Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Сравните значения числовых выражений:

1) $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2$ и $(6^3)^2 : 36^5$;

2) $\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4}$ и $1\frac{1}{8}$;

3) $13 \cdot 4^3 : 2^3$ и $10^2 : 5^2 : 2^3$;

4) $\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} : 4^2$ и $\frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4}$;

5) $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4$ и $2^3 - 2,6$;

6) $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64$ и $6^3 + (-3)^2 - 2^5$;

7) $50^4$ и $2^4 : 5^{-6}$;

8) $90^4$ и $3^4 : 10^{-6}$.

1) Сравним значения выражений $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2$ и $(6^3)^2 : 36^5$.
Вычислим значение первого выражения:
$128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 128 \cdot \frac{1^2}{8^2} = 128 \cdot \frac{1}{64} = \frac{128}{64} = 2$.
Вычислим значение второго выражения, используя свойства степеней:
$(6^3)^2 : 36^5 = 6^{3 \cdot 2} : (6^2)^5 = 6^6 : 6^{2 \cdot 5} = 6^6 : 6^{10} = 6^{6-10} = 6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$.
Сравним полученные значения: $2$ и $\frac{1}{1296}$.
Так как $2 > \frac{1}{1296}$, то $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 > (6^3)^2 : 36^5$.
Ответ: $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 > (6^3)^2 : 36^5$.

2) Сравним значения выражений $\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4}$ и $1\frac{1}{8}$.
Упростим первое выражение, приведя все степени к основанию 2:
$\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4} = \frac{(2^3)^3 \cdot 2^5}{(2^4)^4} = \frac{2^{3 \cdot 3} \cdot 2^5}{2^{4 \cdot 4}} = \frac{2^9 \cdot 2^5}{2^{16}} = \frac{2^{9+5}}{2^{16}} = \frac{2^{14}}{2^{16}} = 2^{14-16} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Представим второе выражение в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$.
Сравним дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{8}$. Приведем их к общему знаменателю 8: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$.
Так как $2 < 9$, то $\frac{2}{8} < \frac{9}{8}$, следовательно, $\frac{1}{4} < 1\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4} < 1\frac{1}{8}$.

3) Сравним значения выражений $13 \cdot 4^3 : 2^3$ и $10^2 : 5^2 : 2^3$.
Вычислим значение первого выражения:
$13 \cdot 4^3 : 2^3 = 13 \cdot (4:2)^3 = 13 \cdot 2^3 = 13 \cdot 8 = 104$.
Вычислим значение второго выражения:
$10^2 : 5^2 : 2^3 = (10:5)^2 : 2^3 = 2^2 : 2^3 = 4 : 8 = 0,5$.
Сравним полученные значения: $104$ и $0,5$.
Так как $104 > 0,5$, то $13 \cdot 4^3 : 2^3 > 10^2 : 5^2 : 2^3$.
Ответ: $13 \cdot 4^3 : 2^3 > 10^2 : 5^2 : 2^3$.

4) Сравним значения выражений $\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4}$.
Упростим первое выражение:
$\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} = \frac{14}{2} \cdot 3^{2-3} = 7 \cdot 3^{-1} = \frac{7}{3}$.
Упростим второе выражение:
$\frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4} = \frac{(3 \cdot 7)^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4} = 5 \cdot \frac{3^3}{3^4} \cdot \frac{7^3}{7^3} = 5 \cdot 3^{3-4} \cdot 7^{3-3} = 5 \cdot 3^{-1} \cdot 7^0 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$.
Сравним дроби $\frac{7}{3}$ и $\frac{5}{3}$.
Так как $7 > 5$, то $\frac{7}{3} > \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} > \frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4}$.

5) Сравним значения выражений $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4$ и $2^3 - 2,6$.
Вычислим значение первого выражения:
$(-0,5)^3 \cdot 16 + 4 = (- \frac{1}{2})^3 \cdot 16 + 4 = -\frac{1}{8} \cdot 16 + 4 = -2 + 4 = 2$.
Вычислим значение второго выражения:
$2^3 - 2,6 = 8 - 2,6 = 5,4$.
Сравним полученные значения: $2$ и $5,4$.
Так как $2 < 5,4$, то $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4 < 2^3 - 2,6$.
Ответ: $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4 < 2^3 - 2,6$.

6) Сравним значения выражений $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64$ и $6^3 + (-3)^2 - 2^5$.
Вычислим значение первого выражения:
$\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64 = \frac{1}{3^4} \cdot 3^5 + 216 - 64 = \frac{1}{81} \cdot 243 + 216 - 64 = 3 + 216 - 64 = 155$.
Вычислим значение второго выражения:
$6^3 + (-3)^2 - 2^5 = 216 + 9 - 32 = 225 - 32 = 193$.
Сравним полученные значения: $155$ и $193$.
Так как $155 < 193$, то $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64 < 6^3 + (-3)^2 - 2^5$.
Ответ: $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64 < 6^3 + (-3)^2 - 2^5$.

7) Сравним значения выражений $50^4$ и $2^4 : 5^{-6}$.
Преобразуем первое выражение:
$50^4 = (5 \cdot 10)^4 = (5 \cdot 2 \cdot 5)^4 = (2 \cdot 5^2)^4 = 2^4 \cdot (5^2)^4 = 2^4 \cdot 5^8$.
Преобразуем второе выражение:
$2^4 : 5^{-6} = 2^4 \cdot \frac{1}{5^{-6}} = 2^4 \cdot 5^6$.
Сравним $2^4 \cdot 5^8$ и $2^4 \cdot 5^6$. Так как $2^4$ является общим положительным множителем, сравним $5^8$ и $5^6$.
Поскольку основание $5 > 1$ и показатель степени $8 > 6$, то $5^8 > 5^6$.
Следовательно, $2^4 \cdot 5^8 > 2^4 \cdot 5^6$.
Ответ: $50^4 > 2^4 : 5^{-6}$.

8) Сравним значения выражений $90^4$ и $3^4 : 10^{-6}$.
Преобразуем первое выражение:
$90^4 = (9 \cdot 10)^4 = (3^2 \cdot 10)^4 = (3^2)^4 \cdot 10^4 = 3^8 \cdot 10^4$.
Преобразуем второе выражение:
$3^4 : 10^{-6} = 3^4 \cdot \frac{1}{10^{-6}} = 3^4 \cdot 10^6$.
Сравним $3^8 \cdot 10^4$ и $3^4 \cdot 10^6$. Разделим оба выражения на общий положительный множитель $3^4 \cdot 10^4$ и сравним результаты:
$\frac{3^8 \cdot 10^4}{3^4 \cdot 10^4} = 3^{8-4} \cdot 10^{4-4} = 3^4 \cdot 10^0 = 81$.
$\frac{3^4 \cdot 10^6}{3^4 \cdot 10^4} = 3^{4-4} \cdot 10^{6-4} = 3^0 \cdot 10^2 = 100$.
Так как $81 < 100$, то $3^8 \cdot 10^4 < 3^4 \cdot 10^6$.
Ответ: $90^4 < 3^4 : 10^{-6}$.