Номер 5, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. 1) $\frac{(0,5)^3 \cdot 8^7 \cdot 12^2}{6^3 \cdot 2^{15}}$;

5. 2) $\frac{(\frac{1}{4})^3 \cdot 9 \cdot 20^3}{18^4 \cdot 5^2}$.

1)

Для решения данного выражения представим все числа в виде степеней с простыми основаниями.

Исходное выражение: $ \frac{(0,5)^3 \cdot 8^7 \cdot 12^2}{6^3 \cdot 2^{15}} $.

Преобразуем каждый множитель:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$8 = 2^3$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{(2^{-1})^3 \cdot (2^3)^7 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}{(2 \cdot 3)^3 \cdot 2^{15}} $

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$ \frac{2^{-3} \cdot 2^{21} \cdot (2^2)^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{15}} = \frac{2^{-3} \cdot 2^{21} \cdot 2^4 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{15}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $2^{-3+21+4} \cdot 3^2 = 2^{22} \cdot 3^2$

Знаменатель: $2^{3+15} \cdot 3^3 = 2^{18} \cdot 3^3$

Получим дробь:

$ \frac{2^{22} \cdot 3^2}{2^{18} \cdot 3^3} $

Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ 2^{22-18} \cdot 3^{2-3} = 2^4 \cdot 3^{-1} = 16 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3} $

Ответ: $ \frac{16}{3} $.

2)

Для решения данного выражения также представим все числа в виде степеней с простыми основаниями.

Исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{4})^3 \cdot 9 \cdot 20^3}{18^4 \cdot 5^2} $.

Преобразуем каждый множитель:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$9 = 3^2$

$20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{(2^{-2})^3 \cdot 3^2 \cdot (2^2 \cdot 5)^3}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot 5^2} $

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$ \frac{2^{-6} \cdot 3^2 \cdot (2^2)^3 \cdot 5^3}{2^4 \cdot (3^2)^4 \cdot 5^2} = \frac{2^{-6} \cdot 3^2 \cdot 2^6 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 5^2} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $2^{-6+6} \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 1 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 3^2 \cdot 5^3$

Получим дробь:

$ \frac{3^2 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 5^2} $

Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ 2^{-4} \cdot 3^{2-8} \cdot 5^{3-2} = 2^{-4} \cdot 3^{-6} \cdot 5^1 $

Перепишем выражение с положительными степенями в знаменателе:

$ \frac{5}{2^4 \cdot 3^6} $

Вычислим значения в знаменателе:

$ 2^4 = 16 $

$ 3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729 $

Подставим вычисленные значения:

$ \frac{5}{16 \cdot 729} = \frac{5}{11664} $

Ответ: $ \frac{5}{11664} $.