Номер 19, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители выражения (19—21):

19. 1) $4a^2c^3 - 4ac^3 + c^3;$

2) $12ax^2 - 60ax + 75a;$

3) $-0,2y^2 + 1,2y - 1,8;$

4) $\frac{1}{9}a^2 + 1\frac{1}{3}a + 4.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $4a^2c^3 - 4ac^3 + c^3$, первым шагом вынесем общий множитель $c^3$ за скобки.
$4a^2c^3 - 4ac^3 + c^3 = c^3(4a^2 - 4a + 1)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 4a + 1$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно представить с помощью формулы $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, $y^2 = 1 = 1^2$, а удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.
Следовательно, $4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом: $c^3(2a - 1)^2$.
Ответ: $c^3(2a - 1)^2$.

2) В выражении $12ax^2 - 60ax + 75a$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель коэффициентов 12, 60 и 75 равен 3. Также во всех членах есть переменная $a$. Вынесем $3a$ за скобки.
$12ax^2 - 60ax + 75a = 3a(4x^2 - 20x + 25)$
Выражение в скобках $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом разности по формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Здесь $p^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $q^2 = 25 = 5^2$, и средний член $2pq = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$.
Значит, $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$.
Окончательное разложение на множители: $3a(2x - 5)^2$.
Ответ: $3a(2x - 5)^2$.

3) Для разложения на множители выражения $-0.2y^2 + 1.2y - 1.8$ вынесем за скобки коэффициент при старшем члене, то есть $-0.2$.
$-0.2y^2 + 1.2y - 1.8 = -0.2(y^2 - \frac{1.2}{0.2}y + \frac{1.8}{0.2}) = -0.2(y^2 - 6y + 9)$
Выражение в скобках $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
В данном случае $p^2 = y^2$, $q^2 = 9 = 3^2$, а удвоенное произведение $2pq = 2 \cdot y \cdot 3 = 6y$.
Следовательно, $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Получаем итоговое разложение: $-0.2(y - 3)^2$.
Ответ: $-0.2(y - 3)^2$.

4) Рассмотрим выражение $\frac{1}{9}a^2 + 1\frac{1}{3}a + 4$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Выражение примет вид: $\frac{1}{9}a^2 + \frac{4}{3}a + 4$.
Это выражение является полным квадратом суммы и соответствует формуле $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$.
Проверим это: первый член $p^2 = \frac{1}{9}a^2 = (\frac{1}{3}a)^2$, значит $p = \frac{1}{3}a$.
Третий член $q^2 = 4 = 2^2$, значит $q = 2$.
Средний член должен быть равен удвоенному произведению $2pq = 2 \cdot (\frac{1}{3}a) \cdot 2 = \frac{4}{3}a$. Это соответствует среднему члену в исходном выражении.
Таким образом, выражение можно свернуть в квадрат суммы: $(\frac{1}{3}a + 2)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{3}a + 2)^2$.