Номер 32, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите систему уравнений (32–34):

32. 1)

$\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 7x - 0,4y = -5 \\ 4x - 0,4y = 10 \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 5x - 0,6y = 8 \\ 2x - 0,3y = 16 \end{cases}$

4)

$\begin{cases} -5x + 7y = 15 \\ 3x - 4y = 13 \end{cases}$

5)

$\begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}y = -6 \\ -4x - \frac{2}{3}y = 26 \end{cases}$

6)

$\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = -2\frac{5}{21} \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 5\frac{3}{7} \end{cases}$

7)

$\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = \frac{1}{5} \\ \frac{2 - x}{3} - \frac{5 - y}{7} = 8\frac{3}{21} \end{cases}$

8)

$\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2y + 7}{7} = -\frac{20}{21} \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 3\frac{1}{7} \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 3x - 2y = 7, \\ 2x + 2y = 8. \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$. Коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$), поэтому при сложении они дадут ноль.

$(3x - 2y) + (2x + 2y) = 7 + 8$

$5x = 15$

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$2(3) + 2y = 8$

$6 + 2y = 8$

$2y = 8 - 6$

$2y = 2$

$y = 1$

Ответ: $(3; 1)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 7x - 0,4y = -5, \\ 4x - 0,4y = 10. \end{cases}$

Используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого.

$(7x - 0,4y) - (4x - 0,4y) = -5 - 10$

$7x - 4x - 0,4y + 0,4y = -15$

$3x = -15$

$x = -5$

Подставим значение $x = -5$ во второе уравнение системы:

$4(-5) - 0,4y = 10$

$-20 - 0,4y = 10$

$-0,4y = 10 + 20$

$-0,4y = 30$

$y = \frac{30}{-0,4} = -\frac{300}{4} = -75$

Ответ: $(-5; -75)$.

3)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 5x - 0,6y = 8, \\ 2x - 0,3y = 16. \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали равными.

$2 \cdot (2x - 0,3y) = 2 \cdot 16$

$4x - 0,6y = 32$

Теперь система имеет вид: $\begin{cases} 5x - 0,6y = 8, \\ 4x - 0,6y = 32. \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(5x - 0,6y) - (4x - 0,6y) = 8 - 32$

$x = -24$

Подставим $x = -24$ в исходное второе уравнение:

$2(-24) - 0,3y = 16$

$-48 - 0,3y = 16$

$-0,3y = 16 + 48$

$-0,3y = 64$

$y = \frac{64}{-0,3} = -\frac{640}{3}$

Ответ: $(-24; -\frac{640}{3})$.

4)

Дана система уравнений: $\begin{cases} -5x + 7y = 15, \\ 3x - 4y = 13. \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $5$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.

$3(-5x + 7y) = 3 \cdot 15 \implies -15x + 21y = 45$

$5(3x - 4y) = 5 \cdot 13 \implies 15x - 20y = 65$

Сложим полученные уравнения:

$(-15x + 21y) + (15x - 20y) = 45 + 65$

$y = 110$

Подставим $y = 110$ во второе исходное уравнение:

$3x - 4(110) = 13$

$3x - 440 = 13$

$3x = 440 + 13$

$3x = 453$

$x = \frac{453}{3} = 151$

Ответ: $(151; 110)$.

5)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}y = -6, \\ -4x - \frac{2}{3}y = 26. \end{cases}$

Для избавления от дробей, умножим первое уравнение на $9$, а второе на $3$.

$9(\frac{2}{3}x - \frac{4}{9}y) = 9(-6) \implies 6x - 4y = -54$

$3(-4x - \frac{2}{3}y) = 3(26) \implies -12x - 2y = 78$

Получили систему: $\begin{cases} 6x - 4y = -54, \\ -12x - 2y = 78. \end{cases}$

Упростим ее, разделив первое уравнение на $2$, а второе на $-2$.

$3x - 2y = -27$

$6x + y = -39$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = -39 - 6x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(-39 - 6x) = -27$

$3x + 78 + 12x = -27$

$15x = -27 - 78$

$15x = -105$

$x = -7$

Теперь найдем $y$: $y = -39 - 6(-7) = -39 + 42 = 3$.

Ответ: $(-7; 3)$.

6)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = -2\frac{5}{21}, \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 5\frac{3}{7}. \end{cases}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-2\frac{5}{21} = -\frac{2 \cdot 21 + 5}{21} = -\frac{47}{21}$; $5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{38}{7}$.

Система: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2y}{7} = -\frac{47}{21}, \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = \frac{38}{7}. \end{cases}$

Умножим первое уравнение на $21$, а второе на $7$.

$7(2x - 1) - 3(2y) = -47 \implies 14x - 7 - 6y = -47 \implies 14x - 6y = -40 \implies 7x - 3y = -20$.

$7(4x) - (8 - 2y) = 38 \implies 28x - 8 + 2y = 38 \implies 28x + 2y = 46 \implies 14x + y = 23$.

Получили систему: $\begin{cases} 7x - 3y = -20, \\ 14x + y = 23. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 23 - 14x$.

Подставим в первое уравнение: $7x - 3(23 - 14x) = -20 \implies 7x - 69 + 42x = -20 \implies 49x = 49 \implies x = 1$.

Найдем $y$: $y = 23 - 14(1) = 9$.

Ответ: $(1; 9)$.

7)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = \frac{1}{5}, \\ \frac{2 - x}{3} - \frac{5 - y}{7} = 8\frac{3}{21}. \end{cases}$

Упростим смешанное число: $8\frac{3}{21} = 8\frac{1}{7} = \frac{57}{7}$.

Умножим первое уравнение на общий знаменатель $3 \cdot 7 \cdot 5 = 105$, а второе на $3 \cdot 7 = 21$.

Первое уравнение: $35(2x - 1) - 15(2y) = 21 \implies 70x - 35 - 30y = 21 \implies 70x - 30y = 56 \implies 35x - 15y = 28$.

Второе уравнение: $7(2 - x) - 3(5 - y) = 3 \cdot 57 \implies 14 - 7x - 15 + 3y = 171 \implies -7x + 3y = 172$.

Получили систему: $\begin{cases} 35x - 15y = 28, \\ -7x + 3y = 172. \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $5$: $5(-7x + 3y) = 5(172) \implies -35x + 15y = 860$.

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(35x - 15y) + (-35x + 15y) = 28 + 860$

$0 = 888$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что система несовместна и не имеет решений.

Ответ: нет решений.

8)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2y + 7}{7} = -\frac{20}{21}, \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 3\frac{1}{7}. \end{cases}$

Преобразуем смешанное число: $3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$.

Умножим первое уравнение на $21$, а второе на $7$.

Первое уравнение: $7(2x - 1) - 3(2y + 7) = -20 \implies 14x - 7 - 6y - 21 = -20 \implies 14x - 6y = 8 \implies 7x - 3y = 4$.

Второе уравнение: $7(4x) - (8 - 2y) = 22 \implies 28x - 8 + 2y = 22 \implies 28x + 2y = 30 \implies 14x + y = 15$.

Получили систему: $\begin{cases} 7x - 3y = 4, \\ 14x + y = 15. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 15 - 14x$.

Подставим в первое уравнение: $7x - 3(15 - 14x) = 4 \implies 7x - 45 + 42x = 4 \implies 49x = 49 \implies x = 1$.

Найдем $y$: $y = 15 - 14(1) = 1$.

Ответ: $(1; 1)$.