Номер 14, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Докажите тождество:

1) $ (2a - 5)(2a + 5) + 25 - 3a^2 = a^2; $

2) $ (a + 6)(3a - 4) + 2(12 - a^2 - 6a) + 1 = (a + 1)^2. $

1) Докажем тождество $(2a - 5)(2a + 5) + 25 - 3a^2 = a^2$.

Для этого преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части.

1. В левой части равенства выражение $(2a - 5)(2a + 5)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(2a - 5)(2a + 5) = (2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$.

2. Подставим полученный результат обратно в левую часть исходного тождества:

$(4a^2 - 25) + 25 - 3a^2$.

3. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$4a^2 - 25 + 25 - 3a^2 = (4a^2 - 3a^2) + (-25 + 25) = a^2 + 0 = a^2$.

4. В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна $a^2$, что совпадает с правой частью.

Таким образом, мы получили верное равенство $a^2 = a^2$.

Ответ: Так как в результате преобразований левая часть тождества стала равна правой ($a^2 = a^2$), тождество доказано.

2) Докажем тождество $(a + 6)(3a - 4) + 2(12 - a^2 - 6a) + 1 = (a + 1)^2$.

Для этого преобразуем обе части тождества к стандартному виду многочлена и сравним получившиеся выражения.

1. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

Сначала раскроем скобки. Перемножим многочлены $(a + 6)$ и $(3a - 4)$:

$(a + 6)(3a - 4) = a \cdot 3a + a \cdot (-4) + 6 \cdot 3a + 6 \cdot (-4) = 3a^2 - 4a + 18a - 24 = 3a^2 + 14a - 24$.

Раскроем вторые скобки:

$2(12 - a^2 - 6a) = 24 - 2a^2 - 12a$.

Теперь запишем всю левую часть и приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $(3a^2 + 14a - 24) + (24 - 2a^2 - 12a) + 1 = (3a^2 - 2a^2) + (14a - 12a) + (-24 + 24 + 1) = a^2 + 2a + 1$.

2. Преобразуем правую часть (ПЧ):

Выражение $(a + 1)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

ПЧ = $(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.

3. Сравним полученные выражения для левой и правой частей:

ЛЧ = $a^2 + 2a + 1$

ПЧ = $a^2 + 2a + 1$

Поскольку левая и правая части тождества равны, тождество является верным.

Ответ: Так как в результате преобразований левая и правая части тождества стали равны ($a^2 + 2a + 1 = a^2 + 2a + 1$), тождество доказано.