Номер 12, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Для каких значений переменной y является тождеством равенство:

1) $(4c - y)^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2;$

2) $(5c + y)^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2;$

3) $(y - 7a)^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2;$

4) $(2c - 3y)^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2?$

1) $(4c - y)^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2$

Чтобы равенство стало тождеством, необходимо, чтобы его левая и правая части были равны для любых значений переменных $c$ и $a$. Для этого раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

$(4c - y)^2 = (4c)^2 - 2 \cdot (4c) \cdot y + y^2 = 16c^2 - 8cy + y^2$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$16c^2 - 8cy + y^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2$.

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, соответствующие слагаемые в обеих частях должны быть равны. Сравнивая их, получаем два условия:

1) Слагаемые, содержащие произведение $ca$: $-8cy = -24ca$

2) Слагаемые, не содержащие $c$: $y^2 = 9a^2$

Из первого уравнения, разделив обе части на $-8c$ (при условии $c \ne 0$), находим $y$:

$y = \frac{-24ca}{-8c} = 3a$.

Из второго уравнения, извлекая квадратный корень, получаем:

$y = \pm \sqrt{9a^2} = \pm 3a$.

Значение $y=3a$ удовлетворяет обоим условиям. Проверим его: $(4c - 3a)^2 = 16c^2 - 2 \cdot 4c \cdot 3a + (3a)^2 = 16c^2 - 24ca + 9a^2$. Выражение совпадает с правой частью.

Ответ: $y = 3a$.

2) $(5c + y)^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.

$(5c + y)^2 = (5c)^2 + 2 \cdot (5c) \cdot y + y^2 = 25c^2 + 10cy + y^2$.

Приравняем левую и правую части:

$25c^2 + 10cy + y^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2$.

Сравнивая соответствующие слагаемые, получаем систему:

1) $10cy = 30ca$

2) $y^2 = 9a^2$

Из первого уравнения (при $c \ne 0$): $y = \frac{30ca}{10c} = 3a$.

Из второго уравнения: $y = \pm 3a$.

Общим решением является $y = 3a$. Проверка: $(5c + 3a)^2 = 25c^2 + 2 \cdot 5c \cdot 3a + (3a)^2 = 25c^2 + 30ca + 9a^2$.

Ответ: $y = 3a$.

3) $(y - 7a)^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности:

$(y - 7a)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7a + (7a)^2 = y^2 - 14ay + 49a^2$.

Приравняем левую и правую части:

$y^2 - 14ay + 49a^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2$.

Сравнивая соответствующие слагаемые, получаем систему:

1) $y^2 = 16c^2$

2) $-14ay = -56ca$

Из первого уравнения: $y = \pm \sqrt{16c^2} = \pm 4c$.

Из второго уравнения (при $a \ne 0$): $y = \frac{-56ca}{-14a} = 4c$.

Общим решением является $y = 4c$. Проверка: $(4c - 7a)^2 = (4c)^2 - 2 \cdot 4c \cdot 7a + (7a)^2 = 16c^2 - 56ca + 49a^2$.

Ответ: $y = 4c$.

4) $(2c - 3y)^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности:

$(2c - 3y)^2 = (2c)^2 - 2 \cdot (2c) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4c^2 - 12cy + 9y^2$.

Приравняем левую и правую части:

$4c^2 - 12cy + 9y^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2$.

Сравнивая соответствующие слагаемые, получаем систему:

1) $-12cy = -24ca$

2) $9y^2 = 36a^2$

Из первого уравнения (при $c \ne 0$): $y = \frac{-24ca}{-12c} = 2a$.

Из второго уравнения: $y^2 = \frac{36a^2}{9} = 4a^2$, откуда $y = \pm \sqrt{4a^2} = \pm 2a$.

Общим решением является $y = 2a$. Проверка: $(2c - 3(2a))^2 = (2c - 6a)^2 = (2c)^2 - 2 \cdot 2c \cdot 6a + (6a)^2 = 4c^2 - 24ca + 36a^2$.

Ответ: $y = 2a$.