3,7y - 0,8x + 2,8 = 1,5 \end{cases} $
Упростим оба уравнения и приведем к стандартному виду:$ \begin{cases} 0,8x - 2,3y = -30,3 + 25,6 \\ -0,8x - 3,7y = 1,5 - 2,8 \end{cases} $
$ \begin{cases} 0,8x - 2,3y = -4,7 \\ -0,8x - 3,7y = -1,3 \end{cases} $
Коэффициенты при $x$ уже являются противоположными числами, поэтому можно сразу сложить уравнения:$ (0,8x - 2,3y) + (-0,8x - 3,7y) = -4,7 + (-1,3) $
$ -6y = -6 $
$ y = 1 $
Подставим $y = 1$ в первое упрощенное уравнение $0,8x - 2,3y = -4,7$:$ 0,8x - 2,3(1) = -4,7 $
$ 0,8x - 2,3 = -4,7 $
$ 0,8x = -4,7 + 2,3 $
$ 0,8x = -2,4 $
$ x = \frac{-2,4}{0,8} = -3 $
Ответ: $x = -3, y = 1$.

34. 1)

$\begin{cases} \frac{3x - 5}{3} - \frac{2y + 12}{7} = -\frac{11}{21}, \\ \frac{2x - 3}{3} - \frac{5 - y}{7} = -\frac{17}{21}; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{2x + 5}{4} + \frac{2y + 4}{5} = 1\frac{19}{20}, \\ \frac{3x - 4}{3} - \frac{2 - y}{5} = -2\frac{8}{15}. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{3x - 5}{3} - \frac{2y + 12}{7} = -\frac{11}{21} \\ \frac{2x - 3}{3} - \frac{5 - y}{7} = -\frac{17}{21} \end{cases} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на их наименьший общий знаменатель, который равен 21.
Упростим первое уравнение:
$ 21 \cdot \frac{3x - 5}{3} - 21 \cdot \frac{2y + 12}{7} = 21 \cdot (-\frac{11}{21}) $
$ 7(3x - 5) - 3(2y + 12) = -11 $
$ 21x - 35 - 6y - 36 = -11 $
$ 21x - 6y - 71 = -11 $
$ 21x - 6y = 60 $
Разделим обе части на 3:
$ 7x - 2y = 20 \quad (I) $
Упростим второе уравнение:
$ 21 \cdot \frac{2x - 3}{3} - 21 \cdot \frac{5 - y}{7} = 21 \cdot (-\frac{17}{21}) $
$ 7(2x - 3) - 3(5 - y) = -17 $
$ 14x - 21 - 15 + 3y = -17 $
$ 14x + 3y - 36 = -17 $
$ 14x + 3y = 19 \quad (II) $
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 7x - 2y = 20 \\ 14x + 3y = 19 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим уравнение (I) на 3, а уравнение (II) на 2:
$ \begin{cases} 3(7x - 2y) = 3 \cdot 20 \\ 2(14x + 3y) = 2 \cdot 19 \end{cases} \implies \begin{cases} 21x - 6y = 60 \\ 28x + 6y = 38 \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$ (21x - 6y) + (28x + 6y) = 60 + 38 $
$ 49x = 98 $
$ x = \frac{98}{49} = 2 $
Подставим значение x = 2 в уравнение (I):
$ 7(2) - 2y = 20 $
$ 14 - 2y = 20 $
$ -2y = 20 - 14 $
$ -2y = 6 $
$ y = -3 $
Решение системы: x = 2, y = -3.
Ответ: $(2; -3)$.

2) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2x + 5}{4} + \frac{2y + 4}{5} = 1\frac{19}{20} \\ \frac{3x - 4}{3} - \frac{2 - y}{5} = -2\frac{8}{15} \end{cases} $
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{19}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 19}{20} = \frac{39}{20}$ и $-2\frac{8}{15} = -\frac{2 \cdot 15 + 8}{15} = -\frac{38}{15}$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} \frac{2x + 5}{4} + \frac{2y + 4}{5} = \frac{39}{20} \\ \frac{3x - 4}{3} - \frac{2 - y}{5} = -\frac{38}{15} \end{cases} $
Упростим первое уравнение, умножив его на общий знаменатель 20:
$ 20 \cdot \frac{2x + 5}{4} + 20 \cdot \frac{2y + 4}{5} = 20 \cdot \frac{39}{20} $
$ 5(2x + 5) + 4(2y + 4) = 39 $
$ 10x + 25 + 8y + 16 = 39 $
$ 10x + 8y + 41 = 39 $
$ 10x + 8y = -2 $
Разделим обе части на 2:
$ 5x + 4y = -1 \quad (III) $
Упростим второе уравнение, умножив его на общий знаменатель 15:
$ 15 \cdot \frac{3x - 4}{3} - 15 \cdot \frac{2 - y}{5} = 15 \cdot (-\frac{38}{15}) $
$ 5(3x - 4) - 3(2 - y) = -38 $
$ 15x - 20 - 6 + 3y = -38 $
$ 15x + 3y - 26 = -38 $
$ 15x + 3y = -12 $
Разделим обе части на 3:
$ 5x + y = -4 \quad (IV) $
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 5x + 4y = -1 \\ 5x + y = -4 \end{cases} $
Решим систему методом вычитания: вычтем уравнение (IV) из уравнения (III):
$ (5x + 4y) - (5x + y) = -1 - (-4) $
$ 5x + 4y - 5x - y = -1 + 4 $
$ 3y = 3 $
$ y = 1 $
Подставим значение y = 1 в уравнение (IV):
$ 5x + 1 = -4 $
$ 5x = -4 - 1 $
$ 5x = -5 $
$ x = -1 $
Решение системы: x = -1, y = 1.
Ответ: $(-1; 1)$.

35. Найдите два числа, если:

1) значение суммы первого числа, увеличенного в два раза, и второго числа, увеличенного в четыре раза, равно 46, значение разности первого числа, умноженного на 5, и удвоенного второго числа равно 34;

2) значение суммы двух чисел равно 8, значение разности квадратов этих чисел равно 48.

1) Обозначим первое число как $x$, а второе число как $y$. Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "значение суммы первого числа, увеличенного в два раза, и второго числа, увеличенного в четыре раза, равно 46". Это можно записать в виде уравнения: $2x + 4y = 46$.

Второе условие: "значение разности первого числа, умноженного на 5, и удвоенного второго числа равно 34". Это можно записать в виде уравнения: $5x - 2y = 34$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 4y = 46 \\ 5x - 2y = 34 \end{cases}$

Для решения системы можно использовать метод сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2 \cdot (5x - 2y) = 2 \cdot 34$

$10x - 4y = 68$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 2x + 4y = 46 \\ 10x - 4y = 68 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$(2x + 4y) + (10x - 4y) = 46 + 68$

$12x = 114$

$x = \frac{114}{12} = \frac{19}{2} = 9.5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение $2x + 4y = 46$:

$2 \cdot 9.5 + 4y = 46$

$19 + 4y = 46$

$4y = 46 - 19$

$4y = 27$

$y = \frac{27}{4} = 6.75$

Проверим найденные значения, подставив их в оба исходных уравнения:

$2 \cdot 9.5 + 4 \cdot 6.75 = 19 + 27 = 46$ (верно)

$5 \cdot 9.5 - 2 \cdot 6.75 = 47.5 - 13.5 = 34$ (верно)

Ответ: Первое число равно 9.5, второе число равно 6.75.

2) Обозначим первое число как $x$, а второе число как $y$.

Первое условие: "значение суммы двух чисел равно 8". Запишем в виде уравнения: $x + y = 8$.

Второе условие: "значение разности квадратов этих чисел равно 48". Запишем в виде уравнения: $x^2 - y^2 = 48$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x^2 - y^2 = 48 \end{cases}$

Воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим известное значение $x+y=8$ из первого уравнения во второе:

$(x - y) \cdot 8 = 48$

Разделим обе части на 8:

$x - y = \frac{48}{8}$

$x - y = 6$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 8 + 6$

$2x = 14$

$x = 7$

Подставим значение $x$ в первое уравнение $x+y=8$:

$7 + y = 8$

$y = 8 - 7$

$y = 1$

Проверим найденные значения:

$7 + 1 = 8$ (верно)

$7^2 - 1^2 = 49 - 1 = 48$ (верно)

Ответ: Первое число равно 7, второе число равно 1.

36.

1) Найдите собственную скорость движения теплохода и скорость течения реки, если скорость движения теплохода по течению реки равна 24,4 км/ч, а скорость движения теплохода против течения реки — 18,2 км/ч.

2) Если легковой автомобиль и автобус движутся навстречу друг другу, то скорость их сближения равна 148,4 км/ч, если автомобиль и автобус выехали одновременно из города А в город В, то скорость их удаления друг от друга равна 17,2 км/ч. Найдите скорость движения автомобиля и автобуса.

1)

Пусть $v_{с}$ — собственная скорость теплохода, а $v_{т}$ — скорость течения реки.

Скорость движения теплохода по течению реки является суммой его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{с} + v_{т}$.

Скорость движения теплохода против течения реки является разностью его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{с} - v_{т}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

$ \begin{cases} v_{с} + v_{т} = 24,4 \\ v_{с} - v_{т} = 18,2 \end{cases} $

Для нахождения собственной скорости теплохода ($v_{с}$), сложим два уравнения системы:

$(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т}) = 24,4 + 18,2$

$2v_{с} = 42,6$

$v_{с} = \frac{42,6}{2} = 21,3$ км/ч.

Теперь, чтобы найти скорость течения реки ($v_{т}$), подставим найденное значение $v_{с}$ в первое уравнение:

$21,3 + v_{т} = 24,4$

$v_{т} = 24,4 - 21,3 = 3,1$ км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 21,3 км/ч, скорость течения реки — 3,1 км/ч.

2)

Пусть $v_{а}$ — скорость легкового автомобиля, а $v_{б}$ — скорость автобуса.

Когда транспортные средства движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = v_{а} + v_{б}$.

Когда они движутся в одном направлении (из города А в город В), скорость их удаления равна разности их скоростей (предполагаем, что автомобиль быстрее автобуса): $v_{удаления} = v_{а} - v_{б}$.

На основе этих данных составим систему уравнений:

$ \begin{cases} v_{а} + v_{б} = 148,4 \\ v_{а} - v_{б} = 17,2 \end{cases} $

Чтобы найти скорость автомобиля ($v_{а}$), сложим оба уравнения:

$(v_{а} + v_{б}) + (v_{а} - v_{б}) = 148,4 + 17,2$

$2v_{а} = 165,6$

$v_{а} = \frac{165,6}{2} = 82,8$ км/ч.

Теперь найдем скорость автобуса ($v_{б}$), подставив значение $v_{а}$ в первое уравнение:

$82,8 + v_{б} = 148,4$

$v_{б} = 148,4 - 82,8 = 65,6$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля — 82,8 км/ч, скорость автобуса — 65,6 км/ч.

37. Решите систему уравнений с параметром:

1)

$\begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ ax + 2y = -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} -3x + 4y = -2, \\ 5ax - 2y = -6; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 12x - 3y - 7 = 0, \\ 3ax + 2y = -3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2ax - 3y = 5, \\ 4ax + 5y = 12. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ ax + 2y = -3. \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x$ и $y$. Решим ее методом Крамера. Найдем главный определитель системы (детерминант матрицы коэффициентов):
$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ a & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-3) \cdot a = 4 + 3a. $
Система имеет единственное решение, если главный определитель не равен нулю:
$ \Delta \neq 0 \implies 4 + 3a \neq 0 \implies a \neq -4/3. $
При этом условии найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3) = 10 - 9 = 1. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ a & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - 5 \cdot a = -6 - 5a. $
Тогда решение системы:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{1}{4 + 3a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-6 - 5a}{4 + 3a}. $
Теперь рассмотрим случай, когда главный определитель равен нулю:
$ \Delta = 0 \implies 4 + 3a = 0 \implies a = -4/3. $
В этом случае система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Так как вспомогательный определитель $ \Delta_x = 1 \neq 0 $, то система не имеет решений.
Проверим это подстановкой $ a = -4/3 $ в исходную систему:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ -\frac{4}{3}x + 2y = -3. \end{cases} $
Умножим второе уравнение на $ -3/2 $:
$ (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{4}{3}x + 2y) = (-\frac{3}{2}) \cdot (-3) \implies 2x - 3y = \frac{9}{2}. $
Получили систему, в которой левые части уравнений равны, а правые — нет ($5 \neq 4.5$), следовательно, система несовместна.
Ответ: если $ a \neq -4/3 $, то $ x = \frac{1}{4 + 3a}, y = \frac{-6 - 5a}{4 + 3a} $; если $ a = -4/3 $, то решений нет.

2) Дана система уравнений:$ \begin{cases} -3x + 4y = -2, \\ 5ax - 2y = -6. \end{cases} $
Найдем главный определитель системы:
$ \Delta = \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5a & -2 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (-2) - 4 \cdot (5a) = 6 - 20a. $
Система имеет единственное решение при $ \Delta \neq 0 $:
$ 6 - 20a \neq 0 \implies 20a \neq 6 \implies a \neq 3/10. $
При этом условии найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -6 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-2) - 4 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 5a & -6 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (-6) - (-2) \cdot (5a) = 18 + 10a. $
Решение системы при $ a \neq 3/10 $:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{28}{6 - 20a} = \frac{14}{3 - 10a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{18 + 10a}{6 - 20a} = \frac{2(9 + 5a)}{2(3 - 10a)} = \frac{9 + 5a}{3 - 10a}. $
Рассмотрим случай $ \Delta = 0 $, то есть $ a = 3/10 $.
Поскольку $ \Delta_x = 28 \neq 0 $, система не имеет решений при этом значении параметра.
Ответ: если $ a \neq 3/10 $, то $ x = \frac{14}{3 - 10a}, y = \frac{9 + 5a}{3 - 10a} $; если $ a = 3/10 $, то решений нет.

3) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 12x - 3y - 7 = 0, \\ 3ax + 2y = -3. \end{cases} $
Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $ 12x - 3y = 7 $.
Найдем главный определитель системы:
$ \Delta = \begin{vmatrix} 12 & -3 \\ 3a & 2 \end{vmatrix} = 12 \cdot 2 - (-3) \cdot (3a) = 24 + 9a. $
Система имеет единственное решение при $ \Delta \neq 0 $:
$ 24 + 9a \neq 0 \implies 9a \neq -24 \implies a \neq -8/3. $
Найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 7 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3) = 14 - 9 = 5. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 12 & 7 \\ 3a & -3 \end{vmatrix} = 12 \cdot (-3) - 7 \cdot (3a) = -36 - 21a. $
Решение системы при $ a \neq -8/3 $:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{5}{24 + 9a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-36 - 21a}{24 + 9a} = \frac{-3(12 + 7a)}{3(8 + 3a)} = -\frac{12 + 7a}{8 + 3a}. $
Рассмотрим случай $ \Delta = 0 $, то есть $ a = -8/3 $.
Поскольку $ \Delta_x = 5 \neq 0 $, система не имеет решений при данном значении параметра.
Ответ: если $ a \neq -8/3 $, то $ x = \frac{5}{24 + 9a}, y = -\frac{12 + 7a}{8 + 3a} $; если $ a = -8/3 $, то решений нет.

4) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 2ax - 3y = 5, \\ 4ax + 5y = 12. \end{cases} $
Рассмотрим особый случай, когда $ a = 0 $. Система принимает вид:
$ \begin{cases} -3y = 5, \\ 5y = 12. \end{cases} \implies \begin{cases} y = -5/3, \\ y = 12/5. \end{cases} $
Так как $ -5/3 \neq 12/5 $, система несовместна, и при $ a = 0 $ решений нет.
Теперь рассмотрим случай, когда $ a \neq 0 $. Найдем главный определитель системы:
$ \Delta = \begin{vmatrix} 2a & -3 \\ 4a & 5 \end{vmatrix} = (2a) \cdot 5 - (-3) \cdot (4a) = 10a + 12a = 22a. $
Так как мы рассматриваем $ a \neq 0 $, то $ \Delta = 22a \neq 0 $, и система имеет единственное решение.
Найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 12 & 5 \end{vmatrix} = 5 \cdot 5 - (-3) \cdot 12 = 25 + 36 = 61. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2a & 5 \\ 4a & 12 \end{vmatrix} = (2a) \cdot 12 - 5 \cdot (4a) = 24a - 20a = 4a. $
Решение системы при $ a \neq 0 $:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{61}{22a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{4a}{22a} = \frac{2}{11}. $
Этот результат подтверждает, что при $ a=0 $ (когда $ \Delta=0 $ и $ \Delta_x \neq 0 $) решений нет.
Ответ: если $ a \neq 0 $, то $ x = \frac{61}{22a}, y = \frac{2}{11} $; если $ a = 0 $, то решений нет.