Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. Докажите, что не зависит от значений переменных значение выражения:

1) $x^3(x^2 - y^2) - x^3(x^2 + y^2) + 2x^3y^2 - 7;$

2) $(3xy - 5)^2 - (5xy - 3)^2 + 16(x^2y^2 - 2) - 1.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки в выражении $x^3(x^2 - y^2) - x^3(x^2 + y^2) + 2x^3y^2 - 7$.
$x^3(x^2 - y^2) - x^3(x^2 + y^2) + 2x^3y^2 - 7 = (x^3 \cdot x^2 - x^3 \cdot y^2) - (x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot y^2) + 2x^3y^2 - 7 = x^5 - x^3y^2 - x^5 - x^3y^2 + 2x^3y^2 - 7$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^5 - x^5) + (-x^3y^2 - x^3y^2 + 2x^3y^2) - 7 = 0 \cdot x^5 - 2x^3y^2 + 2x^3y^2 - 7 = 0 + 0 - 7 = -7$.
В результате упрощения мы получили число -7, которое не зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это доказывает, что значение исходного выражения является постоянным при любых значениях переменных.
Ответ: -7

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, упростим его: $(3xy - 5)^2 - (5xy - 3)^2 + 16(x^2y^2 - 2) - 1$.
Для первых двух слагаемых применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3xy - 5$ и $b = 5xy - 3$.
$(3xy - 5)^2 - (5xy - 3)^2 = ((3xy - 5) - (5xy - 3)) \cdot ((3xy - 5) + (5xy - 3)) = (3xy - 5 - 5xy + 3)(3xy - 5 + 5xy - 3) = (-2xy - 2)(8xy - 8)$.
Теперь раскроем скобки в полученном произведении:
$(-2xy - 2)(8xy - 8) = -2xy \cdot 8xy - 2xy \cdot (-8) - 2 \cdot 8xy - 2 \cdot (-8) = -16x^2y^2 + 16xy - 16xy + 16 = -16x^2y^2 + 16$.
Подставим это выражение обратно в исходное:
$(-16x^2y^2 + 16) + 16(x^2y^2 - 2) - 1$.
Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:
$-16x^2y^2 + 16 + 16x^2y^2 - 32 - 1 = (-16x^2y^2 + 16x^2y^2) + (16 - 32 - 1) = 0 + (-16 - 1) = -17$.
В результате упрощения мы получили число -17, которое не зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это доказывает, что значение исходного выражения является постоянным при любых значениях переменных.
Ответ: -17