Номер 16, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Докажите тождество:

1) $(c+6)(3a-4)+(a-c)(1+c+a)-3ac+24+5c-19a=a^2-c^2;$

2) $(a-c)^2-(a^2-c^2)+2ac-2=2(c^2-1).$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть до вида правой части.

Левая часть: $(c + 6)(3a - 4) + (a - c)(1 + c + a) - 3ac + 24 + 5c - 19a$.

Шаг 1: Раскроем скобки в произведении $(c + 6)(3a - 4)$.

$(c + 6)(3a - 4) = c \cdot 3a + c \cdot (-4) + 6 \cdot 3a + 6 \cdot (-4) = 3ac - 4c + 18a - 24$.

Шаг 2: Раскроем скобки в произведении $(a - c)(1 + c + a)$. Для удобства переставим слагаемые во второй скобке: $(a - c)(a + c + 1)$.

$(a - c)((a + c) + 1) = (a - c)(a + c) + (a - c) \cdot 1 = (a^2 - c^2) + (a - c) = a^2 - c^2 + a - c$.

Шаг 3: Подставим раскрытые скобки обратно в левую часть исходного выражения.

$(3ac - 4c + 18a - 24) + (a^2 - c^2 + a - c) - 3ac + 24 + 5c - 19a$.

Шаг 4: Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

$a^2 - c^2 + (3ac - 3ac) + (18a + a - 19a) + (-4c - c + 5c) + (-24 + 24)$

$= a^2 - c^2 + 0 + (19a - 19a) + (-5c + 5c) + 0$

$= a^2 - c^2 + 0 + 0 + 0 = a^2 - c^2$.

Шаг 5: Сравним полученный результат с правой частью тождества.

Левая часть $a^2 - c^2$ равна правой части $a^2 - c^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после упрощения левой части мы получили правую часть: $a^2 - c^2 = a^2 - c^2$.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Левая часть: $(a - c)^2 - (a^2 - c^2) + 2ac - 2$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

Шаг 2: Подставим полученное выражение в левую часть и раскроем остальные скобки.

$(a^2 - 2ac + c^2) - (a^2 - c^2) + 2ac - 2 = a^2 - 2ac + c^2 - a^2 + c^2 + 2ac - 2$.

Шаг 3: Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

$(a^2 - a^2) + (-2ac + 2ac) + (c^2 + c^2) - 2$

$= 0 + 0 + 2c^2 - 2 = 2c^2 - 2$.

Шаг 4: Преобразуем правую часть исходного тождества.

$2(c^2 - 1) = 2 \cdot c^2 - 2 \cdot 1 = 2c^2 - 2$.

Шаг 5: Сравним полученные выражения для левой и правой частей.

Левая часть $2c^2 - 2$ равна правой части $2c^2 - 2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после упрощения обе части равенства стали идентичны: $2c^2 - 2 = 2c^2 - 2$.