Номер 41, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{7}x - 0,25x \geq 2\frac{4}{7};$

2) $3,125 + x \leq 5,125 - 0,25x;$

3) $7,25 + 2x > 5,125 - \frac{1}{5}x;$

4) $12,5x - 5,125 < \frac{1}{8} - \frac{1}{4}x.$

1) Исходное неравенство: $\frac{1}{7}x - 0,25x \ge 2\frac{4}{7}$.

Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $0,25 = \frac{1}{4}$ и $2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{1}{7}x - \frac{1}{4}x \ge \frac{18}{7}$.

Приведем коэффициенты при $x$ к общему знаменателю 28: $(\frac{4}{28} - \frac{7}{28})x \ge \frac{18}{7}$.

Выполним вычитание: $-\frac{3}{28}x \ge \frac{18}{7}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-\frac{28}{3}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{18}{7} \cdot (-\frac{28}{3})$

$x \le -\frac{18 \cdot 28}{7 \cdot 3}$

$x \le -(6 \cdot 4)$

$x \le -24$

Ответ: $x \in (-\infty; -24]$.

2) Исходное неравенство: $3,125 + x \le 5,125 - 0,25x$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$x + 0,25x \le 5,125 - 3,125$

Приведем подобные слагаемые:

$1,25x \le 2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 1,25. Представим 1,25 в виде дроби $\frac{5}{4}$:

$\frac{5}{4}x \le 2$

$x \le 2 \cdot \frac{4}{5}$

$x \le \frac{8}{5}$

$x \le 1,6$

Ответ: $x \in (-\infty; 1,6]$.

3) Исходное неравенство: $7,25 + 2x > 5,125 - \frac{1}{5}x$.

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные: $7,25 = 7\frac{1}{4} = \frac{29}{4}$; $5,125 = 5\frac{1}{8} = \frac{41}{8}$; $\frac{1}{5}x=0,2x$.

Неравенство принимает вид: $\frac{29}{4} + 2x > \frac{41}{8} - \frac{1}{5}x$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$2x + \frac{1}{5}x > \frac{41}{8} - \frac{29}{4}$

Приведем к общему знаменателю в обеих частях:

$(\frac{10}{5} + \frac{1}{5})x > \frac{41}{8} - \frac{58}{8}$

$\frac{11}{5}x > -\frac{17}{8}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{5}{11}$ (знак неравенства не меняется):

$x > -\frac{17}{8} \cdot \frac{5}{11}$

$x > -\frac{85}{88}$

Ответ: $x \in (-\frac{85}{88}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $12,5x - 5,125 < \frac{1}{8} - \frac{1}{4}x$.

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $12,5 = \frac{25}{2}$; $5,125 = \frac{41}{8}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{25}{2}x - \frac{41}{8} < \frac{1}{8} - \frac{1}{4}x$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$\frac{25}{2}x + \frac{1}{4}x < \frac{1}{8} + \frac{41}{8}$

Приведем к общему знаменателю в левой части и сложим дроби в правой:

$(\frac{50}{4} + \frac{1}{4})x < \frac{42}{8}$

$\frac{51}{4}x < \frac{21}{4}$

Умножим обе части на 4:

$51x < 21$

Разделим обе части на 51:

$x < \frac{21}{51}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x < \frac{7}{17}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{17})$.