Страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

56. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $\frac{9x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{15}{4y(x-1)}$

2) $\frac{25a(b-1)}{3^2 d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3 d^2}$

3) $\frac{28p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-2)}{7p^2} : \frac{3p^2}{4q^3}$

4) $\frac{12x^5 y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2 b} : \frac{3x^2 (y+3)}{ab}$

1) Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, заменим деление на умножение на обратную дробь и выполним умножение дробей.$\frac{9x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{15}{4y(x-1)} = \frac{9x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^4}{27x^5} \cdot \frac{15}{4y(x-1)} = \frac{9x^2 \cdot 2y^4 \cdot 15}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 4y(x-1)}$.Теперь сократим числитель и знаменатель.Сначала числовые коэффициенты: $\frac{9 \cdot 2 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 4} = \frac{270}{540} = \frac{1}{2}$.Затем переменные: $\frac{x^2 y^4}{y^3 \cdot y \cdot x^5} = \frac{x^2 y^4}{y^4 x^5} = \frac{1}{x^{5-2}} = \frac{1}{x^3}$.Объединяем полученные части: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^3} \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2x^3(x-1)}$.Ответ: $\frac{1}{2x^3(x-1)}$

2) Преобразуем последовательное деление в умножение на обратные дроби, учитывая, что $3^2=9$:$\frac{25a(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d^2} = \frac{25a(b-1)}{9d} \cdot \frac{27ab}{5cd^2} \cdot \frac{c^3d^2}{a^3(b-1)}$.Запишем все под одной чертой и сократим:$\frac{25 \cdot 27 \cdot a \cdot (b-1) \cdot a \cdot b \cdot c^3 \cdot d^2}{9 \cdot 5 \cdot d \cdot c \cdot d^2 \cdot a^3 \cdot (b-1)} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9) \cdot a^2 b c^3 d^2 (b-1)}{9 \cdot 5 \cdot a^3 c d^3 (b-1)}$.Сокращаем числовые коэффициенты ($\frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 5} = 15$) и переменные (выражения в скобках):$\frac{15 a^2 b c^3 d^2}{a^3 c d^3} = 15 \cdot a^{2-3} \cdot b \cdot c^{3-1} \cdot d^{2-3} = 15a^{-1}bc^2d^{-1} = \frac{15bc^2}{ad}$.Ответ: $\frac{15bc^2}{ad}$

3) Заменим деление на умножение на обратную дробь:$\frac{28p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-2)}{7p^2} : \frac{3p^2}{4q^3} = \frac{28p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-2)}{7p^2} \cdot \frac{4q^3}{3p^2}$.Запишем все множители в числителе и знаменателе одной дроби и проведем сокращение:$\frac{28 \cdot 15 \cdot 4 \cdot p^4 \cdot q^2(p-2) \cdot q^3}{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p^2} = \frac{(4 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 4 \cdot p^4 \cdot q^{2+3} \cdot (p-2)}{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^{2+2}} = \frac{16 \cdot p^4 \cdot q^5 \cdot (p-2)}{p^4 \cdot q^3}$.Сокращаем степени: $16 \cdot p^{4-4} \cdot q^{5-3} \cdot (p-2) = 16 \cdot p^0 \cdot q^2 \cdot (p-2) = 16q^2(p-2)$.Ответ: $16q^2(p-2)$

4) Преобразуем оба деления в умножение на соответствующие обратные дроби:$\frac{12x^5y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{3x^2(y+3)}{ab} = \frac{12x^5y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{ab}{3x^2(y+3)}$.Объединим в одну дробь и сократим:$\frac{12 \cdot 13 \cdot x^5 y^4 \cdot a^2 b \cdot ab}{13 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ab^2 \cdot xy^2 \cdot x^2(y+3)} = \frac{12 \cdot 13 \cdot a^{2+1} b^{1+1} x^5 y^4}{13 \cdot 12 \cdot a b^2 x^{1+2} y^2 (y+3)} = \frac{a^3 b^2 x^5 y^4}{a b^2 x^3 y^2 (y+3)}$.Сокращаем степени: $a^{3-1} b^{2-2} x^{5-3} y^{4-2} \cdot \frac{1}{y+3} = a^2 b^0 x^2 y^2 \frac{1}{y+3} = \frac{a^2x^2y^2}{y+3}$.Ответ: $\frac{a^2x^2y^2}{y+3}$

57. Упростите выражение:

1) $(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 - \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right)^2 - 2;$

2) $(\left(\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y}\right)^2 - \left(\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y}\right)^2;$

3) $(\frac{x}{x+1} \cdot \left(\frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1}\right) - \frac{x}{x-1};$

4) $a^4 \cdot \left(\frac{3a+b}{a} - 3\right)^2 + b^4 \cdot \left(\frac{a-2b}{b} + 2\right)^2 - 4(ab)^2;$

5) $\frac{a}{a-2} - \left(\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}\right) \cdot \frac{a}{a+2};$

6) $2 + \left(\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}\right) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7};$

7) $2 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x + 2^{-1}} - 3x;$

8) $3 + \frac{4x^2 - 9^{-1}}{2x + 3^{-1}} - 2(x-1);$

9) $\frac{169^{-1} - a^2}{13^{-1} - a} - \left(a + 5 - \frac{1}{13}\right);$

10) $\left(\frac{1}{2-4a} + \frac{4a^2+2a+1}{8a^3-1}\right) : \frac{a+1}{8a^3-1} \cdot \frac{1}{4a-2}.$

1)Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = \frac{p}{q} + \frac{q}{p}$ и $b = \frac{p}{q} - \frac{q}{p}$.$ (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 - 2 = ((\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})) \cdot ((\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) + (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})) - 2 $$= (\frac{p}{q} + \frac{q}{p} - \frac{p}{q} + \frac{q}{p}) \cdot (\frac{p}{q} + \frac{q}{p} + \frac{p}{q} - \frac{q}{p}) - 2 = (2 \cdot \frac{q}{p}) \cdot (2 \cdot \frac{p}{q}) - 2 = 4 \frac{qp}{pq} - 2 = 4 - 2 = 2.$Ответ: $2$

2)Для упрощения выражения воспользуемся формулой $(A-B)^2 - (A+B)^2 = -4AB$.Пусть $A = \frac{a+y}{a}$ и $B = \frac{a-y}{y}$.$ (\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y})^2 - (\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y})^2 = -4 \cdot \frac{a+y}{a} \cdot \frac{a-y}{y} = -4 \frac{(a+y)(a-y)}{ay} = -4 \frac{a^2-y^2}{ay} = 4 \frac{y^2-a^2}{ay}. $Ответ: $4 \frac{y^2-a^2}{ay}$

3)Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.$ \frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{4x}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x + x^2-2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. $Теперь подставим результат в исходное выражение:$ \frac{x}{x+1} \cdot (\frac{x+1}{x-1}) - \frac{x}{x-1} = \frac{x}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 0. $Ответ: $0$

4)Упростим выражения в скобках.$ \frac{3a+b}{a} - 3 = \frac{3a+b-3a}{a} = \frac{b}{a}. $$ \frac{a-2b}{b} + 2 = \frac{a-2b+2b}{b} = \frac{a}{b}. $Подставим упрощенные выражения обратно:$ a^4 \cdot (\frac{b}{a})^2 + b^4 \cdot (\frac{a}{b})^2 - 4(ab)^2 = a^4 \cdot \frac{b^2}{a^2} + b^4 \cdot \frac{a^2}{b^2} - 4a^2b^2 = a^2b^2 + a^2b^2 - 4a^2b^2 = 2a^2b^2 - 4a^2b^2 = -2a^2b^2. $Ответ: $-2a^2b^2$

5)Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.$ \frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2} = \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{8a + a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2}. $Подставим результат в исходное выражение:$ \frac{a}{a-2} - (\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} = \frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0. $Ответ: $0$

6)Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $c^2-49 = (c-7)(c+7)$.$ \frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7} = \frac{28c}{(c-7)(c+7)} + \frac{(c-7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{28c + c^2-14c+49}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2+14c+49}{(c-7)(c+7)} = \frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7}. $Подставим результат в исходное выражение:$ 2 + (\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} = 2 + \frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} = 2. $Ответ: $2$

7)Преобразуем степени: $4^{-1} = \frac{1}{4}$ и $2^{-1} = \frac{1}{2}$.Выражение примет вид: $2 + \frac{9x^2-\frac{1}{4}}{3x+\frac{1}{2}} - 3x$.Упростим дробь, используя формулу разности квадратов в числителе: $9x^2-\frac{1}{4} = (3x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (3x-\frac{1}{2})(3x+\frac{1}{2})$.$ \frac{(3x-\frac{1}{2})(3x+\frac{1}{2})}{3x+\frac{1}{2}} = 3x - \frac{1}{2}. $Подставим в исходное выражение:$ 2 + (3x - \frac{1}{2}) - 3x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. $Ответ: $\frac{3}{2}$

8)Преобразуем степени: $9^{-1} = \frac{1}{9}$ и $3^{-1} = \frac{1}{3}$.Выражение примет вид: $3 + \frac{4x^2-\frac{1}{9}}{2x+\frac{1}{3}} - 2(x-1)$.Упростим дробь, используя формулу разности квадратов в числителе: $4x^2-\frac{1}{9} = (2x)^2 - (\frac{1}{3})^2 = (2x-\frac{1}{3})(2x+\frac{1}{3})$.$ \frac{(2x-\frac{1}{3})(2x+\frac{1}{3})}{2x+\frac{1}{3}} = 2x - \frac{1}{3}. $Подставим в исходное выражение:$ 3 + (2x - \frac{1}{3}) - 2(x-1) = 3 + 2x - \frac{1}{3} - 2x + 2 = 5 - \frac{1}{3} = \frac{14}{3}. $Ответ: $\frac{14}{3}$

9)Преобразуем степени и смешанное число: $169^{-1} = \frac{1}{169}$, $13^{-1} = \frac{1}{13}$, $5\frac{1}{13} = \frac{66}{13}$.Выражение примет вид: $\frac{\frac{1}{169}-a^2}{\frac{1}{13}-a} - (a+\frac{66}{13})$.Упростим дробь, используя формулу разности квадратов в числителе: $\frac{1}{169}-a^2 = (\frac{1}{13})^2 - a^2 = (\frac{1}{13}-a)(\frac{1}{13}+a)$.$ \frac{(\frac{1}{13}-a)(\frac{1}{13}+a)}{\frac{1}{13}-a} = \frac{1}{13}+a. $Подставим в исходное выражение:$ (\frac{1}{13}+a) - (a+\frac{66}{13}) = \frac{1}{13} + a - a - \frac{66}{13} = \frac{1-66}{13} = \frac{-65}{13} = -5. $Ответ: $-5$

10)Преобразуем выражение. Заметим, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.$ (\frac{1}{2-4a} + \frac{4a^2+2a+1}{2a+1} - \frac{a+1}{8a^3-1}) : \frac{1}{4a-2} = (\frac{1}{-2(2a-1)} + \frac{4a^2+2a+1}{2a+1} - \frac{a+1}{(2a-1)(4a^2+2a+1)}) \cdot (2(2a-1)). $Раскроем скобки, умножив каждый член на $2(2a-1)$:$ \frac{-1 \cdot 2(2a-1)}{2(2a-1)} + \frac{(4a^2+2a+1) \cdot 2(2a-1)}{2a+1} - \frac{(a+1) \cdot 2(2a-1)}{(2a-1)(4a^2+2a+1)} $$= -1 + \frac{2(8a^3-1)}{2a+1} - \frac{2(a+1)}{4a^2+2a+1}. $Полученное выражение не упрощается до простого вида. Это говорит о возможной опечатке в условии задачи, так как члены выражения содержат множители из разных формул сокращенного умножения ($8a^3-1$ и $2a+1$, который является множителем для $8a^3+1$). В исходном виде дальнейшее существенное упрощение невозможно.Ответ: Выражение не упрощается до компактного вида, вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Результат после частичного упрощения: $-1 + \frac{2(8a^3-1)}{2a+1} - \frac{2(a+1)}{4a^2+2a+1}$.

58. Найдите x из пропорции:

1) $\frac{x}{a + c} = \frac{c}{c^2 - a^2}$;

2) $\frac{x}{2n + c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2}$;

3) $\frac{x}{a - 3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2}$;

4) $\frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c + 2a}$;

5) $\frac{a \cdot x}{2a - 3c} = \frac{3ac}{9c^2 - 4a^2}$;

6) $\frac{2a \cdot x}{3b - a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2}$.

1) Исходная пропорция:$ \frac{x}{a + c} = \frac{c}{c^2 - a^2} $
Чтобы найти $x$, выразим его из пропорции, умножив правую часть на знаменатель левой части:$ x = \frac{c \cdot (a + c)}{c^2 - a^2} $
Знаменатель $c^2 - a^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$:$ c^2 - a^2 = (c - a)(c + a) $
Подставим разложенный знаменатель обратно в выражение для $x$:$ x = \frac{c \cdot (a + c)}{(c - a)(c + a)} $
Сократим общий множитель $(a + c)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a + c \neq 0$):$ x = \frac{c}{c - a} $
Ответ: $x = \frac{c}{c - a}$.

2) Исходная пропорция:$ \frac{x}{2n + c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2} $
Выразим $x$:$ x = \frac{4c \cdot (2n + c)}{c^2 - 4n^2} $
Разложим знаменатель $c^2 - 4n^2$ на множители как разность квадратов $c^2 - (2n)^2$:$ c^2 - 4n^2 = (c - 2n)(c + 2n) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$:$ x = \frac{4c \cdot (2n + c)}{(c - 2n)(c + 2n)} $
Так как $2n + c = c + 2n$, сократим этот общий множитель (при условии, что $c + 2n \neq 0$):$ x = \frac{4c}{c - 2n} $
Ответ: $x = \frac{4c}{c - 2n}$.

3) Исходная пропорция:$ \frac{x}{a - 3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2} $
Выразим $x$:$ x = \frac{2c \cdot (a - 3c)}{9c^2 - a^2} $
Разложим знаменатель $9c^2 - a^2$ на множители как разность квадратов $(3c)^2 - a^2$:$ 9c^2 - a^2 = (3c - a)(3c + a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$:$ x = \frac{2c \cdot (a - 3c)}{(3c - a)(3c + a)} $
Заметим, что множитель в числителе $(a - 3c)$ и множитель в знаменателе $(3c - a)$ отличаются знаком: $a - 3c = -(3c - a)$. Вынесем минус за скобки в числителе:$ x = \frac{2c \cdot (-(3c - a))}{(3c - a)(3c + a)} = \frac{-2c \cdot (3c - a)}{(3c - a)(3c + a)} $
Сократим общий множитель $(3c - a)$ (при условии, что $3c - a \neq 0$):$ x = \frac{-2c}{3c + a} $
Ответ: $x = \frac{-2c}{a + 3c}$.

4) Исходная пропорция:$ \frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c + 2a} $
Выразим $x$ из пропорции:$ x = \frac{6c \cdot (5c + 2a)}{25c^2 - 4a^2} $
Разложим знаменатель $25c^2 - 4a^2$ на множители как разность квадратов $(5c)^2 - (2a)^2$:$ 25c^2 - 4a^2 = (5c - 2a)(5c + 2a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$:$ x = \frac{6c \cdot (5c + 2a)}{(5c - 2a)(5c + 2a)} $
Сократим общий множитель $(5c + 2a)$ (при условии, что $5c + 2a \neq 0$):$ x = \frac{6c}{5c - 2a} $
Ответ: $x = \frac{6c}{5c - 2a}$.

5) Исходная пропорция:$ \frac{a \cdot x}{2a - 3c} = \frac{3ac}{9c^2 - 4a^2} $
Выразим произведение $a \cdot x$:$ a \cdot x = \frac{3ac \cdot (2a - 3c)}{9c^2 - 4a^2} $
Разложим знаменатель $9c^2 - 4a^2$ на множители как разность квадратов $(3c)^2 - (2a)^2$:$ 9c^2 - 4a^2 = (3c - 2a)(3c + 2a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение:$ a \cdot x = \frac{3ac \cdot (2a - 3c)}{(3c - 2a)(3c + 2a)} $
Заметим, что $2a - 3c = -(3c - 2a)$. Вынесем минус за скобки:$ a \cdot x = \frac{3ac \cdot (-(3c - 2a))}{(3c - 2a)(3c + 2a)} = \frac{-3ac \cdot (3c - 2a)}{(3c - 2a)(3c + 2a)} $
Сократим общий множитель $(3c - 2a)$:$ a \cdot x = \frac{-3ac}{3c + 2a} $
Теперь найдем $x$, разделив обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):$ x = \frac{-3ac}{a(3c + 2a)} $
Сократим $a$:$ x = \frac{-3c}{3c + 2a} $
Ответ: $x = \frac{-3c}{2a + 3c}$.

6) Исходная пропорция:$ \frac{2a \cdot x}{3b - a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2} $
Выразим произведение $2a \cdot x$:$ 2a \cdot x = \frac{6ab \cdot (3b - a)}{9b^2 - a^2} $
Разложим знаменатель $9b^2 - a^2$ на множители как разность квадратов $(3b)^2 - a^2$:$ 9b^2 - a^2 = (3b - a)(3b + a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение:$ 2a \cdot x = \frac{6ab \cdot (3b - a)}{(3b - a)(3b + a)} $
Сократим общий множитель $(3b - a)$:$ 2a \cdot x = \frac{6ab}{3b + a} $
Теперь найдем $x$, разделив обе части на $2a$ (при условии, что $a \neq 0$):$ x = \frac{6ab}{2a(3b + a)} $
Сократим общий множитель $2a$ в числителе и знаменателе:$ x = \frac{3b}{3b + a} $
Ответ: $x = \frac{3b}{a + 3b}$.

59. Найдите значение выражения:

1) $4x^2 + \frac{9}{x^2}$, если $2x + \frac{3}{x} = 5$;

2) $9x^2 + \frac{25}{4x^2}$, если $3x - \frac{5}{2x} = 2$.

1) Чтобы найти значение выражения $4x^2 + \frac{9}{x^2}$, воспользуемся данным равенством $2x + \frac{3}{x} = 5$.

Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$ и $\frac{9}{x^2} = (\frac{3}{x})^2$. Это наводит на мысль возвести в квадрат обе части исходного равенства. Для этого используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Возведем обе части равенства $2x + \frac{3}{x} = 5$ в квадрат:

$(2x + \frac{3}{x})^2 = 5^2$

$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{3}{x}) + (\frac{3}{x})^2 = 25$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x^2 + \frac{12x}{x} + \frac{9}{x^2} = 25$

Сократим $x$ в среднем члене:

$4x^2 + 12 + \frac{9}{x^2} = 25$

Теперь выразим искомую сумму $4x^2 + \frac{9}{x^2}$, перенеся 12 в правую часть уравнения:

$4x^2 + \frac{9}{x^2} = 25 - 12$

$4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$

Ответ: 13

2) Чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{25}{4x^2}$, воспользуемся данным равенством $3x - \frac{5}{2x} = 2$.

Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$ и $\frac{25}{4x^2} = (\frac{5}{2x})^2$. Это указывает на необходимость возвести в квадрат обе части исходного равенства. Для этого используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Возведем обе части равенства $3x - \frac{5}{2x} = 2$ в квадрат:

$(3x - \frac{5}{2x})^2 = 2^2$

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{5}{2x}) + (\frac{5}{2x})^2 = 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$9x^2 - \frac{30x}{2x} + \frac{25}{4x^2} = 4$

Сократим $x$ в среднем члене:

$9x^2 - 15 + \frac{25}{4x^2} = 4$

Теперь выразим искомую сумму $9x^2 + \frac{25}{4x^2}$, перенеся -15 в правую часть уравнения:

$9x^2 + \frac{25}{4x^2} = 4 + 15$

$9x^2 + \frac{25}{4x^2} = 19$

Ответ: 19

60. Докажите, что выражение $(5 - 2a)^2 - 4a^2$ кратно 5.

Для того чтобы доказать, что выражение $(5-2a)^2 - 4a^2$ кратно 5, его необходимо упростить и показать, что оно представимо в виде произведения, где один из множителей равен 5.

Упростим данное выражение. Сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(5-2a)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2a + (2a)^2 = 25 - 20a + 4a^2$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(25 - 20a + 4a^2) - 4a^2$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $4a^2$ и $-4a^2$ взаимно уничтожаются:

$25 - 20a + 4a^2 - 4a^2 = 25 - 20a$.

Мы получили выражение $25 - 20a$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$25 - 20a = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 4a = 5(5 - 4a)$.

В результате преобразований мы получили выражение $5(5 - 4a)$. Поскольку один из множителей в этом произведении равен 5, то всё выражение делится на 5 нацело при любом значении $a$, при котором $(5-4a)$ является целым числом (например, при любом целом $a$). Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 5.

Ответ: Так как выражение можно преобразовать к виду $5(5-4a)$, оно кратно 5.

61. Докажите, что выражение $(n+4)^2 - n^2$ кратно 8.

Чтобы доказать, что выражение $(n + 4)^2 - n^2$ кратно 8 для любого целого числа $n$, мы можем упростить его. Рассмотрим два способа.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов

Выражение имеет вид $a^2 - b^2$, где $a = n + 4$ и $b = n$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(n + 4)^2 - n^2 = ((n + 4) - n) \cdot ((n + 4) + n)$

Упростим множители в скобках:

$((n + 4) - n) = 4$

$((n + 4) + n) = 2n + 4$

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$4 \cdot (2n + 4)$

Вынесем общий множитель 2 из второго сомножителя:

$4 \cdot 2(n + 2) = 8(n + 2)$

Способ 2: Раскрытие скобок

Раскроем квадрат суммы $(n+4)^2$ по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(n + 4)^2 - n^2 = (n^2 + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^2) - n^2$

$(n^2 + 8n + 16) - n^2$

Приведем подобные слагаемые, сократив $n^2$ и $-n^2$:

$8n + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8(n + 2)$

Заключение

Оба способа приводят к одному и тому же результату: $(n + 4)^2 - n^2 = 8(n + 2)$. Поскольку $n$ — это целое число, то выражение $n + 2$ также является целым числом. Произведение целого числа на 8 всегда делится на 8. Следовательно, данное выражение кратно 8 при любом целом $n$.

Ответ: Выражение $(n+4)^2 - n^2$ после алгебраических преобразований равно $8(n+2)$. Так как $n+2$ — целое число для любого целого $n$, то произведение $8(n+2)$ всегда кратно 8, что и требовалось доказать.