Номер 17, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Докажите числовое тождество:

1) $27^{-1}81^2(3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4;$

2) $7^{-2} 21^2(6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3}9^{-2};$

3) $4^{-1}8^2(a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3};$

4) $a^{-1}(ab)^2(b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}.$

1) Для доказательства тождества $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$ преобразуем обе его части, приведя все степени к общему основанию 3.
Сначала преобразуем левую часть. Учитывая, что $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$, получаем:
$ (3^3)^{-1} \cdot (3^4)^2 \cdot (3^{-3})^3 : (3^4)^{-3} $
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упрощаем выражение:
$ 3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} : 3^{-12} $
Далее, используя свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$):
$ 3^{-3+8-9} : 3^{-12} = 3^{-4} : 3^{-12} = 3^{-4 - (-12)} = 3^{-4+12} = 3^8 $.
Теперь преобразуем правую часть тождества, зная, что $9 = 3^2$:
$ 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 $.
Так как левая часть ($3^8$) равна правой части ($3^8$), тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

2) Для доказательства тождества $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2}$ преобразуем обе части, разложив числа на простые множители.
Преобразуем левую часть. Простые множители: $21=3 \cdot 7$, $6=2 \cdot 3$, $14=2 \cdot 7$, $343=7^3$.
$ 7^{-2} \cdot (3 \cdot 7)^2 \cdot ((2 \cdot 3)^{-3})^2 : (2 \cdot 7)^{-3} : 7^3 = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot (2 \cdot 3)^{-6} : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3 $
$ = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6} : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3 $
Выполним действия по порядку (слева направо). Сначала умножение:
$ (7^{-2} \cdot 7^2) \cdot (3^2 \cdot 3^{-6}) \cdot 2^{-6} = 7^0 \cdot 3^{-4} \cdot 2^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-4} $.
Теперь первое деление:
$ (2^{-6} \cdot 3^{-4}) : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) = \frac{2^{-6} \cdot 3^{-4}}{2^{-3} \cdot 7^{-3}} = 2^{-6-(-3)} \cdot 3^{-4} \cdot 7^{-(-3)} = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3 $.
И второе деление:
$ (2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3) : 7^3 = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^{3-3} = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^0 = 2^{-3} \cdot 3^{-4} $.
Преобразуем правую часть. Учитывая, что $9 = 3^2$:
$ 2^{-3} \cdot 9^{-2} = 2^{-3} \cdot (3^2)^{-2} = 2^{-3} \cdot 3^{-4} $.
Левая и правая части равны, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

3) Для доказательства тождества $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3}$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть. Учитывая, что $4=2^2$ и $8=2^3$:
$ (2^2)^{-1} \cdot (2^3)^2 \cdot (a^{-3})^3 : (2^3a^{-3})^2 = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : (2^6a^{-6}) $
Выполним умножение и деление:
$ \frac{2^{-2+6} \cdot a^{-9}}{2^6 \cdot a^{-6}} = \frac{2^4 a^{-9}}{2^6 a^{-6}} = 2^{4-6} \cdot a^{-9-(-6)} = 2^{-2} a^{-3} $.
Преобразуем правую часть. Учитывая, что $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$:
$ 0,25a^{-3} = 2^{-2}a^{-3} $.
Так как левая и правая части равны ($2^{-2}a^{-3} = 2^{-2}a^{-3}$), тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.

4) Для доказательства тождества $a^{-1}(ab)^2(b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$ преобразуем левую часть.
Используем свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$ a^{-1} \cdot (a^2b^2) \cdot b^{-3 \cdot 3} : b^{-3} = a^{-1}a^2b^2b^{-9} : b^{-3} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним действия:
$ (a^{-1}a^2) \cdot (b^2b^{-9}) : b^{-3} = a^{-1+2} \cdot b^{2-9} : b^{-3} = a^1 \cdot b^{-7} : b^{-3} $
$ = a \cdot b^{-7 - (-3)} = a \cdot b^{-7+3} = ab^{-4} $.
Левая часть ($ab^{-4}$) равна правой части ($ab^{-4}$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество верно.