Номер 54, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $\frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25}$ И $\frac{1}{6 \cdot (3x - 5)}$;

2) $\frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16}$ И $\frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$;

3) $\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8}$ И $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$;

4) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1}$ И $\frac{3}{a - 1}$.

1) Чтобы доказать, что выражения тождественно равны, преобразуем первое выражение: $ \frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25} $.

Сначала разложим знаменатели дробей на множители:

$ 6x + 10 = 2(3x + 5) $

$ 9x - 15 = 3(3x - 5) $

$ 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5) $ (формула разности квадратов).

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{2(3x + 5)} - \frac{1}{3(3x - 5)} + \frac{5}{(3x - 5)(3x + 5)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $ 2 \cdot 3 \cdot (3x - 5)(3x + 5) = 6(3x - 5)(3x + 5) $. Приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1 \cdot 3(3x - 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} - \frac{1 \cdot 2(3x + 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} + \frac{5 \cdot 6}{6(3x - 5)(3x + 5)} $

Выполним действия с дробями:

$ \frac{3(3x - 5) - 2(3x + 5) + 30}{6(3x - 5)(3x + 5)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ 9x - 15 - (6x + 10) + 30 = 9x - 15 - 6x - 10 + 30 = (9x - 6x) + (-15 - 10 + 30) = 3x + 5 $

Подставим полученный результат обратно в числитель дроби:

$ \frac{3x + 5}{6(3x - 5)(3x + 5)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (3x + 5) $:

$ \frac{1}{6(3x - 5)} $

Результат преобразования первого выражения совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25} $ и $ \frac{1}{6(3x - 5)} $ тождественно равны.

2) Преобразуем выражение $ \frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ 2x - 8 = 2(x - 4) $

$ 40 - 10x = 10(4 - x) = -10(x - 4) $

$ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 $ (формула квадрата разности).

Перепишем выражение:

$ \frac{1}{2(x - 4)} + \frac{1}{-10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} = \frac{1}{2(x - 4)} - \frac{1}{10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} $

Общий знаменатель равен $ 10(x - 4)^2 $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot 5(x - 4)}{10(x - 4)^2} - \frac{1 \cdot (x - 4)}{10(x - 4)^2} + \frac{1 \cdot 10}{10(x - 4)^2} $

Объединим дроби:

$ \frac{5(x - 4) - (x - 4) + 10}{10(x - 4)^2} $

Упростим числитель:

$ 5x - 20 - x + 4 + 10 = (5x - x) + (-20 + 4 + 10) = 4x - 6 $

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$ \frac{4x - 6}{10(x - 4)^2} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(2x - 3)}{2 \cdot 5(x - 4)^2} = \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2} $

Полученное выражение совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16} $ и $ \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2} $ тождественно равны.

3) Преобразуем выражение $ \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} $.

Разложим знаменатель последней дроби по формуле разности кубов: $ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $.

Общий знаменатель всех дробей — $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{1 \cdot (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Запишем всё под одной чертой:

$ \frac{x^2 + 2x + 4 + (x - 2)^2 - 6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ x^2 + 2x + 4 + x^2 - 4x + 4 - 6x = (x^2 + x^2) + (2x - 4x - 6x) + (4 + 4) = 2x^2 - 8x + 8 $

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$ \frac{2x^2 - 8x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности:

$ \frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Сократим дробь на $ (x - 2) $:

$ \frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $

Полученное выражение совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} $ и $ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $ тождественно равны.

4) Преобразуем выражение $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $ a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

Общий знаменатель всех дробей — $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Запишем всё под одной чертой:

$ \frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ (2a^2 + 7a + 3) - (a - 1 - 2a^2 + 2a) - (a^2 + a + 1) = 2a^2 + 7a + 3 - (-2a^2 + 3a - 1) - a^2 - a - 1 $

$ = 2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - a^2 - a - 1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (2a^2 + 2a^2 - a^2) + (7a - 3a - a) + (3 + 1 - 1) = 3a^2 + 3a + 3 $

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$ \frac{3a^2 + 3a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Вынесем в числителе общий множитель 3:

$ \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Сократим дробь на $ (a^2 + a + 1) $:

$ \frac{3}{a - 1} $

Полученное выражение совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $ и $ \frac{3}{a - 1} $ тождественно равны.