Страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Докажите тождество:

1) $(c+6)(3a-4)+(a-c)(1+c+a)-3ac+24+5c-19a=a^2-c^2;$

2) $(a-c)^2-(a^2-c^2)+2ac-2=2(c^2-1).$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть до вида правой части.

Левая часть: $(c + 6)(3a - 4) + (a - c)(1 + c + a) - 3ac + 24 + 5c - 19a$.

Шаг 1: Раскроем скобки в произведении $(c + 6)(3a - 4)$.

$(c + 6)(3a - 4) = c \cdot 3a + c \cdot (-4) + 6 \cdot 3a + 6 \cdot (-4) = 3ac - 4c + 18a - 24$.

Шаг 2: Раскроем скобки в произведении $(a - c)(1 + c + a)$. Для удобства переставим слагаемые во второй скобке: $(a - c)(a + c + 1)$.

$(a - c)((a + c) + 1) = (a - c)(a + c) + (a - c) \cdot 1 = (a^2 - c^2) + (a - c) = a^2 - c^2 + a - c$.

Шаг 3: Подставим раскрытые скобки обратно в левую часть исходного выражения.

$(3ac - 4c + 18a - 24) + (a^2 - c^2 + a - c) - 3ac + 24 + 5c - 19a$.

Шаг 4: Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

$a^2 - c^2 + (3ac - 3ac) + (18a + a - 19a) + (-4c - c + 5c) + (-24 + 24)$

$= a^2 - c^2 + 0 + (19a - 19a) + (-5c + 5c) + 0$

$= a^2 - c^2 + 0 + 0 + 0 = a^2 - c^2$.

Шаг 5: Сравним полученный результат с правой частью тождества.

Левая часть $a^2 - c^2$ равна правой части $a^2 - c^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после упрощения левой части мы получили правую часть: $a^2 - c^2 = a^2 - c^2$.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Левая часть: $(a - c)^2 - (a^2 - c^2) + 2ac - 2$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

Шаг 2: Подставим полученное выражение в левую часть и раскроем остальные скобки.

$(a^2 - 2ac + c^2) - (a^2 - c^2) + 2ac - 2 = a^2 - 2ac + c^2 - a^2 + c^2 + 2ac - 2$.

Шаг 3: Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

$(a^2 - a^2) + (-2ac + 2ac) + (c^2 + c^2) - 2$

$= 0 + 0 + 2c^2 - 2 = 2c^2 - 2$.

Шаг 4: Преобразуем правую часть исходного тождества.

$2(c^2 - 1) = 2 \cdot c^2 - 2 \cdot 1 = 2c^2 - 2$.

Шаг 5: Сравним полученные выражения для левой и правой частей.

Левая часть $2c^2 - 2$ равна правой части $2c^2 - 2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после упрощения обе части равенства стали идентичны: $2c^2 - 2 = 2c^2 - 2$.

17. Докажите числовое тождество:

1) $27^{-1}81^2(3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4;$

2) $7^{-2} 21^2(6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3}9^{-2};$

3) $4^{-1}8^2(a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3};$

4) $a^{-1}(ab)^2(b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}.$

1) Для доказательства тождества $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$ преобразуем обе его части, приведя все степени к общему основанию 3.
Сначала преобразуем левую часть. Учитывая, что $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$, получаем:
$ (3^3)^{-1} \cdot (3^4)^2 \cdot (3^{-3})^3 : (3^4)^{-3} $
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упрощаем выражение:
$ 3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} : 3^{-12} $
Далее, используя свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$):
$ 3^{-3+8-9} : 3^{-12} = 3^{-4} : 3^{-12} = 3^{-4 - (-12)} = 3^{-4+12} = 3^8 $.
Теперь преобразуем правую часть тождества, зная, что $9 = 3^2$:
$ 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 $.
Так как левая часть ($3^8$) равна правой части ($3^8$), тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

2) Для доказательства тождества $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2}$ преобразуем обе части, разложив числа на простые множители.
Преобразуем левую часть. Простые множители: $21=3 \cdot 7$, $6=2 \cdot 3$, $14=2 \cdot 7$, $343=7^3$.
$ 7^{-2} \cdot (3 \cdot 7)^2 \cdot ((2 \cdot 3)^{-3})^2 : (2 \cdot 7)^{-3} : 7^3 = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot (2 \cdot 3)^{-6} : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3 $
$ = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6} : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3 $
Выполним действия по порядку (слева направо). Сначала умножение:
$ (7^{-2} \cdot 7^2) \cdot (3^2 \cdot 3^{-6}) \cdot 2^{-6} = 7^0 \cdot 3^{-4} \cdot 2^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-4} $.
Теперь первое деление:
$ (2^{-6} \cdot 3^{-4}) : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) = \frac{2^{-6} \cdot 3^{-4}}{2^{-3} \cdot 7^{-3}} = 2^{-6-(-3)} \cdot 3^{-4} \cdot 7^{-(-3)} = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3 $.
И второе деление:
$ (2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3) : 7^3 = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^{3-3} = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^0 = 2^{-3} \cdot 3^{-4} $.
Преобразуем правую часть. Учитывая, что $9 = 3^2$:
$ 2^{-3} \cdot 9^{-2} = 2^{-3} \cdot (3^2)^{-2} = 2^{-3} \cdot 3^{-4} $.
Левая и правая части равны, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

3) Для доказательства тождества $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3}$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть. Учитывая, что $4=2^2$ и $8=2^3$:
$ (2^2)^{-1} \cdot (2^3)^2 \cdot (a^{-3})^3 : (2^3a^{-3})^2 = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : (2^6a^{-6}) $
Выполним умножение и деление:
$ \frac{2^{-2+6} \cdot a^{-9}}{2^6 \cdot a^{-6}} = \frac{2^4 a^{-9}}{2^6 a^{-6}} = 2^{4-6} \cdot a^{-9-(-6)} = 2^{-2} a^{-3} $.
Преобразуем правую часть. Учитывая, что $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$:
$ 0,25a^{-3} = 2^{-2}a^{-3} $.
Так как левая и правая части равны ($2^{-2}a^{-3} = 2^{-2}a^{-3}$), тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

4) Для доказательства тождества $a^{-1}(ab)^2(b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$ преобразуем левую часть.
Используем свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$ a^{-1} \cdot (a^2b^2) \cdot b^{-3 \cdot 3} : b^{-3} = a^{-1}a^2b^2b^{-9} : b^{-3} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним действия:
$ (a^{-1}a^2) \cdot (b^2b^{-9}) : b^{-3} = a^{-1+2} \cdot b^{2-9} : b^{-3} = a^1 \cdot b^{-7} : b^{-3} $
$ = a \cdot b^{-7 - (-3)} = a \cdot b^{-7+3} = ab^{-4} $.
Левая часть ($ab^{-4}$) равна правой части ($ab^{-4}$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

18. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $a^2 - 10a + 25$;

2) $144 - 24c + c^2$;

3) $9x^2 - 12x + 4$;

4) $25n^2 + 30n + 9$.

Для того чтобы представить данные выражения в виде квадрата двучлена, мы воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Для каждого выражения мы определим, является ли оно полным квадратом, и найдем соответствующие одночлены.

1) $a^2 - 10a + 25$
Данное выражение является трехчленом. Проверим, соответствует ли оно формуле квадрата разности.
Первый член: $a^2$ - это квадрат $a$.
Третий член: $25$ - это квадрат $5$, так как $5^2 = 25$.
Средний член: $-10a$. Проверим, является ли он удвоенным произведением $a$ и $5$: $-2 \cdot a \cdot 5 = -10a$.
Все условия выполняются, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата разности $(a-5)$.
$a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.
Ответ: $(a-5)^2$

2) $144 - 24c + c^2$
Данное выражение также является трехчленом. Проверим, соответствует ли оно формуле квадрата разности.
Первый член: $144$ - это квадрат $12$, так как $12^2 = 144$.
Третий член: $c^2$ - это квадрат $c$.
Средний член: $-24c$. Проверим, является ли он удвоенным произведением $12$ и $c$: $-2 \cdot 12 \cdot c = -24c$.
Все условия выполняются, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата разности $(12-c)$.
$144 - 24c + c^2 = 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot c + c^2 = (12-c)^2$.
Ответ: $(12-c)^2$

3) $9x^2 - 12x + 4$
Проверим, соответствует ли это выражение формуле квадрата разности.
Первый член: $9x^2$ - это квадрат $3x$, так как $(3x)^2 = 9x^2$.
Третий член: $4$ - это квадрат $2$, так как $2^2 = 4$.
Средний член: $-12x$. Проверим, является ли он удвоенным произведением $3x$ и $2$: $-2 \cdot (3x) \cdot 2 = -12x$.
Все условия выполняются, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата разности $(3x-2)$.
$9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x-2)^2$.
Ответ: $(3x-2)^2$

4) $25n^2 + 30n + 9$
Проверим, соответствует ли это выражение формуле квадрата суммы.
Первый член: $25n^2$ - это квадрат $5n$, так как $(5n)^2 = 25n^2$.
Третий член: $9$ - это квадрат $3$, так как $3^2 = 9$.
Средний член: $30n$. Проверим, является ли он удвоенным произведением $5n$ и $3$: $2 \cdot (5n) \cdot 3 = 30n$.
Все условия выполняются, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата суммы $(5n+3)$.
$25n^2 + 30n + 9 = (5n)^2 + 2 \cdot (5n) \cdot 3 + 3^2 = (5n+3)^2$.
Ответ: $(5n+3)^2$

Разложите на множители выражения (19—21):

19. 1) $4a^2c^3 - 4ac^3 + c^3;$

2) $12ax^2 - 60ax + 75a;$

3) $-0,2y^2 + 1,2y - 1,8;$

4) $\frac{1}{9}a^2 + 1\frac{1}{3}a + 4.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $4a^2c^3 - 4ac^3 + c^3$, первым шагом вынесем общий множитель $c^3$ за скобки.
$4a^2c^3 - 4ac^3 + c^3 = c^3(4a^2 - 4a + 1)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 4a + 1$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно представить с помощью формулы $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, $y^2 = 1 = 1^2$, а удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.
Следовательно, $4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом: $c^3(2a - 1)^2$.
Ответ: $c^3(2a - 1)^2$.

2) В выражении $12ax^2 - 60ax + 75a$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель коэффициентов 12, 60 и 75 равен 3. Также во всех членах есть переменная $a$. Вынесем $3a$ за скобки.
$12ax^2 - 60ax + 75a = 3a(4x^2 - 20x + 25)$
Выражение в скобках $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом разности по формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Здесь $p^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $q^2 = 25 = 5^2$, и средний член $2pq = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$.
Значит, $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$.
Окончательное разложение на множители: $3a(2x - 5)^2$.
Ответ: $3a(2x - 5)^2$.

3) Для разложения на множители выражения $-0.2y^2 + 1.2y - 1.8$ вынесем за скобки коэффициент при старшем члене, то есть $-0.2$.
$-0.2y^2 + 1.2y - 1.8 = -0.2(y^2 - \frac{1.2}{0.2}y + \frac{1.8}{0.2}) = -0.2(y^2 - 6y + 9)$
Выражение в скобках $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
В данном случае $p^2 = y^2$, $q^2 = 9 = 3^2$, а удвоенное произведение $2pq = 2 \cdot y \cdot 3 = 6y$.
Следовательно, $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Получаем итоговое разложение: $-0.2(y - 3)^2$.
Ответ: $-0.2(y - 3)^2$.

4) Рассмотрим выражение $\frac{1}{9}a^2 + 1\frac{1}{3}a + 4$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Выражение примет вид: $\frac{1}{9}a^2 + \frac{4}{3}a + 4$.
Это выражение является полным квадратом суммы и соответствует формуле $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$.
Проверим это: первый член $p^2 = \frac{1}{9}a^2 = (\frac{1}{3}a)^2$, значит $p = \frac{1}{3}a$.
Третий член $q^2 = 4 = 2^2$, значит $q = 2$.
Средний член должен быть равен удвоенному произведению $2pq = 2 \cdot (\frac{1}{3}a) \cdot 2 = \frac{4}{3}a$. Это соответствует среднему члену в исходном выражении.
Таким образом, выражение можно свернуть в квадрат суммы: $(\frac{1}{3}a + 2)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{3}a + 2)^2$.

20. 1) $9a^2 - 25c^2;$

2) $0.81x^2 - 1.44y^2;$

3) $8a^3 - 27;$

4) $0.001x^3 - 125a^3.$

1) Данное выражение представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата:
$9a^2 = (3a)^2$
$25c^2 = (5c)^2$
Теперь применим формулу:
$9a^2 - 25c^2 = (3a)^2 - (5c)^2 = (3a - 5c)(3a + 5c)$.
Ответ: $(3a - 5c)(3a + 5c)$.

2) Это выражение также является разностью квадратов. Применим ту же формулу: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата:
$0,81x^2 = (0,9x)^2$
$1,44y^2 = (1,2y)^2$
Подставим в формулу:
$0,81x^2 - 1,44y^2 = (0,9x)^2 - (1,2y)^2 = (0,9x - 1,2y)(0,9x + 1,2y)$.
Ответ: $(0,9x - 1,2y)(0,9x + 1,2y)$.

3) Данное выражение является разностью кубов. Для разложения на множители используем формулу: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба:
$8a^3 = (2a)^3$
$27 = 3^3$
Применим формулу разности кубов:
$8a^3 - 27 = (2a)^3 - 3^3 = (2a - 3)((2a)^2 + 2a \cdot 3 + 3^2) = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)$.
Ответ: $(2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)$.

4) Это выражение также является разностью кубов. Используем формулу: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба:
$0,001x^3 = (0,1x)^3$
$125a^3 = (5a)^3$
Применим формулу:
$0,001x^3 - 125a^3 = (0,1x)^3 - (5a)^3 = (0,1x - 5a)((0,1x)^2 + 0,1x \cdot 5a + (5a)^2) = (0,1x - 5a)(0,01x^2 + 0,5ax + 25a^2)$.
Ответ: $(0,1x - 5a)(0,01x^2 + 0,5ax + 25a^2)$.

21. 1) $(2x - 3)^2 - (3x - 5)^2$;

2) $(3x + 2)^2 - (1 - 2x)^2;

3) $16(2x + 5)^2 - 81(4 - 5x)^2;

4) $0,01a^2 - (a - 3)^2;

5) $(2a - 1)^3 - 27a^3;

6) $(3x - 2)^3 + (5 - 4x)^3$.

1) Для разложения выражения $(2x - 3)^2 - (3x - 5)^2$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае $a = 2x - 3$ и $b = 3x - 5$.

Подставим выражения в формулу:

$(2x - 3)^2 - (3x - 5)^2 = ((2x - 3) - (3x - 5))((2x - 3) + (3x - 5))$.

Теперь упростим выражения в каждой паре скобок:

$(2x - 3 - 3x + 5)(2x - 3 + 3x - 5)$

$(-x + 2)(5x - 8)$

Для удобства можно записать первый множитель как $(2 - x)$.

Ответ: $(2 - x)(5x - 8)$.

2) Выражение $(3x + 2)^2 - (1 - 2x)^2$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x + 2$ и $b = 1 - 2x$.

Подставим значения в формулу:

$((3x + 2) - (1 - 2x))((3x + 2) + (1 - 2x))$.

Упростим выражения в скобках:

$(3x + 2 - 1 + 2x)(3x + 2 + 1 - 2x)$

$(5x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(5x + 1)(x + 3)$.

3) Для разложения выражения $16(2x + 5)^2 - 81(4 - 5x)^2$ представим его в виде разности квадратов. Заметим, что $16 = 4^2$ и $81 = 9^2$.

$16(2x + 5)^2 - 81(4 - 5x)^2 = (4(2x + 5))^2 - (9(4 - 5x))^2$.

Теперь используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4(2x + 5) = 8x + 20$ и $b = 9(4 - 5x) = 36 - 45x$.

$((8x + 20) - (36 - 45x))((8x + 20) + (36 - 45x))$.

Упростим содержимое скобок:

$(8x + 20 - 36 + 45x)(8x + 20 + 36 - 45x)$

$(53x - 16)(-37x + 56)$

Второй множитель можно записать как $(56 - 37x)$.

Ответ: $(53x - 16)(56 - 37x)$.

4) Выражение $0,01a^2 - (a - 3)^2$ также является разностью квадратов, так как $0,01a^2 = (0.1a)^2$.

Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 0.1a$ и $y = a - 3$.

$(0.1a - (a - 3))(0.1a + (a - 3))$.

Упростим выражения в скобках:

$(0.1a - a + 3)(0.1a + a - 3)$

$(-0.9a + 3)(1.1a - 3)$.

Первый множитель можно записать как $(3 - 0.9a)$.

Ответ: $(3 - 0.9a)(1.1a - 3)$.

5) Для разложения выражения $(2a - 1)^3 - 27a^3$ на множители используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим $27a^3$ в виде куба: $27a^3 = (3a)^3$. Тогда $x = 2a - 1$ и $y = 3a$.

Подставим в формулу:

$((2a - 1) - 3a)((2a - 1)^2 + (2a - 1)(3a) + (3a)^2)$.

Упростим первый множитель: $2a - 1 - 3a = -a - 1 = -(a + 1)$.

Упростим второй множитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a + 1) + (6a^2 - 3a) + 9a^2 = 19a^2 - 7a + 1$.

Объединяем множители:

$-(a + 1)(19a^2 - 7a + 1)$.

Ответ: $-(a + 1)(19a^2 - 7a + 1)$.

6) Для разложения выражения $(3x - 2)^3 + (5 - 4x)^3$ на множители используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 3x - 2$ и $b = 5 - 4x$.

Подставим в формулу:

$((3x - 2) + (5 - 4x))((3x - 2)^2 - (3x - 2)(5 - 4x) + (5 - 4x)^2)$.

Упростим первый множитель: $3x - 2 + 5 - 4x = -x + 3 = 3 - x$.

Упростим второй множитель:

$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

$-(3x - 2)(5 - 4x) = -(15x - 12x^2 - 10 + 8x) = -(-12x^2 + 23x - 10) = 12x^2 - 23x + 10$.

$(5 - 4x)^2 = 25 - 40x + 16x^2$.

Сложим полученные части второго множителя:

$(9x^2 - 12x + 4) + (12x^2 - 23x + 10) + (16x^2 - 40x + 25) = 37x^2 - 75x + 39$.

Объединяем множители:

$(3 - x)(37x^2 - 75x + 39)$.

Ответ: $(3 - x)(37x^2 - 75x + 39)$.

Решите уравнения (22–25):

22. 1) $3(x^2 - 2) - 3x + 7 - 3(x^2 - 2x) = 0;$

2) $-(x^2 - 2) - 0.3x + 7x + (x^2 - 0.2x) = 0;$

3) $(x^3 - 2x + 4) - 4x + 8 - (x^3 - 5x) = 0;$

4) $-3(x^3 - 5x - 7) - 2x + 8.2 - 3(2.3 - x^3 - 5x) = 0.$

1) Раскроем скобки в уравнении и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 6 - 3x + 7 - 3x^2 + 6x = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(3x^2 - 3x^2) + (-3x + 6x) + (-6 + 7) = 0$

Упрощаем выражение:

$0 + 3x + 1 = 0$

$3x + 1 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = -1$

$x = -1/3$

Ответ: $x = -1/3$.

2) Раскроем скобки в уравнении и приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 2 - 0.3x + 7x + x^2 - 0.2x = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(-x^2 + x^2) + (-0.3x + 7x - 0.2x) + 2 = 0$

Упрощаем выражение:

$0 + 6.5x + 2 = 0$

$6.5x + 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$6.5x = -2$

$x = -2 / 6.5$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, а затем сократим дробь:

$x = -20 / 65 = -4 / 13$

Ответ: $x = -4/13$.

3) Раскроем скобки в уравнении и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 2x + 4 - 4x + 8 - x^3 + 5x = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (-2x - 4x + 5x) + (4 + 8) = 0$

Упрощаем выражение:

$0 - x + 12 = 0$

$-x + 12 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$12 = x$

Ответ: $x = 12$.

4) Раскроем скобки в уравнении и приведем подобные слагаемые:

$-3x^3 + 15x + 21 - 2x + 8.2 - 6.9 + 3x^3 + 15x = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(-3x^3 + 3x^3) + (15x - 2x + 15x) + (21 + 8.2 - 6.9) = 0$

Упрощаем выражение:

$0 + 28x + 22.3 = 0$

$28x + 22.3 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$28x = -22.3$

$x = -22.3 / 28$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x = -223 / 280$

Дробь является несократимой.

Ответ: $x = -223/280$.

23.

1) $(x - 2)^2 - (3 - x)^2 = 0;$

2) $(2x + 1)^2 - (4 - 2x)^2 = 0;$

3) $3(2x - 5)^2 - 4(3 - 2x)^2 + 4x^2 = 0;$

4) $0,2(3x - 1,5)^2 - 0,4(1 - 2x)^2 - 0,2x^2 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x - 2)^2 - (3 - x)^2 = 0$.
Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = x - 2$ и $b = 3 - x$.
Подставим эти значения в формулу:
$((x - 2) - (3 - x))((x - 2) + (3 - x)) = 0$
Раскроем скобки внутри каждой группы скобок:
$(x - 2 - 3 + x)(x - 2 + 3 - x) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(2x - 5)(1) = 0$
$2x - 5 = 0$
Перенесем 5 в правую часть:
$2x = 5$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $x = 2,5$.

2) Исходное уравнение: $(2x + 1)^2 - (4 - 2x)^2 = 0$.
Это также разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x + 1$ и $b = 4 - 2x$.
$((2x + 1) - (4 - 2x))((2x + 1) + (4 - 2x)) = 0$
Раскроем скобки внутри каждой группы скобок:
$(2x + 1 - 4 + 2x)(2x + 1 + 4 - 2x) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(4x - 3)(5) = 0$
Разделим обе части на 5:
$4x - 3 = 0$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4} = 0,75$
Ответ: $x = 0,75$.

3) Исходное уравнение: $3(2x - 5)^2 - 4(3 - 2x)^2 + 4x^2 = 0$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$
$(3 - 2x)^2 = 3^2 - 2(3)(2x) + (2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$3(4x^2 - 20x + 25) - 4(9 - 12x + 4x^2) + 4x^2 = 0$
Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты перед ними:
$12x^2 - 60x + 75 - 36 + 48x - 16x^2 + 4x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:
$(12x^2 - 16x^2 + 4x^2) + (-60x + 48x) + (75 - 36) = 0$
$(12 - 16 + 4)x^2 + (-60 + 48)x + (75 - 36) = 0$
$0 \cdot x^2 - 12x + 39 = 0$
$-12x + 39 = 0$
$12x = 39$
$x = \frac{39}{12}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{13}{4} = 3,25$
Ответ: $x = 3,25$.

4) Исходное уравнение: $0,2(3x - 1,5)^2 - 0,4(1 - 2x)^2 - 0,2x^2 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 10:
$2(3x - 1,5)^2 - 4(1 - 2x)^2 - 2x^2 = 0$
Теперь разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$(3x - 1,5)^2 - 2(1 - 2x)^2 - x^2 = 0$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(3x - 1,5)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(1,5) + (1,5)^2 = 9x^2 - 9x + 2,25$
$(1 - 2x)^2 = 1^2 - 2(1)(2x) + (2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2$
Подставим эти выражения в упрощенное уравнение:
$(9x^2 - 9x + 2,25) - 2(1 - 4x + 4x^2) - x^2 = 0$
Раскроем оставшиеся скобки:
$9x^2 - 9x + 2,25 - 2 + 8x - 8x^2 - x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 8x^2 - x^2) + (-9x + 8x) + (2,25 - 2) = 0$
$(9 - 8 - 1)x^2 + (-9 + 8)x + (2,25 - 2) = 0$
$0 \cdot x^2 - x + 0,25 = 0$
$-x + 0,25 = 0$
$x = 0,25$
Ответ: $x = 0,25$.

24.

1) $2^2 + 3x = 0,25$;

2) $3x + 3^2x = 9^2 + x$;

3) $2,25x = 5,125 - 4x$;

4) $0,25x - 2^2x = 8^2 + x.

1) $2^2 + 3x = 0,25$

Сначала вычислим значение $2^2$:

$2^2 = 4$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$4 + 3x = 0,25$

Теперь перенесем число 4 из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$3x = 0,25 - 4$

$3x = -3,75$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{-3,75}{3}$

$x = -1,25$

Ответ: $x = -1,25$

2) $3x + 3^2x = 9^2 + x$

Вычислим значения степеней в уравнении: $3^2 = 9$ и $9^2 = 81$.

Подставим полученные значения:

$3x + 9x = 81 + x$

Сложим слагаемые с $x$ в левой части:

$12x = 81 + x$

Перенесем $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$12x - x = 81$

$11x = 81$

Найдем $x$, разделив 81 на 11:

$x = \frac{81}{11}$

Представим ответ в виде смешанного числа:

$x = 7\frac{4}{11}$

Ответ: $x = 7\frac{4}{11}$

3) $2,25x = 5,125 - 4x$

Перенесем слагаемое $-4x$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный:

$2,25x + 4x = 5,125$

Сложим коэффициенты при $x$ в левой части:

$6,25x = 5,125$

Разделим обе части уравнения на 6,25:

$x = \frac{5,125}{6,25}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$x = \frac{5125}{6250}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 125:

$5125 \div 125 = 41$

$6250 \div 125 = 50$

$x = \frac{41}{50}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 0,82$

Ответ: $x = 0,82$

4) $0,25x - 2^2x = 8^2 + x$

Сначала вычислим значения степеней: $2^2 = 4$ и $8^2 = 64$.

Подставим эти значения в уравнение:

$0,25x - 4x = 64 + x$

Упростим левую часть уравнения:

$-3,75x = 64 + x$

Перенесем $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-3,75x - x = 64$

$-4,75x = 64$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на -4,75. Представим -4,75 в виде обыкновенной дроби:

$-4,75 = -4\frac{75}{100} = -4\frac{3}{4} = -\frac{19}{4}$

Теперь решим уравнение:

$x = \frac{64}{-4,75} = \frac{64}{-\frac{19}{4}}$

При делении на дробь мы умножаем на обратную ей дробь:

$x = 64 \cdot (-\frac{4}{19})$

$x = -\frac{64 \cdot 4}{19} = -\frac{256}{19}$

Выделим целую часть:

$x = -13\frac{9}{19}$

Ответ: $x = -13\frac{9}{19}$

25.

1) $(3x - 2) \cdot (x + 3) - 3x(x + 1) - 3 = 0;$

2) $(2x - 2) \cdot (2x + 7) - x(4x + 1) - 3,5 = 0;$

3) $(2 - 5x) \cdot (2x - 1) + x(10x + 1) - 4,7 = 0;$

4) $(2,4 - 5x) \cdot (4x - 1) + 2x(10x + 8,4) - 3,3 = 0;$

5) $(x - 1)^3 - x(x + 2)^2 + x(7x - 5) = 6;$

6) $(2x - 1)^3 - 2x^2 (4x - 6) + 10x - 5,4 = 0.$

1) $(3x - 2)(x + 3) - 3x(x + 1) - 3 = 0$

Для решения уравнения раскроем скобки. Сначала перемножим первые две скобки, затем раскроем вторые скобки, умножив $-3x$ на $(x+1)$.

$(3x \cdot x + 3x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3) - (3x \cdot x + 3x \cdot 1) - 3 = 0$

$3x^2 + 9x - 2x - 6 - 3x^2 - 3x - 3 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены.

$(3x^2 - 3x^2) + (9x - 2x - 3x) + (-6 - 3) = 0$

$0 + 4x - 9 = 0$

$4x = 9$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$.

$x = \frac{9}{4} = 2,25$

Ответ: $2,25$.

2) $(2x - 2)(2x + 7) - x(4x + 1) - 3,5 = 0$

Раскроем скобки в уравнении.

$(2x \cdot 2x + 2x \cdot 7 - 2 \cdot 2x - 2 \cdot 7) - (x \cdot 4x + x \cdot 1) - 3,5 = 0$

$4x^2 + 14x - 4x - 14 - 4x^2 - x - 3,5 = 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(4x^2 - 4x^2) + (14x - 4x - x) + (-14 - 3,5) = 0$

$0 + 9x - 17,5 = 0$

$9x = 17,5$

Найдем $x$.

$x = \frac{17,5}{9} = \frac{175}{90} = \frac{35 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{35}{18}$

Ответ: $\frac{35}{18}$.

3) $(2 - 5x)(2x - 1) + x(10x + 1) - 4,7 = 0$

Раскроем скобки в уравнении.

$(2 \cdot 2x + 2 \cdot (-1) - 5x \cdot 2x - 5x \cdot (-1)) + (x \cdot 10x + x \cdot 1) - 4,7 = 0$

$4x - 2 - 10x^2 + 5x + 10x^2 + x - 4,7 = 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(-10x^2 + 10x^2) + (4x + 5x + x) + (-2 - 4,7) = 0$

$0 + 10x - 6,7 = 0$

$10x = 6,7$

Найдем $x$.

$x = 0,67$

Ответ: $0,67$.

4) $(2,4 - 5x)(4x - 1) + 2x(10x + 8,4) - 3,3 = 0$

Раскроем скобки в уравнении.

$(2,4 \cdot 4x + 2,4 \cdot (-1) - 5x \cdot 4x - 5x \cdot (-1)) + (2x \cdot 10x + 2x \cdot 8,4) - 3,3 = 0$

$9,6x - 2,4 - 20x^2 + 5x + 20x^2 + 16,8x - 3,3 = 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(-20x^2 + 20x^2) + (9,6x + 5x + 16,8x) + (-2,4 - 3,3) = 0$

$0 + 31,4x - 5,7 = 0$

$31,4x = 5,7$

Найдем $x$.

$x = \frac{5,7}{31,4} = \frac{57}{314}$

Ответ: $\frac{57}{314}$.

5) $(x - 1)^3 - x(x + 2)^2 + x(7x - 5) = 6$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами сокращенного умножения: куб разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3) - x(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (7x^2 - 5x) = 6$

$(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - x(x^2 + 4x + 4) + 7x^2 - 5x = 6$

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 4x^2 - 4x + 7x^2 - 5x = 6$

Приведем подобные слагаемые.

$(x^3 - x^3) + (-3x^2 - 4x^2 + 7x^2) + (3x - 4x - 5x) - 1 = 6$

$0 + 0 - 6x - 1 = 6$

$-6x = 6 + 1$

$-6x = 7$

Найдем $x$.

$x = -\frac{7}{6}$

Ответ: $-\frac{7}{6}$.

6) $(2x - 1)^3 - 2x^2(4x - 6) + 10x - 5,4 = 0$

Раскроем куб разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$((2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 - 1^3) - (2x^2 \cdot 4x - 2x^2 \cdot 6) + 10x - 5,4 = 0$

$(8x^3 - 3 \cdot 4x^2 + 6x - 1) - (8x^3 - 12x^2) + 10x - 5,4 = 0$

$8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 8x^3 + 12x^2 + 10x - 5,4 = 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(8x^3 - 8x^3) + (-12x^2 + 12x^2) + (6x + 10x) + (-1 - 5,4) = 0$

$0 + 0 + 16x - 6,4 = 0$

$16x = 6,4$

Найдем $x$.

$x = \frac{6,4}{16} = \frac{64}{160} = \frac{4 \cdot 16}{10 \cdot 16} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: $0,4$.