Номер 59, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

59. Найдите значение выражения:

1) $4x^2 + \frac{9}{x^2}$, если $2x + \frac{3}{x} = 5$;

2) $9x^2 + \frac{25}{4x^2}$, если $3x - \frac{5}{2x} = 2$.

1) Чтобы найти значение выражения $4x^2 + \frac{9}{x^2}$, воспользуемся данным равенством $2x + \frac{3}{x} = 5$.

Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$ и $\frac{9}{x^2} = (\frac{3}{x})^2$. Это наводит на мысль возвести в квадрат обе части исходного равенства. Для этого используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Возведем обе части равенства $2x + \frac{3}{x} = 5$ в квадрат:

$(2x + \frac{3}{x})^2 = 5^2$

$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{3}{x}) + (\frac{3}{x})^2 = 25$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x^2 + \frac{12x}{x} + \frac{9}{x^2} = 25$

Сократим $x$ в среднем члене:

$4x^2 + 12 + \frac{9}{x^2} = 25$

Теперь выразим искомую сумму $4x^2 + \frac{9}{x^2}$, перенеся 12 в правую часть уравнения:

$4x^2 + \frac{9}{x^2} = 25 - 12$

$4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$

Ответ: 13

2) Чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{25}{4x^2}$, воспользуемся данным равенством $3x - \frac{5}{2x} = 2$.

Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$ и $\frac{25}{4x^2} = (\frac{5}{2x})^2$. Это указывает на необходимость возвести в квадрат обе части исходного равенства. Для этого используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Возведем обе части равенства $3x - \frac{5}{2x} = 2$ в квадрат:

$(3x - \frac{5}{2x})^2 = 2^2$

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{5}{2x}) + (\frac{5}{2x})^2 = 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$9x^2 - \frac{30x}{2x} + \frac{25}{4x^2} = 4$

Сократим $x$ в среднем члене:

$9x^2 - 15 + \frac{25}{4x^2} = 4$

Теперь выразим искомую сумму $9x^2 + \frac{25}{4x^2}$, перенеся -15 в правую часть уравнения:

$9x^2 + \frac{25}{4x^2} = 4 + 15$

$9x^2 + \frac{25}{4x^2} = 19$

Ответ: 19