Номер 35, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35. Найдите два числа, если:

1) значение суммы первого числа, увеличенного в два раза, и второго числа, увеличенного в четыре раза, равно 46, значение разности первого числа, умноженного на 5, и удвоенного второго числа равно 34;

2) значение суммы двух чисел равно 8, значение разности квадратов этих чисел равно 48.

1) Обозначим первое число как $x$, а второе число как $y$. Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "значение суммы первого числа, увеличенного в два раза, и второго числа, увеличенного в четыре раза, равно 46". Это можно записать в виде уравнения: $2x + 4y = 46$.

Второе условие: "значение разности первого числа, умноженного на 5, и удвоенного второго числа равно 34". Это можно записать в виде уравнения: $5x - 2y = 34$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 4y = 46 \\ 5x - 2y = 34 \end{cases}$

Для решения системы можно использовать метод сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2 \cdot (5x - 2y) = 2 \cdot 34$

$10x - 4y = 68$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 2x + 4y = 46 \\ 10x - 4y = 68 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$(2x + 4y) + (10x - 4y) = 46 + 68$

$12x = 114$

$x = \frac{114}{12} = \frac{19}{2} = 9.5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение $2x + 4y = 46$:

$2 \cdot 9.5 + 4y = 46$

$19 + 4y = 46$

$4y = 46 - 19$

$4y = 27$

$y = \frac{27}{4} = 6.75$

Проверим найденные значения, подставив их в оба исходных уравнения:

$2 \cdot 9.5 + 4 \cdot 6.75 = 19 + 27 = 46$ (верно)

$5 \cdot 9.5 - 2 \cdot 6.75 = 47.5 - 13.5 = 34$ (верно)

Ответ: Первое число равно 9.5, второе число равно 6.75.

2) Обозначим первое число как $x$, а второе число как $y$.

Первое условие: "значение суммы двух чисел равно 8". Запишем в виде уравнения: $x + y = 8$.

Второе условие: "значение разности квадратов этих чисел равно 48". Запишем в виде уравнения: $x^2 - y^2 = 48$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x^2 - y^2 = 48 \end{cases}$

Воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим известное значение $x+y=8$ из первого уравнения во второе:

$(x - y) \cdot 8 = 48$

Разделим обе части на 8:

$x - y = \frac{48}{8}$

$x - y = 6$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 8 + 6$

$2x = 14$

$x = 7$

Подставим значение $x$ в первое уравнение $x+y=8$:

$7 + y = 8$

$y = 8 - 7$

$y = 1$

Проверим найденные значения:

$7 + 1 = 8$ (верно)

$7^2 - 1^2 = 49 - 1 = 48$ (верно)

Ответ: Первое число равно 7, второе число равно 1.