Номер 23, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.

1) $(x - 2)^2 - (3 - x)^2 = 0;$

2) $(2x + 1)^2 - (4 - 2x)^2 = 0;$

3) $3(2x - 5)^2 - 4(3 - 2x)^2 + 4x^2 = 0;$

4) $0,2(3x - 1,5)^2 - 0,4(1 - 2x)^2 - 0,2x^2 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x - 2)^2 - (3 - x)^2 = 0$.
Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = x - 2$ и $b = 3 - x$.
Подставим эти значения в формулу:
$((x - 2) - (3 - x))((x - 2) + (3 - x)) = 0$
Раскроем скобки внутри каждой группы скобок:
$(x - 2 - 3 + x)(x - 2 + 3 - x) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(2x - 5)(1) = 0$
$2x - 5 = 0$
Перенесем 5 в правую часть:
$2x = 5$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $x = 2,5$.

2) Исходное уравнение: $(2x + 1)^2 - (4 - 2x)^2 = 0$.
Это также разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x + 1$ и $b = 4 - 2x$.
$((2x + 1) - (4 - 2x))((2x + 1) + (4 - 2x)) = 0$
Раскроем скобки внутри каждой группы скобок:
$(2x + 1 - 4 + 2x)(2x + 1 + 4 - 2x) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(4x - 3)(5) = 0$
Разделим обе части на 5:
$4x - 3 = 0$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4} = 0,75$
Ответ: $x = 0,75$.

3) Исходное уравнение: $3(2x - 5)^2 - 4(3 - 2x)^2 + 4x^2 = 0$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$
$(3 - 2x)^2 = 3^2 - 2(3)(2x) + (2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$3(4x^2 - 20x + 25) - 4(9 - 12x + 4x^2) + 4x^2 = 0$
Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты перед ними:
$12x^2 - 60x + 75 - 36 + 48x - 16x^2 + 4x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:
$(12x^2 - 16x^2 + 4x^2) + (-60x + 48x) + (75 - 36) = 0$
$(12 - 16 + 4)x^2 + (-60 + 48)x + (75 - 36) = 0$
$0 \cdot x^2 - 12x + 39 = 0$
$-12x + 39 = 0$
$12x = 39$
$x = \frac{39}{12}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{13}{4} = 3,25$
Ответ: $x = 3,25$.

4) Исходное уравнение: $0,2(3x - 1,5)^2 - 0,4(1 - 2x)^2 - 0,2x^2 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 10:
$2(3x - 1,5)^2 - 4(1 - 2x)^2 - 2x^2 = 0$
Теперь разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$(3x - 1,5)^2 - 2(1 - 2x)^2 - x^2 = 0$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(3x - 1,5)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(1,5) + (1,5)^2 = 9x^2 - 9x + 2,25$
$(1 - 2x)^2 = 1^2 - 2(1)(2x) + (2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2$
Подставим эти выражения в упрощенное уравнение:
$(9x^2 - 9x + 2,25) - 2(1 - 4x + 4x^2) - x^2 = 0$
Раскроем оставшиеся скобки:
$9x^2 - 9x + 2,25 - 2 + 8x - 8x^2 - x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 8x^2 - x^2) + (-9x + 8x) + (2,25 - 2) = 0$
$(9 - 8 - 1)x^2 + (-9 + 8)x + (2,25 - 2) = 0$
$0 \cdot x^2 - x + 0,25 = 0$
$-x + 0,25 = 0$
$x = 0,25$
Ответ: $x = 0,25$.