Номер 53, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53. Упростите выражение:

1) $\frac{3}{5 - a} + \frac{4}{a + 5}$;

2) $\frac{5}{4 - x} + \frac{6}{x + 4}$;

3) $\frac{8}{6 + x} - \frac{8}{x - 7}$;

4) $\frac{9a^2 + y^2}{3a - y} + \frac{6ay}{y - 3a}$;

5) $\frac{ay}{a - yb} + \frac{3a - by}{by - a}$;

6) $\frac{a^2 x^2 + 36y^2}{ax - 6y} + \frac{12axy}{6y - ax}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{3}{5-a} + \frac{4}{a+5}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что $a+5 = 5+a$. Общим знаменателем будет произведение $(5-a)(5+a)$, что является формулой разности квадратов и равно $25-a^2$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+5)$, а второй — на $(5-a)$:
$\frac{3}{5-a} + \frac{4}{a+5} = \frac{3(a+5)}{(5-a)(a+5)} + \frac{4(5-a)}{(5+a)(5-a)} = \frac{3a+15}{25-a^2} + \frac{20-4a}{25-a^2}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{3a+15+20-4a}{25-a^2} = \frac{35-a}{25-a^2}$
Ответ: $\frac{35-a}{25-a^2}$

2) Аналогично первому примеру, приведем дроби $\frac{5}{4-x} + \frac{6}{x+4}$ к общему знаменателю. Общий знаменатель — $(4-x)(x+4)$, или $(4-x)(4+x)$, что равно $16-x^2$.
Домножим первую дробь на $(x+4)$, а вторую на $(4-x)$:
$\frac{5(x+4)}{(4-x)(x+4)} + \frac{6(4-x)}{(x+4)(4-x)} = \frac{5x+20}{16-x^2} + \frac{24-6x}{16-x^2}$
Сложим числители:
$\frac{5x+20+24-6x}{16-x^2} = \frac{44-x}{16-x^2}$
Ответ: $\frac{44-x}{16-x^2}$

3) Для выражения $\frac{8}{6+x} - \frac{8}{x-7}$ общим знаменателем будет произведение $(6+x)(x-7)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{8(x-7)}{(6+x)(x-7)} - \frac{8(6+x)}{(x-7)(6+x)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{8(x-7) - 8(6+x)}{(6+x)(x-7)} = \frac{8x-56 - (48+8x)}{(6+x)(x-7)} = \frac{8x-56-48-8x}{(6+x)(x-7)} = \frac{-104}{(6+x)(x-7)}$
Ответ: $\frac{-104}{(6+x)(x-7)}$

4) В выражении $\frac{9a^2+y^2}{3a-y} + \frac{6ay}{y-3a}$ заметим, что знаменатели дробей противоположны: $y-3a = -(3a-y)$.
Это позволяет нам изменить знак второй дроби и получить общий знаменатель:
$\frac{9a^2+y^2}{3a-y} - \frac{6ay}{3a-y}$
Теперь объединим дроби:
$\frac{9a^2+y^2-6ay}{3a-y} = \frac{9a^2-6ay+y^2}{3a-y}$
Числитель является полным квадратом разности: $9a^2-6ay+y^2 = (3a-y)^2$.
Подставим его обратно в дробь и сократим:
$\frac{(3a-y)^2}{3a-y} = 3a-y$
Ответ: $3a-y$

5) В выражении $\frac{ay}{a-yb} + \frac{3a-by}{by-a}$ будем считать, что $yb$ и $by$ — это одно и то же произведение $b \cdot y$. Знаменатели $a-by$ и $by-a$ являются противоположными: $by-a = -(a-by)$.
Заменим знаменатель второй дроби и изменим знак перед ней:
$\frac{ay}{a-by} - \frac{3a-by}{a-by}$
Объединим дроби под общим знаменателем:
$\frac{ay - (3a-by)}{a-by} = \frac{ay-3a+by}{a-by}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{ay-3a+by}{a-by}$

6) В выражении $\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} + \frac{12axy}{6y-ax}$ знаменатели $ax-6y$ и $6y-ax$ противоположны: $6y-ax = -(ax-6y)$.
Приведем дроби к общему знаменателю, изменив знак второй дроби:
$\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} - \frac{12axy}{ax-6y}$
Объединим числители:
$\frac{a^2x^2+36y^2-12axy}{ax-6y} = \frac{a^2x^2-12axy+36y^2}{ax-6y}$
Числитель представляет собой полный квадрат разности: $a^2x^2-12axy+36y^2 = (ax-6y)^2$.
Сократим дробь:
$\frac{(ax-6y)^2}{ax-6y} = ax-6y$
Ответ: $ax-6y$