Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Упростите выражение:

1) $(2a + 5)^2 - 3(a - 7)(7 - a) + 9a^2 - 79;$

2) $-(2a - 3)^2 - 5(3a - 7)(4 + a) - 3a^2 - 2;$

3) $-(3 - 2a)^2 + 2(a - 8)(4 - a) - 5a^2 - 7;$

4) $3(5 - 2a)^2 - 4(3a - 5)(7 - a) + 15a^2 - 6.$

1) Упростим выражение $(2a + 5)^2 - 3(a - 7)(7 - a) + 9a^2 - 79$.

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы $(2a + 5)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(2a + 5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$.

Шаг 2: Упростим произведение $-3(a - 7)(7 - a)$. Заметим, что $(7 - a) = -(a - 7)$.

$-3(a - 7)(7 - a) = -3(a - 7)(-(a - 7)) = 3(a - 7)^2$.

Теперь раскроем квадрат разности $(a-7)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$3(a - 7)^2 = 3(a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2) = 3(a^2 - 14a + 49) = 3a^2 - 42a + 147$.

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное уравнение.

$(4a^2 + 20a + 25) + (3a^2 - 42a + 147) + 9a^2 - 79$.

Шаг 4: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(4a^2 + 3a^2 + 9a^2) + (20a - 42a) + (25 + 147 - 79) = 16a^2 - 22a + 93$.

Ответ: $16a^2 - 22a + 93$.

2) Упростим выражение $-(2a - 3)^2 - 5(3a - 7)(4 + a) - 3a^2 - 2$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности $(2a - 3)^2$ и учтем знак минус перед скобкой.

$-(2a - 3)^2 = -((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2) = -(4a^2 - 12a + 9) = -4a^2 + 12a - 9$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(3a - 7)(4 + a)$.

$(3a - 7)(4 + a) = 3a \cdot 4 + 3a \cdot a - 7 \cdot 4 - 7 \cdot a = 12a + 3a^2 - 28 - 7a = 3a^2 + 5a - 28$.

Шаг 3: Умножим полученный результат на $-5$.

$-5(3a^2 + 5a - 28) = -15a^2 - 25a + 140$.

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение.

$(-4a^2 + 12a - 9) + (-15a^2 - 25a + 140) - 3a^2 - 2$.

Шаг 5: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-4a^2 - 15a^2 - 3a^2) + (12a - 25a) + (-9 + 140 - 2) = -22a^2 - 13a + 129$.

Ответ: $-22a^2 - 13a + 129$.

3) Упростим выражение $-(3 - 2a)^2 + 2(a - 8)(4 - a) - 5a^2 - 7$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности $(3 - 2a)^2$ и учтем знак минус.

$-(3 - 2a)^2 = -(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2a + (2a)^2) = -(9 - 12a + 4a^2) = -9 + 12a - 4a^2$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(a - 8)(4 - a)$.

$(a - 8)(4 - a) = a \cdot 4 - a \cdot a - 8 \cdot 4 - 8 \cdot (-a) = 4a - a^2 - 32 + 8a = -a^2 + 12a - 32$.

Шаг 3: Умножим результат на $2$.

$2(-a^2 + 12a - 32) = -2a^2 + 24a - 64$.

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение.

$(-9 + 12a - 4a^2) + (-2a^2 + 24a - 64) - 5a^2 - 7$.

Шаг 5: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-4a^2 - 2a^2 - 5a^2) + (12a + 24a) + (-9 - 64 - 7) = -11a^2 + 36a - 80$.

Ответ: $-11a^2 + 36a - 80$.

4) Упростим выражение $3(5 - 2a)^2 - 4(3a - 5)(7 - a) + 15a^2 - 6$.

Шаг 1: Раскроем квадрат разности $(5 - 2a)^2$ и умножим на $3$.

$3(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2a + (2a)^2) = 3(25 - 20a + 4a^2) = 75 - 60a + 12a^2$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(3a - 5)(7 - a)$.

$(3a - 5)(7 - a) = 3a \cdot 7 - 3a \cdot a - 5 \cdot 7 - 5 \cdot (-a) = 21a - 3a^2 - 35 + 5a = -3a^2 + 26a - 35$.

Шаг 3: Умножим результат на $-4$.

$-4(-3a^2 + 26a - 35) = 12a^2 - 104a + 140$.

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение.

$(75 - 60a + 12a^2) + (12a^2 - 104a + 140) + 15a^2 - 6$.

Шаг 5: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(12a^2 + 12a^2 + 15a^2) + (-60a - 104a) + (75 + 140 - 6) = 39a^2 - 164a + 209$.

Ответ: $39a^2 - 164a + 209$.