Номер 21, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. 1) $(2x - 3)^2 - (3x - 5)^2$;

2) $(3x + 2)^2 - (1 - 2x)^2;

3) $16(2x + 5)^2 - 81(4 - 5x)^2;

4) $0,01a^2 - (a - 3)^2;

5) $(2a - 1)^3 - 27a^3;

6) $(3x - 2)^3 + (5 - 4x)^3$.

1) Для разложения выражения $(2x - 3)^2 - (3x - 5)^2$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае $a = 2x - 3$ и $b = 3x - 5$.

Подставим выражения в формулу:

$(2x - 3)^2 - (3x - 5)^2 = ((2x - 3) - (3x - 5))((2x - 3) + (3x - 5))$.

Теперь упростим выражения в каждой паре скобок:

$(2x - 3 - 3x + 5)(2x - 3 + 3x - 5)$

$(-x + 2)(5x - 8)$

Для удобства можно записать первый множитель как $(2 - x)$.

Ответ: $(2 - x)(5x - 8)$.

2) Выражение $(3x + 2)^2 - (1 - 2x)^2$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x + 2$ и $b = 1 - 2x$.

Подставим значения в формулу:

$((3x + 2) - (1 - 2x))((3x + 2) + (1 - 2x))$.

Упростим выражения в скобках:

$(3x + 2 - 1 + 2x)(3x + 2 + 1 - 2x)$

$(5x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(5x + 1)(x + 3)$.

3) Для разложения выражения $16(2x + 5)^2 - 81(4 - 5x)^2$ представим его в виде разности квадратов. Заметим, что $16 = 4^2$ и $81 = 9^2$.

$16(2x + 5)^2 - 81(4 - 5x)^2 = (4(2x + 5))^2 - (9(4 - 5x))^2$.

Теперь используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4(2x + 5) = 8x + 20$ и $b = 9(4 - 5x) = 36 - 45x$.

$((8x + 20) - (36 - 45x))((8x + 20) + (36 - 45x))$.

Упростим содержимое скобок:

$(8x + 20 - 36 + 45x)(8x + 20 + 36 - 45x)$

$(53x - 16)(-37x + 56)$

Второй множитель можно записать как $(56 - 37x)$.

Ответ: $(53x - 16)(56 - 37x)$.

4) Выражение $0,01a^2 - (a - 3)^2$ также является разностью квадратов, так как $0,01a^2 = (0.1a)^2$.

Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 0.1a$ и $y = a - 3$.

$(0.1a - (a - 3))(0.1a + (a - 3))$.

Упростим выражения в скобках:

$(0.1a - a + 3)(0.1a + a - 3)$

$(-0.9a + 3)(1.1a - 3)$.

Первый множитель можно записать как $(3 - 0.9a)$.

Ответ: $(3 - 0.9a)(1.1a - 3)$.

5) Для разложения выражения $(2a - 1)^3 - 27a^3$ на множители используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим $27a^3$ в виде куба: $27a^3 = (3a)^3$. Тогда $x = 2a - 1$ и $y = 3a$.

Подставим в формулу:

$((2a - 1) - 3a)((2a - 1)^2 + (2a - 1)(3a) + (3a)^2)$.

Упростим первый множитель: $2a - 1 - 3a = -a - 1 = -(a + 1)$.

Упростим второй множитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a + 1) + (6a^2 - 3a) + 9a^2 = 19a^2 - 7a + 1$.

Объединяем множители:

$-(a + 1)(19a^2 - 7a + 1)$.

Ответ: $-(a + 1)(19a^2 - 7a + 1)$.

6) Для разложения выражения $(3x - 2)^3 + (5 - 4x)^3$ на множители используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 3x - 2$ и $b = 5 - 4x$.

Подставим в формулу:

$((3x - 2) + (5 - 4x))((3x - 2)^2 - (3x - 2)(5 - 4x) + (5 - 4x)^2)$.

Упростим первый множитель: $3x - 2 + 5 - 4x = -x + 3 = 3 - x$.

Упростим второй множитель:

$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

$-(3x - 2)(5 - 4x) = -(15x - 12x^2 - 10 + 8x) = -(-12x^2 + 23x - 10) = 12x^2 - 23x + 10$.

$(5 - 4x)^2 = 25 - 40x + 16x^2$.

Сложим полученные части второго множителя:

$(9x^2 - 12x + 4) + (12x^2 - 23x + 10) + (16x^2 - 40x + 25) = 37x^2 - 75x + 39$.

Объединяем множители:

$(3 - x)(37x^2 - 75x + 39)$.

Ответ: $(3 - x)(37x^2 - 75x + 39)$.