Номер 57, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

57. Упростите выражение:

1) $(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 - \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right)^2 - 2;$

2) $(\left(\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y}\right)^2 - \left(\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y}\right)^2;$

3) $(\frac{x}{x+1} \cdot \left(\frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1}\right) - \frac{x}{x-1};$

4) $a^4 \cdot \left(\frac{3a+b}{a} - 3\right)^2 + b^4 \cdot \left(\frac{a-2b}{b} + 2\right)^2 - 4(ab)^2;$

5) $\frac{a}{a-2} - \left(\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}\right) \cdot \frac{a}{a+2};$

6) $2 + \left(\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}\right) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7};$

7) $2 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x + 2^{-1}} - 3x;$

8) $3 + \frac{4x^2 - 9^{-1}}{2x + 3^{-1}} - 2(x-1);$

9) $\frac{169^{-1} - a^2}{13^{-1} - a} - \left(a + 5 - \frac{1}{13}\right);$

10) $\left(\frac{1}{2-4a} + \frac{4a^2+2a+1}{8a^3-1}\right) : \frac{a+1}{8a^3-1} \cdot \frac{1}{4a-2}.$

1)Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = \frac{p}{q} + \frac{q}{p}$ и $b = \frac{p}{q} - \frac{q}{p}$.$ (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 - 2 = ((\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})) \cdot ((\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) + (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})) - 2 $$= (\frac{p}{q} + \frac{q}{p} - \frac{p}{q} + \frac{q}{p}) \cdot (\frac{p}{q} + \frac{q}{p} + \frac{p}{q} - \frac{q}{p}) - 2 = (2 \cdot \frac{q}{p}) \cdot (2 \cdot \frac{p}{q}) - 2 = 4 \frac{qp}{pq} - 2 = 4 - 2 = 2.$Ответ: $2$

2)Для упрощения выражения воспользуемся формулой $(A-B)^2 - (A+B)^2 = -4AB$.Пусть $A = \frac{a+y}{a}$ и $B = \frac{a-y}{y}$.$ (\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y})^2 - (\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y})^2 = -4 \cdot \frac{a+y}{a} \cdot \frac{a-y}{y} = -4 \frac{(a+y)(a-y)}{ay} = -4 \frac{a^2-y^2}{ay} = 4 \frac{y^2-a^2}{ay}. $Ответ: $4 \frac{y^2-a^2}{ay}$

3)Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.$ \frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{4x}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x + x^2-2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. $Теперь подставим результат в исходное выражение:$ \frac{x}{x+1} \cdot (\frac{x+1}{x-1}) - \frac{x}{x-1} = \frac{x}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 0. $Ответ: $0$

4)Упростим выражения в скобках.$ \frac{3a+b}{a} - 3 = \frac{3a+b-3a}{a} = \frac{b}{a}. $$ \frac{a-2b}{b} + 2 = \frac{a-2b+2b}{b} = \frac{a}{b}. $Подставим упрощенные выражения обратно:$ a^4 \cdot (\frac{b}{a})^2 + b^4 \cdot (\frac{a}{b})^2 - 4(ab)^2 = a^4 \cdot \frac{b^2}{a^2} + b^4 \cdot \frac{a^2}{b^2} - 4a^2b^2 = a^2b^2 + a^2b^2 - 4a^2b^2 = 2a^2b^2 - 4a^2b^2 = -2a^2b^2. $Ответ: $-2a^2b^2$

5)Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.$ \frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2} = \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{8a + a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2}. $Подставим результат в исходное выражение:$ \frac{a}{a-2} - (\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} = \frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0. $Ответ: $0$

6)Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $c^2-49 = (c-7)(c+7)$.$ \frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7} = \frac{28c}{(c-7)(c+7)} + \frac{(c-7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{28c + c^2-14c+49}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2+14c+49}{(c-7)(c+7)} = \frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7}. $Подставим результат в исходное выражение:$ 2 + (\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} = 2 + \frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} = 2. $Ответ: $2$

7)Преобразуем степени: $4^{-1} = \frac{1}{4}$ и $2^{-1} = \frac{1}{2}$.Выражение примет вид: $2 + \frac{9x^2-\frac{1}{4}}{3x+\frac{1}{2}} - 3x$.Упростим дробь, используя формулу разности квадратов в числителе: $9x^2-\frac{1}{4} = (3x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (3x-\frac{1}{2})(3x+\frac{1}{2})$.$ \frac{(3x-\frac{1}{2})(3x+\frac{1}{2})}{3x+\frac{1}{2}} = 3x - \frac{1}{2}. $Подставим в исходное выражение:$ 2 + (3x - \frac{1}{2}) - 3x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. $Ответ: $\frac{3}{2}$

8)Преобразуем степени: $9^{-1} = \frac{1}{9}$ и $3^{-1} = \frac{1}{3}$.Выражение примет вид: $3 + \frac{4x^2-\frac{1}{9}}{2x+\frac{1}{3}} - 2(x-1)$.Упростим дробь, используя формулу разности квадратов в числителе: $4x^2-\frac{1}{9} = (2x)^2 - (\frac{1}{3})^2 = (2x-\frac{1}{3})(2x+\frac{1}{3})$.$ \frac{(2x-\frac{1}{3})(2x+\frac{1}{3})}{2x+\frac{1}{3}} = 2x - \frac{1}{3}. $Подставим в исходное выражение:$ 3 + (2x - \frac{1}{3}) - 2(x-1) = 3 + 2x - \frac{1}{3} - 2x + 2 = 5 - \frac{1}{3} = \frac{14}{3}. $Ответ: $\frac{14}{3}$

9)Преобразуем степени и смешанное число: $169^{-1} = \frac{1}{169}$, $13^{-1} = \frac{1}{13}$, $5\frac{1}{13} = \frac{66}{13}$.Выражение примет вид: $\frac{\frac{1}{169}-a^2}{\frac{1}{13}-a} - (a+\frac{66}{13})$.Упростим дробь, используя формулу разности квадратов в числителе: $\frac{1}{169}-a^2 = (\frac{1}{13})^2 - a^2 = (\frac{1}{13}-a)(\frac{1}{13}+a)$.$ \frac{(\frac{1}{13}-a)(\frac{1}{13}+a)}{\frac{1}{13}-a} = \frac{1}{13}+a. $Подставим в исходное выражение:$ (\frac{1}{13}+a) - (a+\frac{66}{13}) = \frac{1}{13} + a - a - \frac{66}{13} = \frac{1-66}{13} = \frac{-65}{13} = -5. $Ответ: $-5$

10)Преобразуем выражение. Заметим, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.$ (\frac{1}{2-4a} + \frac{4a^2+2a+1}{2a+1} - \frac{a+1}{8a^3-1}) : \frac{1}{4a-2} = (\frac{1}{-2(2a-1)} + \frac{4a^2+2a+1}{2a+1} - \frac{a+1}{(2a-1)(4a^2+2a+1)}) \cdot (2(2a-1)). $Раскроем скобки, умножив каждый член на $2(2a-1)$:$ \frac{-1 \cdot 2(2a-1)}{2(2a-1)} + \frac{(4a^2+2a+1) \cdot 2(2a-1)}{2a+1} - \frac{(a+1) \cdot 2(2a-1)}{(2a-1)(4a^2+2a+1)} $$= -1 + \frac{2(8a^3-1)}{2a+1} - \frac{2(a+1)}{4a^2+2a+1}. $Полученное выражение не упрощается до простого вида. Это говорит о возможной опечатке в условии задачи, так как члены выражения содержат множители из разных формул сокращенного умножения ($8a^3-1$ и $2a+1$, который является множителем для $8a^3+1$). В исходном виде дальнейшее существенное упрощение невозможно.Ответ: Выражение не упрощается до компактного вида, вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Результат после частичного упрощения: $-1 + \frac{2(8a^3-1)}{2a+1} - \frac{2(a+1)}{4a^2+2a+1}$.