Номер 48, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48. Решите неравенство:

1) $|x - 3| + 2x - 3,2 > 4;$

2) $|2x - 5| - 3x + 1,6 > 7,3;

3) $4|x - 6| - 2x - 5,2 > 7,6;$

4) $3|2x + 3| - 6x - 1,2 > 8,4.$

1) Решим неравенство $|x - 3| + 2x - 3,2 > 4$.

Сначала упростим неравенство, перенеся числовые слагаемые в правую часть:

$|x - 3| + 2x > 4 + 3,2$

$|x - 3| + 2x > 7,2$

Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение $x - 3$ меняет знак, это $x = 3$.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

При этом условии $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:

$(x - 3) + 2x > 7,2$

$3x - 3 > 7,2$

$3x > 7,2 + 3$

$3x > 10,2$

$x > \frac{10,2}{3}$

$x > 3,4$

Найдем пересечение полученного решения $x > 3,4$ с условием этого случая $x \ge 3$. Пересечением является интервал $x > 3,4$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

При этом условии $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Неравенство принимает вид:

$(-x + 3) + 2x > 7,2$

$x + 3 > 7,2$

$x > 7,2 - 3$

$x > 4,2$

Найдем пересечение полученного решения $x > 4,2$ с условием этого случая $x < 3$. Эти два условия противоречат друг другу, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (3,4; +\infty)$

2) Решим неравенство $|2x - 5| - 3x + 1,6 > 7,3$.

Упростим неравенство:

$|2x - 5| - 3x > 7,3 - 1,6$

$|2x - 5| - 3x > 5,7$

Рассмотрим два случая. Точка смены знака подмодульного выражения $2x - 5$ это $x = \frac{5}{2} = 2,5$.

Случай 1: $2x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 2,5$.

Тогда $|2x - 5| = 2x - 5$. Неравенство становится:

$(2x - 5) - 3x > 5,7$

$-x - 5 > 5,7$

$-x > 10,7$

$x < -10,7$

Пересечение $x < -10,7$ и $x \ge 2,5$ является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $2x - 5 < 0$, то есть $x < 2,5$.

Тогда $|2x - 5| = -(2x - 5) = -2x + 5$. Неравенство становится:

$(-2x + 5) - 3x > 5,7$

$-5x + 5 > 5,7$

$-5x > 0,7$

$x < -\frac{0,7}{5}$

$x < -0,14$

Пересечение $x < -0,14$ и $x < 2,5$ дает $x < -0,14$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,14)$

3) Решим неравенство $4|x - 6| - 2x - 5,2 > 7,6$.

Упростим неравенство:

$4|x - 6| - 2x > 7,6 + 5,2$

$4|x - 6| - 2x > 12,8$

Точка смены знака подмодульного выражения $x - 6$ это $x = 6$.

Случай 1: $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.

Тогда $|x - 6| = x - 6$. Неравенство становится:

$4(x - 6) - 2x > 12,8$

$4x - 24 - 2x > 12,8$

$2x > 12,8 + 24$

$2x > 36,8$

$x > 18,4$

Пересечение $x > 18,4$ и $x \ge 6$ дает $x > 18,4$.

Случай 2: $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$.

Тогда $|x - 6| = -(x - 6) = -x + 6$. Неравенство становится:

$4(-x + 6) - 2x > 12,8$

$-4x + 24 - 2x > 12,8$

$-6x > 12,8 - 24$

$-6x > -11,2$

$x < \frac{-11,2}{-6}$

$x < \frac{11,2}{6} = \frac{112}{60} = \frac{28}{15}$

Пересечение $x < \frac{28}{15}$ и $x < 6$ (учитывая, что $\frac{28}{15} \approx 1,87 < 6$) дает $x < \frac{28}{15}$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{28}{15}) \cup (18,4; +\infty)$

4) Решим неравенство $3|2x + 3| - 6x - 1,2 > 8,4$.

Упростим неравенство:

$3|2x + 3| - 6x > 8,4 + 1,2$

$3|2x + 3| - 6x > 9,6$

Разделим обе части неравенства на 3:

$|2x + 3| - 2x > 3,2$

Точка смены знака подмодульного выражения $2x + 3$ это $x = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Случай 1: $2x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -1,5$.

Тогда $|2x + 3| = 2x + 3$. Неравенство становится:

$(2x + 3) - 2x > 3,2$

$3 > 3,2$

Это неверное числовое неравенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $2x + 3 < 0$, то есть $x < -1,5$.

Тогда $|2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3$. Неравенство становится:

$(-2x - 3) - 2x > 3,2$

$-4x - 3 > 3,2$

$-4x > 6,2$

$x < -\frac{6,2}{4}$

$x < -1,55$

Пересечение $x < -1,55$ и $x < -1,5$ дает $x < -1,55$.

Поскольку в первом случае решений нет, итоговое решение совпадает с решением второго случая.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,55)$