Номер 6, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Выполните действия:

1) $\frac{1}{3^5} \cdot 243 + 0,25 \cdot 4,4 - 2,34;$

2) $\frac{(1,5)^3 \cdot 8 - 21}{(5 \cdot 2)^3} + 2,45;$

3) $\frac{(2,5)^2 \cdot 8 - 42,8}{(5 \cdot 2)^2} + 6,45;$

4) $\frac{(0,5)^2 \cdot 6^3 - 4,8}{(5 \cdot 4)^2} - 2,45 : 4^{-1};$

5) $\frac{24^2 - 13^2}{33} + 3^2;$

6) $\frac{105^2 - 99^2}{408} - 2^{-2};$

7) $\frac{24^3 + 12^3}{21^2 - 15^2} + 6^{-1};$

8) $\frac{18^3 + 15^3}{19^2 - 14^2} + 5^{-1}.$

1) $\frac{1}{3^5} \cdot 243 + 0,25 \cdot 4,4 - 2,34$

Сначала вычислим значение $3^5$. $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Тогда первое слагаемое равно $\frac{1}{243} \cdot 243 = 1$.

Теперь вычислим произведение $0,25 \cdot 4,4$. $0,25$ это то же самое, что и $\frac{1}{4}$, поэтому $0,25 \cdot 4,4 = \frac{1}{4} \cdot 4,4 = 1,1$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $1 + 1,1 - 2,34$.

Выполним сложение: $1 + 1,1 = 2,1$.

Выполним вычитание: $2,1 - 2,34 = -0,24$.

Ответ: $-0,24$.

2) $\frac{(1,5)^3 \cdot 8 - 21}{(5 \cdot 2)^3} + 2,45$

Сначала упростим выражение в знаменателе дроби: $(5 \cdot 2)^3 = 10^3 = 1000$.

Теперь упростим выражение в числителе. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$. Заметим, что $8 = 2^3$. Тогда $(1,5)^3 \cdot 8 = (1,5)^3 \cdot 2^3 = (1,5 \cdot 2)^3 = 3^3 = 27$.

Числитель равен $27 - 21 = 6$.

Дробь равна $\frac{6}{1000} = 0,006$.

Теперь выполним сложение: $0,006 + 2,45 = 2,456$.

Ответ: $2,456$.

3) $\frac{(2,5)^2 \cdot 8 - 42,8}{(5 \cdot 2)^2} + 6,45$

Вычислим знаменатель: $(5 \cdot 2)^2 = 10^2 = 100$.

Вычислим числитель. Сначала возведем в степень: $(2,5)^2 = 6,25$.

Затем выполним умножение: $6,25 \cdot 8 = 50$.

Теперь вычитание в числителе: $50 - 42,8 = 7,2$.

Дробь равна $\frac{7,2}{100} = 0,072$.

Наконец, выполним сложение: $0,072 + 6,45 = 6,522$.

Ответ: $6,522$.

4) $\frac{(0,5)^2 \cdot 6^3 - 4,8}{(5 \cdot 4)^2} - 2,45 : 4^{-1}$

Решим по частям. Сначала вычислим значение дроби.

Знаменатель: $(5 \cdot 4)^2 = 20^2 = 400$.

Числитель: $(0,5)^2 \cdot 6^3 - 4,8$. $(0,5)^2 = 0,25$. $6^3 = 216$.

$0,25 \cdot 216 = \frac{1}{4} \cdot 216 = 54$.

Числитель равен $54 - 4,8 = 49,2$.

Дробь равна $\frac{49,2}{400} = \frac{492}{4000} = \frac{123}{1000} = 0,123$.

Теперь вычислим вторую часть выражения: $2,45 : 4^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем, $4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Тогда $2,45 : 4^{-1} = 2,45 : 0,25 = 2,45 : \frac{1}{4} = 2,45 \cdot 4 = 9,8$.

Теперь выполним вычитание: $0,123 - 9,8 = -9,677$.

Ответ: $-9,677$.

5) $\frac{24^2 - 13^2}{33} + 3^2$

Для числителя дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$24^2 - 13^2 = (24 - 13)(24 + 13) = 11 \cdot 37$.

Подставим это в дробь: $\frac{11 \cdot 37}{33}$.

Сократим дробь: $\frac{11 \cdot 37}{3 \cdot 11} = \frac{37}{3}$.

Второе слагаемое $3^2 = 9$.

Теперь выполним сложение: $\frac{37}{3} + 9 = \frac{37}{3} + \frac{27}{3} = \frac{37 + 27}{3} = \frac{64}{3}$.

Выделим целую часть: $\frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$.

Ответ: $21\frac{1}{3}$.

6) $\frac{105^2 - 99^2}{408} - 2^{-2}$

Для числителя дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$105^2 - 99^2 = (105 - 99)(105 + 99) = 6 \cdot 204$.

Подставим это в дробь: $\frac{6 \cdot 204}{408}$.

Заметим, что $408 = 2 \cdot 204$. Сократим дробь: $\frac{6 \cdot 204}{2 \cdot 204} = \frac{6}{2} = 3$.

Вычислим вторую часть выражения: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Теперь выполним вычитание: $3 - 0,25 = 2,75$.

Ответ: $2,75$.

7) $\frac{24^3 + 12^3}{21^2 - 15^2} + 6^{-1}$

Рассмотрим числитель дроби. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $24^3+12^3 = (24+12)(24^2 - 24\cdot12 + 12^2) = 36 \cdot (576 - 288 + 144) = 36 \cdot 432$.

Рассмотрим знаменатель дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $21^2 - 15^2 = (21-15)(21+15) = 6 \cdot 36$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{36 \cdot 432}{6 \cdot 36}$.

Сократим дробь: $\frac{432}{6} = 72$.

Вычислим второе слагаемое: $6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Выполним сложение: $72 + \frac{1}{6} = 72\frac{1}{6}$.

Ответ: $72\frac{1}{6}$.

8) $\frac{18^3 + 15^3}{19^2 - 14^2} + 5^{-1}$

Рассмотрим числитель дроби. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$18^3 + 15^3 = (18+15)(18^2 - 18\cdot15 + 15^2) = 33 \cdot (324 - 270 + 225) = 33 \cdot 279$.

Рассмотрим знаменатель дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$19^2 - 14^2 = (19-14)(19+14) = 5 \cdot 33$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{33 \cdot 279}{5 \cdot 33}$.

Сократим дробь: $\frac{279}{5}$.

Переведем в десятичную дробь: $\frac{279}{5} = \frac{558}{10} = 55,8$.

Вычислим второе слагаемое: $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Выполним сложение: $55,8 + 0,2 = 56$.

Ответ: $56$.