Номер 34, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34. 1)

$\begin{cases} \frac{3x - 5}{3} - \frac{2y + 12}{7} = -\frac{11}{21}, \\ \frac{2x - 3}{3} - \frac{5 - y}{7} = -\frac{17}{21}; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{2x + 5}{4} + \frac{2y + 4}{5} = 1\frac{19}{20}, \\ \frac{3x - 4}{3} - \frac{2 - y}{5} = -2\frac{8}{15}. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{3x - 5}{3} - \frac{2y + 12}{7} = -\frac{11}{21} \\ \frac{2x - 3}{3} - \frac{5 - y}{7} = -\frac{17}{21} \end{cases} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на их наименьший общий знаменатель, который равен 21.
Упростим первое уравнение:
$ 21 \cdot \frac{3x - 5}{3} - 21 \cdot \frac{2y + 12}{7} = 21 \cdot (-\frac{11}{21}) $
$ 7(3x - 5) - 3(2y + 12) = -11 $
$ 21x - 35 - 6y - 36 = -11 $
$ 21x - 6y - 71 = -11 $
$ 21x - 6y = 60 $
Разделим обе части на 3:
$ 7x - 2y = 20 \quad (I) $
Упростим второе уравнение:
$ 21 \cdot \frac{2x - 3}{3} - 21 \cdot \frac{5 - y}{7} = 21 \cdot (-\frac{17}{21}) $
$ 7(2x - 3) - 3(5 - y) = -17 $
$ 14x - 21 - 15 + 3y = -17 $
$ 14x + 3y - 36 = -17 $
$ 14x + 3y = 19 \quad (II) $
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 7x - 2y = 20 \\ 14x + 3y = 19 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим уравнение (I) на 3, а уравнение (II) на 2:
$ \begin{cases} 3(7x - 2y) = 3 \cdot 20 \\ 2(14x + 3y) = 2 \cdot 19 \end{cases} \implies \begin{cases} 21x - 6y = 60 \\ 28x + 6y = 38 \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$ (21x - 6y) + (28x + 6y) = 60 + 38 $
$ 49x = 98 $
$ x = \frac{98}{49} = 2 $
Подставим значение x = 2 в уравнение (I):
$ 7(2) - 2y = 20 $
$ 14 - 2y = 20 $
$ -2y = 20 - 14 $
$ -2y = 6 $
$ y = -3 $
Решение системы: x = 2, y = -3.
Ответ: $(2; -3)$.

2) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2x + 5}{4} + \frac{2y + 4}{5} = 1\frac{19}{20} \\ \frac{3x - 4}{3} - \frac{2 - y}{5} = -2\frac{8}{15} \end{cases} $
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{19}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 19}{20} = \frac{39}{20}$ и $-2\frac{8}{15} = -\frac{2 \cdot 15 + 8}{15} = -\frac{38}{15}$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} \frac{2x + 5}{4} + \frac{2y + 4}{5} = \frac{39}{20} \\ \frac{3x - 4}{3} - \frac{2 - y}{5} = -\frac{38}{15} \end{cases} $
Упростим первое уравнение, умножив его на общий знаменатель 20:
$ 20 \cdot \frac{2x + 5}{4} + 20 \cdot \frac{2y + 4}{5} = 20 \cdot \frac{39}{20} $
$ 5(2x + 5) + 4(2y + 4) = 39 $
$ 10x + 25 + 8y + 16 = 39 $
$ 10x + 8y + 41 = 39 $
$ 10x + 8y = -2 $
Разделим обе части на 2:
$ 5x + 4y = -1 \quad (III) $
Упростим второе уравнение, умножив его на общий знаменатель 15:
$ 15 \cdot \frac{3x - 4}{3} - 15 \cdot \frac{2 - y}{5} = 15 \cdot (-\frac{38}{15}) $
$ 5(3x - 4) - 3(2 - y) = -38 $
$ 15x - 20 - 6 + 3y = -38 $
$ 15x + 3y - 26 = -38 $
$ 15x + 3y = -12 $
Разделим обе части на 3:
$ 5x + y = -4 \quad (IV) $
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 5x + 4y = -1 \\ 5x + y = -4 \end{cases} $
Решим систему методом вычитания: вычтем уравнение (IV) из уравнения (III):
$ (5x + 4y) - (5x + y) = -1 - (-4) $
$ 5x + 4y - 5x - y = -1 + 4 $
$ 3y = 3 $
$ y = 1 $
Подставим значение y = 1 в уравнение (IV):
$ 5x + 1 = -4 $
$ 5x = -4 - 1 $
$ 5x = -5 $
$ x = -1 $
Решение системы: x = -1, y = 1.
Ответ: $(-1; 1)$.