Номер 52, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = \frac{1}{x}$;

2) $\frac{1}{8}x^2 = -\frac{1}{x}$;

3) $x^3 = \frac{16}{x}$;

4) $2x + 3 = \frac{1}{x-1}$;

5) $x^2 = x^3$;

6) $x + 2 = x^3$;

7) $3 - x = -2x^3$;

8) $x^2 = x + 2$.

1) $x^2 = \frac{1}{x}$

Чтобы решить уравнение графически, построим графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = x^2$ и $y_2 = \frac{1}{x}$. Решением уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y_1 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График функции $y_2 = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$. Абсцисса этой точки равна 1.

Ответ: $x = 1$.

2) $\frac{1}{8}x^2 = -\frac{1}{x}$

Построим графики функций $y_1 = \frac{1}{8}x^2$ и $y_2 = -\frac{1}{x}$.

График функции $y_1 = \frac{1}{8}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Она шире, чем стандартная парабола $y=x^2$. График функции $y_2 = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная во втором и четвертом координатных квадрантах.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(-2, 0.5)$. Абсцисса этой точки равна -2.

Ответ: $x = -2$.

3) $x^3 = \frac{16}{x}$

Построим графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = \frac{16}{x}$.

График функции $y_1 = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. График функции $y_2 = \frac{16}{x}$ — это гипербола, расположенная в первом и третьем квадрантах, растянутая по сравнению со стандартной гиперболой.

Графики пересекаются в двух точках: $(2, 8)$ и $(-2, -8)$. Абсциссы этих точек равны 2 и -2.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

4) $2x + 3 = \frac{1}{x-1}$

Построим графики функций $y_1 = 2x + 3$ и $y_2 = \frac{1}{x-1}$.

График функции $y_1 = 2x + 3$ — это прямая линия. График функции $y_2 = \frac{1}{x-1}$ — это гипербола, смещенная на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота $x=1$.

Графики пересекаются в двух точках. Так как точки пересечения не имеют целочисленных координат, мы можем найти их лишь приблизительно. Из графика видно, что абсциссы точек пересечения примерно равны $x \approx 1.2$ и $x \approx -1.7$.

Ответ: $x_1 \approx 1.2, x_2 \approx -1.7$.

5) $x^2 = x^3$

Построим графики функций $y_1 = x^2$ (парабола) и $y_2 = x^3$ (кубическая парабола).

Графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек равны 0 и 1.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

6) $x + 2 = x^3$

Построим графики функций $y_1 = x + 2$ и $y_2 = x^3$.

График $y_1 = x + 2$ — это прямая линия. График $y_2 = x^3$ — это кубическая парабола.

Графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки не являются целочисленными. Из графика видно, что абсцисса точки пересечения примерно равна $x \approx 1.5$.

Ответ: $x \approx 1.5$.

7) $3 - x = -2x^3$

Построим графики функций $y_1 = 3 - x$ и $y_2 = -2x^3$.

График $y_1 = 3 - x$ — это прямая линия. График $y_2 = -2x^3$ — это кубическая парабола, отраженная относительно оси ординат и растянутая в 2 раза.

Графики пересекаются в одной точке, координаты которой не являются целочисленными. Из графика можно определить примерное значение абсциссы точки пересечения: $x \approx -1.3$.

Ответ: $x \approx -1.3$.

8) $x^2 = x + 2$

Построим графики функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = x + 2$.

График $y_1 = x^2$ — это парабола. График $y_2 = x + 2$ — это прямая линия.

Графики пересекаются в двух точках: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Абсциссы этих точек равны -1 и 2.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.