Страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51. 1) $y = 2x - 6$; 2) $y = 3x - 2$;

3) $y = 6 - 3x$; 4) $y = 2,5 + 2x$.

а) Найдите значение y, соответствующее значению x, равному:

-3; -1,5; 0; 1,3; 2,5; 4,4;

б) найдите значение x, при котором значение y равно: -4; -2,3;

0; 1,2; 4; 5,6;

в) проверьте, принадлежит ли графику функции точка:

$A(-2; -1)$; $B(0; -5)$; $C(1; -3)$; $M(3; 1)$; $P(5; 5)$.

1) Для функции $y = 2x - 6$

а) Найдем значения $y$, соответствующие заданным значениям $x$:
Если $x = -3$, то $y = 2 \cdot (-3) - 6 = -6 - 6 = -12$.
Если $x = -1.5$, то $y = 2 \cdot (-1.5) - 6 = -3 - 6 = -9$.
Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 6 = 0 - 6 = -6$.
Если $x = 1.3$, то $y = 2 \cdot 1.3 - 6 = 2.6 - 6 = -3.4$.
Если $x = 2.5$, то $y = 2 \cdot 2.5 - 6 = 5 - 6 = -1$.
Если $x = 4.4$, то $y = 2 \cdot 4.4 - 6 = 8.8 - 6 = 2.8$.
Ответ: при $x$ равном $-3; -1.5; 0; 1.3; 2.5; 4.4$ значения $y$ равны соответственно $-12; -9; -6; -3.4; -1; 2.8$.

б) Найдем значения $x$, при которых значения $y$ равны заданным:
Из уравнения $y = 2x - 6$ выразим $x$: $2x = y + 6$, следовательно $x = \frac{y+6}{2}$.
Если $y = -4$, то $x = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Если $y = -2.3$, то $x = \frac{-2.3+6}{2} = \frac{3.7}{2} = 1.85$.
Если $y = 0$, то $x = \frac{0+6}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Если $y = 1.2$, то $x = \frac{1.2+6}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6$.
Если $y = 4$, то $x = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Если $y = 5.6$, то $x = \frac{5.6+6}{2} = \frac{11.6}{2} = 5.8$.
Ответ: при $y$ равном $-4; -2.3; 0; 1.2; 4; 5.6$ значения $x$ равны соответственно $1; 1.85; 3; 3.6; 5; 5.8$.

в) Проверим, принадлежит ли графику функции точка:
Для этого подставляем координаты каждой точки $(x; y)$ в уравнение $y = 2x - 6$.
Точка $A(-2; -1)$: $y = 2(-2) - 6 = -10$. Так как $-10 \neq -1$, точка не принадлежит графику.
Точка $B(0; -5)$: $y = 2(0) - 6 = -6$. Так как $-6 \neq -5$, точка не принадлежит графику.
Точка $C(1; -3)$: $y = 2(1) - 6 = -4$. Так как $-4 \neq -3$, точка не принадлежит графику.
Точка $M(3; 1)$: $y = 2(3) - 6 = 0$. Так как $0 \neq 1$, точка не принадлежит графику.
Точка $P(5; 5)$: $y = 2(5) - 6 = 4$. Так как $4 \neq 5$, точка не принадлежит графику.
Ответ: ни одна из указанных точек не принадлежит графику функции $y = 2x - 6$.

2) Для функции $y = 3x - 2$

а) Найдем значения $y$, соответствующие заданным значениям $x$:
Если $x = -3$, то $y = 3(-3) - 2 = -9 - 2 = -11$.
Если $x = -1.5$, то $y = 3(-1.5) - 2 = -4.5 - 2 = -6.5$.
Если $x = 0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$.
Если $x = 1.3$, то $y = 3(1.3) - 2 = 3.9 - 2 = 1.9$.
Если $x = 2.5$, то $y = 3(2.5) - 2 = 7.5 - 2 = 5.5$.
Если $x = 4.4$, то $y = 3(4.4) - 2 = 13.2 - 2 = 11.2$.
Ответ: при $x$ равном $-3; -1.5; 0; 1.3; 2.5; 4.4$ значения $y$ равны соответственно $-11; -6.5; -2; 1.9; 5.5; 11.2$.

б) Найдем значения $x$, при которых значения $y$ равны заданным:
Из $y = 3x - 2$ выразим $x$: $3x = y + 2$, следовательно $x = \frac{y+2}{3}$.
Если $y = -4$, то $x = \frac{-4+2}{3} = -\frac{2}{3}$.
Если $y = -2.3$, то $x = \frac{-2.3+2}{3} = \frac{-0.3}{3} = -0.1$.
Если $y = 0$, то $x = \frac{0+2}{3} = \frac{2}{3}$.
Если $y = 1.2$, то $x = \frac{1.2+2}{3} = \frac{3.2}{3} = \frac{16}{15}$.
Если $y = 4$, то $x = \frac{4+2}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Если $y = 5.6$, то $x = \frac{5.6+2}{3} = \frac{7.6}{3} = \frac{38}{15}$.
Ответ: при $y$ равном $-4; -2.3; 0; 1.2; 4; 5.6$ значения $x$ равны соответственно $-\frac{2}{3}; -0.1; \frac{2}{3}; \frac{16}{15}; 2; \frac{38}{15}$.

в) Проверим, принадлежит ли графику функции точка:
Точка $A(-2; -1)$: $y = 3(-2) - 2 = -8$. Так как $-8 \neq -1$, точка не принадлежит графику.
Точка $B(0; -5)$: $y = 3(0) - 2 = -2$. Так как $-2 \neq -5$, точка не принадлежит графику.
Точка $C(1; -3)$: $y = 3(1) - 2 = 1$. Так как $1 \neq -3$, точка не принадлежит графику.
Точка $M(3; 1)$: $y = 3(3) - 2 = 7$. Так как $7 \neq 1$, точка не принадлежит графику.
Точка $P(5; 5)$: $y = 3(5) - 2 = 13$. Так как $13 \neq 5$, точка не принадлежит графику.
Ответ: ни одна из указанных точек не принадлежит графику функции $y = 3x - 2$.

3) Для функции $y = 6 - 3x$

а) Найдем значения $y$, соответствующие заданным значениям $x$:
Если $x = -3$, то $y = 6 - 3(-3) = 6 + 9 = 15$.
Если $x = -1.5$, то $y = 6 - 3(-1.5) = 6 + 4.5 = 10.5$.
Если $x = 0$, то $y = 6 - 3(0) = 6$.
Если $x = 1.3$, то $y = 6 - 3(1.3) = 6 - 3.9 = 2.1$.
Если $x = 2.5$, то $y = 6 - 3(2.5) = 6 - 7.5 = -1.5$.
Если $x = 4.4$, то $y = 6 - 3(4.4) = 6 - 13.2 = -7.2$.
Ответ: при $x$ равном $-3; -1.5; 0; 1.3; 2.5; 4.4$ значения $y$ равны соответственно $15; 10.5; 6; 2.1; -1.5; -7.2$.

б) Найдем значения $x$, при которых значения $y$ равны заданным:
Из $y = 6 - 3x$ выразим $x$: $3x = 6 - y$, следовательно $x = \frac{6-y}{3}$.
Если $y = -4$, то $x = \frac{6-(-4)}{3} = \frac{10}{3}$.
Если $y = -2.3$, то $x = \frac{6-(-2.3)}{3} = \frac{8.3}{3} = \frac{83}{30}$.
Если $y = 0$, то $x = \frac{6-0}{3} = 2$.
Если $y = 1.2$, то $x = \frac{6-1.2}{3} = \frac{4.8}{3} = 1.6$.
Если $y = 4$, то $x = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$.
Если $y = 5.6$, то $x = \frac{6-5.6}{3} = \frac{0.4}{3} = \frac{2}{15}$.
Ответ: при $y$ равном $-4; -2.3; 0; 1.2; 4; 5.6$ значения $x$ равны соответственно $\frac{10}{3}; \frac{83}{30}; 2; 1.6; \frac{2}{3}; \frac{2}{15}$.

в) Проверим, принадлежит ли графику функции точка:
Точка $A(-2; -1)$: $y = 6 - 3(-2) = 12$. Так как $12 \neq -1$, точка не принадлежит графику.
Точка $B(0; -5)$: $y = 6 - 3(0) = 6$. Так как $6 \neq -5$, точка не принадлежит графику.
Точка $C(1; -3)$: $y = 6 - 3(1) = 3$. Так как $3 \neq -3$, точка не принадлежит графику.
Точка $M(3; 1)$: $y = 6 - 3(3) = -3$. Так как $-3 \neq 1$, точка не принадлежит графику.
Точка $P(5; 5)$: $y = 6 - 3(5) = -9$. Так как $-9 \neq 5$, точка не принадлежит графику.
Ответ: ни одна из указанных точек не принадлежит графику функции $y = 6 - 3x$.

4) Для функции $y = 2.5 + 2x$

а) Найдем значения $y$, соответствующие заданным значениям $x$:
Если $x = -3$, то $y = 2.5 + 2(-3) = 2.5 - 6 = -3.5$.
Если $x = -1.5$, то $y = 2.5 + 2(-1.5) = 2.5 - 3 = -0.5$.
Если $x = 0$, то $y = 2.5 + 2(0) = 2.5$.
Если $x = 1.3$, то $y = 2.5 + 2(1.3) = 2.5 + 2.6 = 5.1$.
Если $x = 2.5$, то $y = 2.5 + 2(2.5) = 2.5 + 5 = 7.5$.
Если $x = 4.4$, то $y = 2.5 + 2(4.4) = 2.5 + 8.8 = 11.3$.
Ответ: при $x$ равном $-3; -1.5; 0; 1.3; 2.5; 4.4$ значения $y$ равны соответственно $-3.5; -0.5; 2.5; 5.1; 7.5; 11.3$.

б) Найдем значения $x$, при которых значения $y$ равны заданным:
Из $y = 2.5 + 2x$ выразим $x$: $2x = y - 2.5$, следовательно $x = \frac{y-2.5}{2}$.
Если $y = -4$, то $x = \frac{-4-2.5}{2} = \frac{-6.5}{2} = -3.25$.
Если $y = -2.3$, то $x = \frac{-2.3-2.5}{2} = \frac{-4.8}{2} = -2.4$.
Если $y = 0$, то $x = \frac{0-2.5}{2} = -1.25$.
Если $y = 1.2$, то $x = \frac{1.2-2.5}{2} = \frac{-1.3}{2} = -0.65$.
Если $y = 4$, то $x = \frac{4-2.5}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75$.
Если $y = 5.6$, то $x = \frac{5.6-2.5}{2} = \frac{3.1}{2} = 1.55$.
Ответ: при $y$ равном $-4; -2.3; 0; 1.2; 4; 5.6$ значения $x$ равны соответственно $-3.25; -2.4; -1.25; -0.65; 0.75; 1.55$.

в) Проверим, принадлежит ли графику функции точка:
Точка $A(-2; -1)$: $y = 2.5 + 2(-2) = -1.5$. Так как $-1.5 \neq -1$, точка не принадлежит графику.
Точка $B(0; -5)$: $y = 2.5 + 2(0) = 2.5$. Так как $2.5 \neq -5$, точка не принадлежит графику.
Точка $C(1; -3)$: $y = 2.5 + 2(1) = 4.5$. Так как $4.5 \neq -3$, точка не принадлежит графику.
Точка $M(3; 1)$: $y = 2.5 + 2(3) = 8.5$. Так как $8.5 \neq 1$, точка не принадлежит графику.
Точка $P(5; 5)$: $y = 2.5 + 2(5) = 12.5$. Так как $12.5 \neq 5$, точка не принадлежит графику.
Ответ: ни одна из указанных точек не принадлежит графику функции $y = 2.5 + 2x$.

52. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = \frac{1}{x}$;

2) $\frac{1}{8}x^2 = -\frac{1}{x}$;

3) $x^3 = \frac{16}{x}$;

4) $2x + 3 = \frac{1}{x-1}$;

5) $x^2 = x^3$;

6) $x + 2 = x^3$;

7) $3 - x = -2x^3$;

8) $x^2 = x + 2$.

1) $x^2 = \frac{1}{x}$

Чтобы решить уравнение графически, построим графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = x^2$ и $y_2 = \frac{1}{x}$. Решением уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y_1 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График функции $y_2 = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$. Абсцисса этой точки равна 1.

Ответ: $x = 1$.

2) $\frac{1}{8}x^2 = -\frac{1}{x}$

Построим графики функций $y_1 = \frac{1}{8}x^2$ и $y_2 = -\frac{1}{x}$.

График функции $y_1 = \frac{1}{8}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Она шире, чем стандартная парабола $y=x^2$. График функции $y_2 = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная во втором и четвертом координатных квадрантах.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(-2, 0.5)$. Абсцисса этой точки равна -2.

Ответ: $x = -2$.

3) $x^3 = \frac{16}{x}$

Построим графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = \frac{16}{x}$.

График функции $y_1 = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. График функции $y_2 = \frac{16}{x}$ — это гипербола, расположенная в первом и третьем квадрантах, растянутая по сравнению со стандартной гиперболой.

Графики пересекаются в двух точках: $(2, 8)$ и $(-2, -8)$. Абсциссы этих точек равны 2 и -2.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

4) $2x + 3 = \frac{1}{x-1}$

Построим графики функций $y_1 = 2x + 3$ и $y_2 = \frac{1}{x-1}$.

График функции $y_1 = 2x + 3$ — это прямая линия. График функции $y_2 = \frac{1}{x-1}$ — это гипербола, смещенная на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота $x=1$.

Графики пересекаются в двух точках. Так как точки пересечения не имеют целочисленных координат, мы можем найти их лишь приблизительно. Из графика видно, что абсциссы точек пересечения примерно равны $x \approx 1.2$ и $x \approx -1.7$.

Ответ: $x_1 \approx 1.2, x_2 \approx -1.7$.

5) $x^2 = x^3$

Построим графики функций $y_1 = x^2$ (парабола) и $y_2 = x^3$ (кубическая парабола).

Графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек равны 0 и 1.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

6) $x + 2 = x^3$

Построим графики функций $y_1 = x + 2$ и $y_2 = x^3$.

График $y_1 = x + 2$ — это прямая линия. График $y_2 = x^3$ — это кубическая парабола.

Графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки не являются целочисленными. Из графика видно, что абсцисса точки пересечения примерно равна $x \approx 1.5$.

Ответ: $x \approx 1.5$.

7) $3 - x = -2x^3$

Построим графики функций $y_1 = 3 - x$ и $y_2 = -2x^3$.

График $y_1 = 3 - x$ — это прямая линия. График $y_2 = -2x^3$ — это кубическая парабола, отраженная относительно оси ординат и растянутая в 2 раза.

Графики пересекаются в одной точке, координаты которой не являются целочисленными. Из графика можно определить примерное значение абсциссы точки пересечения: $x \approx -1.3$.

Ответ: $x \approx -1.3$.

8) $x^2 = x + 2$

Построим графики функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = x + 2$.

График $y_1 = x^2$ — это парабола. График $y_2 = x + 2$ — это прямая линия.

Графики пересекаются в двух точках: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Абсциссы этих точек равны -1 и 2.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

53. Упростите выражение:

1) $\frac{3}{5 - a} + \frac{4}{a + 5}$;

2) $\frac{5}{4 - x} + \frac{6}{x + 4}$;

3) $\frac{8}{6 + x} - \frac{8}{x - 7}$;

4) $\frac{9a^2 + y^2}{3a - y} + \frac{6ay}{y - 3a}$;

5) $\frac{ay}{a - yb} + \frac{3a - by}{by - a}$;

6) $\frac{a^2 x^2 + 36y^2}{ax - 6y} + \frac{12axy}{6y - ax}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{3}{5-a} + \frac{4}{a+5}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что $a+5 = 5+a$. Общим знаменателем будет произведение $(5-a)(5+a)$, что является формулой разности квадратов и равно $25-a^2$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+5)$, а второй — на $(5-a)$:
$\frac{3}{5-a} + \frac{4}{a+5} = \frac{3(a+5)}{(5-a)(a+5)} + \frac{4(5-a)}{(5+a)(5-a)} = \frac{3a+15}{25-a^2} + \frac{20-4a}{25-a^2}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{3a+15+20-4a}{25-a^2} = \frac{35-a}{25-a^2}$
Ответ: $\frac{35-a}{25-a^2}$

2) Аналогично первому примеру, приведем дроби $\frac{5}{4-x} + \frac{6}{x+4}$ к общему знаменателю. Общий знаменатель — $(4-x)(x+4)$, или $(4-x)(4+x)$, что равно $16-x^2$.
Домножим первую дробь на $(x+4)$, а вторую на $(4-x)$:
$\frac{5(x+4)}{(4-x)(x+4)} + \frac{6(4-x)}{(x+4)(4-x)} = \frac{5x+20}{16-x^2} + \frac{24-6x}{16-x^2}$
Сложим числители:
$\frac{5x+20+24-6x}{16-x^2} = \frac{44-x}{16-x^2}$
Ответ: $\frac{44-x}{16-x^2}$

3) Для выражения $\frac{8}{6+x} - \frac{8}{x-7}$ общим знаменателем будет произведение $(6+x)(x-7)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{8(x-7)}{(6+x)(x-7)} - \frac{8(6+x)}{(x-7)(6+x)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{8(x-7) - 8(6+x)}{(6+x)(x-7)} = \frac{8x-56 - (48+8x)}{(6+x)(x-7)} = \frac{8x-56-48-8x}{(6+x)(x-7)} = \frac{-104}{(6+x)(x-7)}$
Ответ: $\frac{-104}{(6+x)(x-7)}$

4) В выражении $\frac{9a^2+y^2}{3a-y} + \frac{6ay}{y-3a}$ заметим, что знаменатели дробей противоположны: $y-3a = -(3a-y)$.
Это позволяет нам изменить знак второй дроби и получить общий знаменатель:
$\frac{9a^2+y^2}{3a-y} - \frac{6ay}{3a-y}$
Теперь объединим дроби:
$\frac{9a^2+y^2-6ay}{3a-y} = \frac{9a^2-6ay+y^2}{3a-y}$
Числитель является полным квадратом разности: $9a^2-6ay+y^2 = (3a-y)^2$.
Подставим его обратно в дробь и сократим:
$\frac{(3a-y)^2}{3a-y} = 3a-y$
Ответ: $3a-y$

5) В выражении $\frac{ay}{a-yb} + \frac{3a-by}{by-a}$ будем считать, что $yb$ и $by$ — это одно и то же произведение $b \cdot y$. Знаменатели $a-by$ и $by-a$ являются противоположными: $by-a = -(a-by)$.
Заменим знаменатель второй дроби и изменим знак перед ней:
$\frac{ay}{a-by} - \frac{3a-by}{a-by}$
Объединим дроби под общим знаменателем:
$\frac{ay - (3a-by)}{a-by} = \frac{ay-3a+by}{a-by}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{ay-3a+by}{a-by}$

6) В выражении $\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} + \frac{12axy}{6y-ax}$ знаменатели $ax-6y$ и $6y-ax$ противоположны: $6y-ax = -(ax-6y)$.
Приведем дроби к общему знаменателю, изменив знак второй дроби:
$\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} - \frac{12axy}{ax-6y}$
Объединим числители:
$\frac{a^2x^2+36y^2-12axy}{ax-6y} = \frac{a^2x^2-12axy+36y^2}{ax-6y}$
Числитель представляет собой полный квадрат разности: $a^2x^2-12axy+36y^2 = (ax-6y)^2$.
Сократим дробь:
$\frac{(ax-6y)^2}{ax-6y} = ax-6y$
Ответ: $ax-6y$

54. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $\frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25}$ И $\frac{1}{6 \cdot (3x - 5)}$;

2) $\frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16}$ И $\frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$;

3) $\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8}$ И $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$;

4) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1}$ И $\frac{3}{a - 1}$.

1) Чтобы доказать, что выражения тождественно равны, преобразуем первое выражение: $ \frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25} $.

Сначала разложим знаменатели дробей на множители:

$ 6x + 10 = 2(3x + 5) $

$ 9x - 15 = 3(3x - 5) $

$ 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5) $ (формула разности квадратов).

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{2(3x + 5)} - \frac{1}{3(3x - 5)} + \frac{5}{(3x - 5)(3x + 5)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $ 2 \cdot 3 \cdot (3x - 5)(3x + 5) = 6(3x - 5)(3x + 5) $. Приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1 \cdot 3(3x - 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} - \frac{1 \cdot 2(3x + 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} + \frac{5 \cdot 6}{6(3x - 5)(3x + 5)} $

Выполним действия с дробями:

$ \frac{3(3x - 5) - 2(3x + 5) + 30}{6(3x - 5)(3x + 5)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ 9x - 15 - (6x + 10) + 30 = 9x - 15 - 6x - 10 + 30 = (9x - 6x) + (-15 - 10 + 30) = 3x + 5 $

Подставим полученный результат обратно в числитель дроби:

$ \frac{3x + 5}{6(3x - 5)(3x + 5)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (3x + 5) $:

$ \frac{1}{6(3x - 5)} $

Результат преобразования первого выражения совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25} $ и $ \frac{1}{6(3x - 5)} $ тождественно равны.

2) Преобразуем выражение $ \frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ 2x - 8 = 2(x - 4) $

$ 40 - 10x = 10(4 - x) = -10(x - 4) $

$ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 $ (формула квадрата разности).

Перепишем выражение:

$ \frac{1}{2(x - 4)} + \frac{1}{-10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} = \frac{1}{2(x - 4)} - \frac{1}{10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} $

Общий знаменатель равен $ 10(x - 4)^2 $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot 5(x - 4)}{10(x - 4)^2} - \frac{1 \cdot (x - 4)}{10(x - 4)^2} + \frac{1 \cdot 10}{10(x - 4)^2} $

Объединим дроби:

$ \frac{5(x - 4) - (x - 4) + 10}{10(x - 4)^2} $

Упростим числитель:

$ 5x - 20 - x + 4 + 10 = (5x - x) + (-20 + 4 + 10) = 4x - 6 $

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$ \frac{4x - 6}{10(x - 4)^2} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(2x - 3)}{2 \cdot 5(x - 4)^2} = \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2} $

Полученное выражение совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16} $ и $ \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2} $ тождественно равны.

3) Преобразуем выражение $ \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} $.

Разложим знаменатель последней дроби по формуле разности кубов: $ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $.

Общий знаменатель всех дробей — $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{1 \cdot (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Запишем всё под одной чертой:

$ \frac{x^2 + 2x + 4 + (x - 2)^2 - 6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ x^2 + 2x + 4 + x^2 - 4x + 4 - 6x = (x^2 + x^2) + (2x - 4x - 6x) + (4 + 4) = 2x^2 - 8x + 8 $

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$ \frac{2x^2 - 8x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности:

$ \frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Сократим дробь на $ (x - 2) $:

$ \frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $

Полученное выражение совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} $ и $ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $ тождественно равны.

4) Преобразуем выражение $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $ a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

Общий знаменатель всех дробей — $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Запишем всё под одной чертой:

$ \frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ (2a^2 + 7a + 3) - (a - 1 - 2a^2 + 2a) - (a^2 + a + 1) = 2a^2 + 7a + 3 - (-2a^2 + 3a - 1) - a^2 - a - 1 $

$ = 2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - a^2 - a - 1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (2a^2 + 2a^2 - a^2) + (7a - 3a - a) + (3 + 1 - 1) = 3a^2 + 3a + 3 $

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$ \frac{3a^2 + 3a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Вынесем в числителе общий множитель 3:

$ \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Сократим дробь на $ (a^2 + a + 1) $:

$ \frac{3}{a - 1} $

Полученное выражение совпадает со вторым выражением. Тождество доказано.

Ответ: Выражения $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $ и $ \frac{3}{a - 1} $ тождественно равны.

55. Выполните действия над дробями:

1) $\frac{27c^4}{5d} : (-18c^3d^2)$;

2) $\frac{14a^2}{9x^3} : \frac{7a}{4x^2}$;

3) $\frac{7x^2}{10a^3} : \frac{343x^8}{15a^5}$;

4) $27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3}$.

1) $\frac{27c^4}{5d} : (-18c^3d^2)$

Чтобы разделить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби со знаменателем 1: $-18c^3d^2 = \frac{-18c^3d^2}{1}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь (перевернутую):

$\frac{27c^4}{5d} : \frac{-18c^3d^2}{1} = \frac{27c^4}{5d} \cdot \frac{1}{-18c^3d^2}$

Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{27c^4 \cdot 1}{5d \cdot (-18c^3d^2)} = \frac{27c^4}{-90c^3d^3}$

Сократим полученную дробь. Вынесем знак минус перед дробью. Сократим числовые коэффициенты 27 и 90 на их наибольший общий делитель, равный 9 ($27:9=3$, $90:9=10$). Сократим степени с одинаковым основанием, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$-\frac{27c^4}{90c^3d^3} = -\frac{9 \cdot 3 \cdot c^{4-3}}{9 \cdot 10 \cdot d^3} = -\frac{3c}{10d^3}$

Ответ: $-\frac{3c}{10d^3}$

2) $\frac{14a^2}{9x^3} : \frac{7a}{4x^2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{14a^2}{9x^3} \cdot \frac{4x^2}{7a} = \frac{14a^2 \cdot 4x^2}{9x^3 \cdot 7a}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе до перемножения, чтобы упростить вычисления. Сократим 14 и 7 на 7. Сократим $a^2$ и $a$ на $a$. Сократим $x^3$ и $x^2$ на $x^2$.

$\frac{14a^2}{9x^3} \cdot \frac{4x^2}{7a} = \frac{(2 \cdot 7)a^2 \cdot 4x^2}{9x^3 \cdot 7a} = \frac{2a \cdot 4}{9x} = \frac{8a}{9x}$

Ответ: $\frac{8a}{9x}$

3) $\frac{7x^2}{10a^3} : \frac{343x^8}{15a^5}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{7x^2}{10a^3} \cdot \frac{15a^5}{343x^8} = \frac{7x^2 \cdot 15a^5}{10a^3 \cdot 343x^8}$

Сократим общие множители. Заметим, что $343 = 7^3 = 7 \cdot 49$.

Числовые коэффициенты: $\frac{7}{343} = \frac{1}{49}$ и $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Переменные: $\frac{x^2}{x^8} = \frac{1}{x^{8-2}} = \frac{1}{x^6}$ и $\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2$.

Перемножим оставшиеся части:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{49x^6} = \frac{3a^2}{98x^6}$

Ответ: $\frac{3a^2}{98x^6}$

4) $27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3}$

Выполним действия по порядку, слева направо. Сначала умножение:

$27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{a^2}{b^2} = \frac{27a^{3+2}}{b^2} = \frac{27a^5}{b^2}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{27a^5}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3} = \frac{27a^5}{b^2} \cdot \frac{7b^3}{18a^5}$

Сократим общие множители:

Числовые коэффициенты: $\frac{27}{18} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{3}{2}$.

Переменные: $\frac{a^5}{a^5} = 1$ и $\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b$.

Перемножим оставшиеся множители:

$\frac{3}{1} \cdot \frac{7b}{2} = \frac{21b}{2}$

Ответ: $\frac{21b}{2}$