Страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. 1) $10 \cdot 2 : 0,4 - 2,6 \cdot (-3)$;

1. 2) $4,5 + 5^2 \cdot 0,4 - 10^3 \cdot 0,006$;

1. 3) $10^2 \cdot 0,63 - 5^2 \cdot 0,008 + 4,44$;

1. 4) $6,8 - 25^2 \cdot 0,4 - 10^3 \cdot 0,045$.

1) $10 \cdot 2 : 0,4 - 2,6 \cdot (-3)$

Решим пример по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения (сначала умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание).

1. Первое действие – умножение: $10 \cdot 2 = 20$.

2. Второе действие – деление: $20 : 0,4$. Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом: $200 : 4 = 50$.

3. Третье действие – умножение во второй части выражения: $2,6 \cdot (-3) = -7,8$.

4. Четвертое действие – вычитание. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению: $50 - (-7,8) = 50 + 7,8 = 57,8$.

Ответ: 57,8

2) $4,5 + 5^2 \cdot 0,4 - 10^3 \cdot 0,006$

Решим пример по действиям. Порядок действий: возведение в степень, затем умножение, затем сложение и вычитание.

1. Возводим числа в степень: $5^2 = 25$ и $10^3 = 1000$.

2. Подставляем полученные значения в выражение: $4,5 + 25 \cdot 0,4 - 1000 \cdot 0,006$.

3. Выполняем умножение: $25 \cdot 0,4 = 10$.

4. Выполняем второе умножение: $1000 \cdot 0,006 = 6$.

5. Выполняем сложение и вычитание слева направо: $4,5 + 10 - 6 = 14,5 - 6 = 8,5$.

Ответ: 8,5

3) $10^2 \cdot 0,63 - 5^2 \cdot 0,008 + 4,44$

Решим пример по действиям, соблюдая их порядок.

1. Возводим числа в степень: $10^2 = 100$ и $5^2 = 25$.

2. Подставляем значения в выражение: $100 \cdot 0,63 - 25 \cdot 0,008 + 4,44$.

3. Выполняем первое умножение: $100 \cdot 0,63 = 63$.

4. Выполняем второе умножение: $25 \cdot 0,008 = 0,2$.

5. Выполняем вычитание и сложение: $63 - 0,2 + 4,44 = 62,8 + 4,44 = 67,24$.

Ответ: 67,24

4) $6,8 - 25^2 \cdot 0,4 - 10^3 \cdot 0,045$

Решим пример по действиям в правильном порядке.

1. Возводим числа в степень: $25^2 = 625$ и $10^3 = 1000$.

2. Подставляем значения в выражение: $6,8 - 625 \cdot 0,4 - 1000 \cdot 0,045$.

3. Выполняем первое умножение: $625 \cdot 0,4 = 250$.

4. Выполняем второе умножение: $1000 \cdot 0,045 = 45$.

5. Выполняем вычитание слева направо: $6,8 - 250 - 45 = -243,2 - 45 = -288,2$.

Ответ: -288,2

2.

1) $\frac{3^2 \cdot 4^3 \cdot 12^2}{9^2 \cdot 6^3}$;

2) $\frac{5^2 \cdot 6^4 \cdot 12^2}{15^2 \cdot 9^3}$;

3) $\frac{12^2 \cdot 4^3 \cdot 6^2}{8^2 \cdot 18^3}$;

4) $\frac{(3^3)^3 \cdot 9^7 \cdot 2^2}{81^5 \cdot 2^3}$.

1) $\frac{3^2 \cdot 4^3 \cdot 12^2}{9^2 \cdot 6^3}$

Для упрощения дроби представим основания степеней в виде произведения простых множителей: $4 = 2^2$, $12 = 3 \cdot 2^2$, $9 = 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$. Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{3^2 \cdot (2^2)^3 \cdot (3 \cdot 2^2)^2}{(3^2)^2 \cdot (2 \cdot 3)^3}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, преобразуем выражение:

$\frac{3^2 \cdot 2^6 \cdot 3^2 \cdot 2^4}{3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \frac{3^{2+2} \cdot 2^{6+4}}{3^{4+3} \cdot 2^3} = \frac{3^4 \cdot 2^{10}}{3^7 \cdot 2^3}$

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и вычислим результат:

$3^{4-7} \cdot 2^{10-3} = 3^{-3} \cdot 2^7 = \frac{2^7}{3^3} = \frac{128}{27}$

Ответ: $\frac{128}{27}$

2) $\frac{5^2 \cdot 6^4 \cdot 12^2}{15^2 \cdot 9^3}$

Разложим основания степеней на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$, $9 = 3^2$. Подставим разложения в выражение:

$\frac{5^2 \cdot (2 \cdot 3)^4 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}{(3 \cdot 5)^2 \cdot (3^2)^3}$

Применим свойства степеней для упрощения:

$\frac{5^2 \cdot 2^4 \cdot 3^4 \cdot 2^4 \cdot 3^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 3^6} = \frac{5^2 \cdot 2^{4+4} \cdot 3^{4+2}}{5^2 \cdot 3^{2+6}} = \frac{5^2 \cdot 2^8 \cdot 3^6}{5^2 \cdot 3^8}$

Сократим дробь, используя правило деления степеней:

$5^{2-2} \cdot 2^8 \cdot 3^{6-8} = 5^0 \cdot 2^8 \cdot 3^{-2} = 1 \cdot 2^8 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{2^8}{3^2} = \frac{256}{9}$

Ответ: $\frac{256}{9}$

3) $\frac{12^2 \cdot 4^3 \cdot 6^2}{8^2 \cdot 18^3}$

Разложим основания на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. Подставим в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (2^2)^3 \cdot (2 \cdot 3)^2}{(2^3)^2 \cdot (2 \cdot 3^2)^3}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^6 \cdot 2^2 \cdot 3^2}{2^6 \cdot 2^3 \cdot 3^6} = \frac{2^{4+6+2} \cdot 3^{2+2}}{2^{6+3} \cdot 3^6} = \frac{2^{12} \cdot 3^4}{2^9 \cdot 3^6}$

Выполним деление степеней и вычислим значение:

$2^{12-9} \cdot 3^{4-6} = 2^3 \cdot 3^{-2} = \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

4) $\frac{(3^3)^3 \cdot 9^7 \cdot 2^2}{81^5 \cdot 2^3}$

Представим основания степеней через простые множители, в данном случае через основание 3: $9 = 3^2$, $81 = 3^4$.

Подставим эти значения и применим свойство возведения степени в степень:

$\frac{(3^3)^3 \cdot (3^2)^7 \cdot 2^2}{(3^4)^5 \cdot 2^3} = \frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 7} \cdot 2^2}{3^{4 \cdot 5} \cdot 2^3} = \frac{3^9 \cdot 3^{14} \cdot 2^2}{3^{20} \cdot 2^3}$

Сложим показатели степеней в числителе:

$\frac{3^{9+14} \cdot 2^2}{3^{20} \cdot 2^3} = \frac{3^{23} \cdot 2^2}{3^{20} \cdot 2^3}$

Разделим степени с одинаковыми основаниями и вычислим ответ:

$3^{23-20} \cdot 2^{2-3} = 3^3 \cdot 2^{-1} = \frac{3^3}{2} = \frac{27}{2}$

Ответ: $\frac{27}{2}$

3. 1) $5^4 - 6^3 + 254;$

2) $2 \cdot 5^3 - 3^3 + 3 \cdot 54;$

3) $5 \cdot 4^3 - 6^3 + 3 \cdot 88;$

4) $2^3 \cdot 5^2 - 8^3 - 4 \cdot 84.$

1) $5^4 - 6^3 + 254$
Для решения этого примера необходимо сначала вычислить значения степеней, а затем выполнить вычитание и сложение в порядке их следования.
1. Вычисляем $5^4$:
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
2. Вычисляем $6^3$:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$625 - 216 + 254$.
4. Выполняем вычитание:
$625 - 216 = 409$.
5. Выполняем сложение:
$409 + 254 = 663$.
Ответ: 663

2) $2 \cdot 5^3 - 3^3 + 3 \cdot 54$
В этом примере сначала выполняются операции возведения в степень, затем умножение, и в конце — вычитание и сложение.
1. Вычисляем степени:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
2. Подставляем значения степеней в выражение:
$2 \cdot 125 - 27 + 3 \cdot 54$.
3. Выполняем операции умножения:
$2 \cdot 125 = 250$.
$3 \cdot 54 = 162$.
4. Подставляем результаты умножения в выражение:
$250 - 27 + 162$.
5. Выполняем вычитание:
$250 - 27 = 223$.
6. Выполняем сложение:
$223 + 162 = 385$.
Ответ: 385

3) $5 \cdot 4^3 - 6^3 + 3 \cdot 88$
Порядок действий аналогичен предыдущему примеру: сначала степени, затем умножение, потом вычитание и сложение.
1. Вычисляем степени:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
2. Подставляем значения степеней в выражение:
$5 \cdot 64 - 216 + 3 \cdot 88$.
3. Выполняем операции умножения:
$5 \cdot 64 = 320$.
$3 \cdot 88 = 264$.
4. Подставляем результаты умножения в выражение:
$320 - 216 + 264$.
5. Выполняем вычитание:
$320 - 216 = 104$.
6. Выполняем сложение:
$104 + 264 = 368$.
Ответ: 368

4) $2^3 \cdot 5^2 - 8^3 - 4 \cdot 84$
Сначала вычисляем значения всех степеней, затем выполняем умножение, и в конце — вычитание.
1. Вычисляем степени:
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$.
2. Подставляем значения степеней в выражение:
$8 \cdot 25 - 512 - 4 \cdot 84$.
3. Выполняем операции умножения:
$8 \cdot 25 = 200$.
$4 \cdot 84 = 336$.
4. Подставляем результаты умножения в выражение:
$200 - 512 - 336$.
5. Выполняем вычитание по порядку:
$200 - 512 = -312$.
$-312 - 336 = -648$.
Ответ: -648

4. 1) $\frac{(2^4)^3 \cdot 6^7 \cdot 3^2}{18^4 \cdot 2^9}$;

2) $\frac{2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2}{10^7 \cdot 3^6}$;

3) $\frac{(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{81^2 \cdot 10^5}$;

4) $\frac{(6^3)^3 \cdot 9^2 \cdot (5^2)^2}{1000 \cdot 18^7}$.

1) Найдем значение выражения $\frac{(2^4)^3 \cdot 6^7 \cdot 3^2}{18^4 \cdot 2^9}$.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель, разложив составные числа на простые множители и используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.

Числитель: $(2^4)^3 \cdot 6^7 \cdot 3^2 = 2^{4 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 3)^7 \cdot 3^2 = 2^{12} \cdot 2^7 \cdot 3^7 \cdot 3^2$.

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $2^{12+7} \cdot 3^{7+2} = 2^{19} \cdot 3^9$.

Знаменатель: $18^4 \cdot 2^9 = (2 \cdot 3^2)^4 \cdot 2^9 = 2^4 \cdot (3^2)^4 \cdot 2^9 = 2^4 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot 2^9 = 2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^9$.

Сгруппируем степени: $2^{4+9} \cdot 3^8 = 2^{13} \cdot 3^8$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{19} \cdot 3^9}{2^{13} \cdot 3^8} = 2^{19-13} \cdot 3^{9-8} = 2^6 \cdot 3^1 = 64 \cdot 3 = 192$.

Ответ: 192

2) Найдем значение выражения $\frac{2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2}{10^7 \cdot 3^6}$.

Разложим числа на простые множители и применим свойства степеней.

Числитель: $2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2 = 2 \cdot 5^{3 \cdot 3} \cdot (3^2)^4 \cdot (2^2)^2 = 2^1 \cdot 5^9 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot 2^{2 \cdot 2} = 2^1 \cdot 5^9 \cdot 3^8 \cdot 2^4$.

Сгруппируем степени: $2^{1+4} \cdot 3^8 \cdot 5^9 = 2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^9$.

Знаменатель: $10^7 \cdot 3^6 = (2 \cdot 5)^7 \cdot 3^6 = 2^7 \cdot 5^7 \cdot 3^6$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^9}{2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^7} = 2^{5-7} \cdot 3^{8-6} \cdot 5^{9-7} = 2^{-2} \cdot 3^2 \cdot 5^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 \cdot 25 = \frac{1}{4} \cdot 225 = \frac{225}{4} = 56,25$.

Ответ: 56,25

3) Найдем значение выражения $\frac{(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{81^2 \cdot 10^5}$.

Разложим числа на простые множители и применим свойства степеней.

Числитель: $(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2 = 3^{3 \cdot 3} \cdot 5^7 \cdot 2^2 = 3^9 \cdot 5^7 \cdot 2^2$.

Знаменатель: $81^2 \cdot 10^5 = (3^4)^2 \cdot (2 \cdot 5)^5 = 3^{4 \cdot 2} \cdot 2^5 \cdot 5^5 = 3^8 \cdot 2^5 \cdot 5^5$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{3^8 \cdot 2^5 \cdot 5^5} = 3^{9-8} \cdot 2^{2-5} \cdot 5^{7-5} = 3^1 \cdot 2^{-3} \cdot 5^2 = 3 \cdot \frac{1}{2^3} \cdot 25 = 3 \cdot \frac{1}{8} \cdot 25 = \frac{75}{8} = 9,375$.

Ответ: 9,375

4) Найдем значение выражения $\frac{(6^3)^3 \cdot 9^2 \cdot (5^2)^2}{1000 \cdot 18^7}$.

Разложим числа на простые множители и применим свойства степеней.

Числитель: $(6^3)^3 \cdot 9^2 \cdot (5^2)^2 = 6^{3 \cdot 3} \cdot (3^2)^2 \cdot 5^{2 \cdot 2} = (2 \cdot 3)^9 \cdot 3^4 \cdot 5^4 = 2^9 \cdot 3^9 \cdot 3^4 \cdot 5^4$.

Сгруппируем степени: $2^9 \cdot 3^{9+4} \cdot 5^4 = 2^9 \cdot 3^{13} \cdot 5^4$.

Знаменатель: $1000 \cdot 18^7 = 10^3 \cdot (2 \cdot 3^2)^7 = (2 \cdot 5)^3 \cdot 2^7 \cdot (3^2)^7 = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^7 \cdot 3^{14}$.

Сгруппируем степени: $2^{3+7} \cdot 3^{14} \cdot 5^3 = 2^{10} \cdot 3^{14} \cdot 5^3$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2^9 \cdot 3^{13} \cdot 5^4}{2^{10} \cdot 3^{14} \cdot 5^3} = 2^{9-10} \cdot 3^{13-14} \cdot 5^{4-3} = 2^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

5. 1) $\frac{(0,5)^3 \cdot 8^7 \cdot 12^2}{6^3 \cdot 2^{15}}$;

5. 2) $\frac{(\frac{1}{4})^3 \cdot 9 \cdot 20^3}{18^4 \cdot 5^2}$.

1)

Для решения данного выражения представим все числа в виде степеней с простыми основаниями.

Исходное выражение: $ \frac{(0,5)^3 \cdot 8^7 \cdot 12^2}{6^3 \cdot 2^{15}} $.

Преобразуем каждый множитель:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$8 = 2^3$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{(2^{-1})^3 \cdot (2^3)^7 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}{(2 \cdot 3)^3 \cdot 2^{15}} $

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$ \frac{2^{-3} \cdot 2^{21} \cdot (2^2)^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{15}} = \frac{2^{-3} \cdot 2^{21} \cdot 2^4 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{15}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $2^{-3+21+4} \cdot 3^2 = 2^{22} \cdot 3^2$

Знаменатель: $2^{3+15} \cdot 3^3 = 2^{18} \cdot 3^3$

Получим дробь:

$ \frac{2^{22} \cdot 3^2}{2^{18} \cdot 3^3} $

Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ 2^{22-18} \cdot 3^{2-3} = 2^4 \cdot 3^{-1} = 16 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3} $

Ответ: $ \frac{16}{3} $.

2)

Для решения данного выражения также представим все числа в виде степеней с простыми основаниями.

Исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{4})^3 \cdot 9 \cdot 20^3}{18^4 \cdot 5^2} $.

Преобразуем каждый множитель:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$9 = 3^2$

$20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{(2^{-2})^3 \cdot 3^2 \cdot (2^2 \cdot 5)^3}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot 5^2} $

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$ \frac{2^{-6} \cdot 3^2 \cdot (2^2)^3 \cdot 5^3}{2^4 \cdot (3^2)^4 \cdot 5^2} = \frac{2^{-6} \cdot 3^2 \cdot 2^6 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 5^2} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $2^{-6+6} \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 1 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 3^2 \cdot 5^3$

Получим дробь:

$ \frac{3^2 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 5^2} $

Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ 2^{-4} \cdot 3^{2-8} \cdot 5^{3-2} = 2^{-4} \cdot 3^{-6} \cdot 5^1 $

Перепишем выражение с положительными степенями в знаменателе:

$ \frac{5}{2^4 \cdot 3^6} $

Вычислим значения в знаменателе:

$ 2^4 = 16 $

$ 3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729 $

Подставим вычисленные значения:

$ \frac{5}{16 \cdot 729} = \frac{5}{11664} $

Ответ: $ \frac{5}{11664} $.

6. Выполните действия:

1) $\frac{1}{3^5} \cdot 243 + 0,25 \cdot 4,4 - 2,34;$

2) $\frac{(1,5)^3 \cdot 8 - 21}{(5 \cdot 2)^3} + 2,45;$

3) $\frac{(2,5)^2 \cdot 8 - 42,8}{(5 \cdot 2)^2} + 6,45;$

4) $\frac{(0,5)^2 \cdot 6^3 - 4,8}{(5 \cdot 4)^2} - 2,45 : 4^{-1};$

5) $\frac{24^2 - 13^2}{33} + 3^2;$

6) $\frac{105^2 - 99^2}{408} - 2^{-2};$

7) $\frac{24^3 + 12^3}{21^2 - 15^2} + 6^{-1};$

8) $\frac{18^3 + 15^3}{19^2 - 14^2} + 5^{-1}.$

1) $\frac{1}{3^5} \cdot 243 + 0,25 \cdot 4,4 - 2,34$

Сначала вычислим значение $3^5$. $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Тогда первое слагаемое равно $\frac{1}{243} \cdot 243 = 1$.

Теперь вычислим произведение $0,25 \cdot 4,4$. $0,25$ это то же самое, что и $\frac{1}{4}$, поэтому $0,25 \cdot 4,4 = \frac{1}{4} \cdot 4,4 = 1,1$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $1 + 1,1 - 2,34$.

Выполним сложение: $1 + 1,1 = 2,1$.

Выполним вычитание: $2,1 - 2,34 = -0,24$.

Ответ: $-0,24$.

2) $\frac{(1,5)^3 \cdot 8 - 21}{(5 \cdot 2)^3} + 2,45$

Сначала упростим выражение в знаменателе дроби: $(5 \cdot 2)^3 = 10^3 = 1000$.

Теперь упростим выражение в числителе. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$. Заметим, что $8 = 2^3$. Тогда $(1,5)^3 \cdot 8 = (1,5)^3 \cdot 2^3 = (1,5 \cdot 2)^3 = 3^3 = 27$.

Числитель равен $27 - 21 = 6$.

Дробь равна $\frac{6}{1000} = 0,006$.

Теперь выполним сложение: $0,006 + 2,45 = 2,456$.

Ответ: $2,456$.

3) $\frac{(2,5)^2 \cdot 8 - 42,8}{(5 \cdot 2)^2} + 6,45$

Вычислим знаменатель: $(5 \cdot 2)^2 = 10^2 = 100$.

Вычислим числитель. Сначала возведем в степень: $(2,5)^2 = 6,25$.

Затем выполним умножение: $6,25 \cdot 8 = 50$.

Теперь вычитание в числителе: $50 - 42,8 = 7,2$.

Дробь равна $\frac{7,2}{100} = 0,072$.

Наконец, выполним сложение: $0,072 + 6,45 = 6,522$.

Ответ: $6,522$.

4) $\frac{(0,5)^2 \cdot 6^3 - 4,8}{(5 \cdot 4)^2} - 2,45 : 4^{-1}$

Решим по частям. Сначала вычислим значение дроби.

Знаменатель: $(5 \cdot 4)^2 = 20^2 = 400$.

Числитель: $(0,5)^2 \cdot 6^3 - 4,8$. $(0,5)^2 = 0,25$. $6^3 = 216$.

$0,25 \cdot 216 = \frac{1}{4} \cdot 216 = 54$.

Числитель равен $54 - 4,8 = 49,2$.

Дробь равна $\frac{49,2}{400} = \frac{492}{4000} = \frac{123}{1000} = 0,123$.

Теперь вычислим вторую часть выражения: $2,45 : 4^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем, $4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Тогда $2,45 : 4^{-1} = 2,45 : 0,25 = 2,45 : \frac{1}{4} = 2,45 \cdot 4 = 9,8$.

Теперь выполним вычитание: $0,123 - 9,8 = -9,677$.

Ответ: $-9,677$.

5) $\frac{24^2 - 13^2}{33} + 3^2$

Для числителя дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$24^2 - 13^2 = (24 - 13)(24 + 13) = 11 \cdot 37$.

Подставим это в дробь: $\frac{11 \cdot 37}{33}$.

Сократим дробь: $\frac{11 \cdot 37}{3 \cdot 11} = \frac{37}{3}$.

Второе слагаемое $3^2 = 9$.

Теперь выполним сложение: $\frac{37}{3} + 9 = \frac{37}{3} + \frac{27}{3} = \frac{37 + 27}{3} = \frac{64}{3}$.

Выделим целую часть: $\frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$.

Ответ: $21\frac{1}{3}$.

6) $\frac{105^2 - 99^2}{408} - 2^{-2}$

Для числителя дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$105^2 - 99^2 = (105 - 99)(105 + 99) = 6 \cdot 204$.

Подставим это в дробь: $\frac{6 \cdot 204}{408}$.

Заметим, что $408 = 2 \cdot 204$. Сократим дробь: $\frac{6 \cdot 204}{2 \cdot 204} = \frac{6}{2} = 3$.

Вычислим вторую часть выражения: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Теперь выполним вычитание: $3 - 0,25 = 2,75$.

Ответ: $2,75$.

7) $\frac{24^3 + 12^3}{21^2 - 15^2} + 6^{-1}$

Рассмотрим числитель дроби. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $24^3+12^3 = (24+12)(24^2 - 24\cdot12 + 12^2) = 36 \cdot (576 - 288 + 144) = 36 \cdot 432$.

Рассмотрим знаменатель дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $21^2 - 15^2 = (21-15)(21+15) = 6 \cdot 36$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{36 \cdot 432}{6 \cdot 36}$.

Сократим дробь: $\frac{432}{6} = 72$.

Вычислим второе слагаемое: $6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Выполним сложение: $72 + \frac{1}{6} = 72\frac{1}{6}$.

Ответ: $72\frac{1}{6}$.

8) $\frac{18^3 + 15^3}{19^2 - 14^2} + 5^{-1}$

Рассмотрим числитель дроби. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$18^3 + 15^3 = (18+15)(18^2 - 18\cdot15 + 15^2) = 33 \cdot (324 - 270 + 225) = 33 \cdot 279$.

Рассмотрим знаменатель дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$19^2 - 14^2 = (19-14)(19+14) = 5 \cdot 33$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{33 \cdot 279}{5 \cdot 33}$.

Сократим дробь: $\frac{279}{5}$.

Переведем в десятичную дробь: $\frac{279}{5} = \frac{558}{10} = 55,8$.

Вычислим второе слагаемое: $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Выполним сложение: $55,8 + 0,2 = 56$.

Ответ: $56$.

7. Сравните значения числовых выражений:

1) $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2$ и $(6^3)^2 : 36^5$;

2) $\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4}$ и $1\frac{1}{8}$;

3) $13 \cdot 4^3 : 2^3$ и $10^2 : 5^2 : 2^3$;

4) $\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} : 4^2$ и $\frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4}$;

5) $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4$ и $2^3 - 2,6$;

6) $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64$ и $6^3 + (-3)^2 - 2^5$;

7) $50^4$ и $2^4 : 5^{-6}$;

8) $90^4$ и $3^4 : 10^{-6}$.

1) Сравним значения выражений $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2$ и $(6^3)^2 : 36^5$.
Вычислим значение первого выражения:
$128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 128 \cdot \frac{1^2}{8^2} = 128 \cdot \frac{1}{64} = \frac{128}{64} = 2$.
Вычислим значение второго выражения, используя свойства степеней:
$(6^3)^2 : 36^5 = 6^{3 \cdot 2} : (6^2)^5 = 6^6 : 6^{2 \cdot 5} = 6^6 : 6^{10} = 6^{6-10} = 6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$.
Сравним полученные значения: $2$ и $\frac{1}{1296}$.
Так как $2 > \frac{1}{1296}$, то $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 > (6^3)^2 : 36^5$.
Ответ: $128 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 > (6^3)^2 : 36^5$.

2) Сравним значения выражений $\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4}$ и $1\frac{1}{8}$.
Упростим первое выражение, приведя все степени к основанию 2:
$\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4} = \frac{(2^3)^3 \cdot 2^5}{(2^4)^4} = \frac{2^{3 \cdot 3} \cdot 2^5}{2^{4 \cdot 4}} = \frac{2^9 \cdot 2^5}{2^{16}} = \frac{2^{9+5}}{2^{16}} = \frac{2^{14}}{2^{16}} = 2^{14-16} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Представим второе выражение в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$.
Сравним дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{8}$. Приведем их к общему знаменателю 8: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$.
Так как $2 < 9$, то $\frac{2}{8} < \frac{9}{8}$, следовательно, $\frac{1}{4} < 1\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{8^3 \cdot 2^5}{16^4} < 1\frac{1}{8}$.

3) Сравним значения выражений $13 \cdot 4^3 : 2^3$ и $10^2 : 5^2 : 2^3$.
Вычислим значение первого выражения:
$13 \cdot 4^3 : 2^3 = 13 \cdot (4:2)^3 = 13 \cdot 2^3 = 13 \cdot 8 = 104$.
Вычислим значение второго выражения:
$10^2 : 5^2 : 2^3 = (10:5)^2 : 2^3 = 2^2 : 2^3 = 4 : 8 = 0,5$.
Сравним полученные значения: $104$ и $0,5$.
Так как $104 > 0,5$, то $13 \cdot 4^3 : 2^3 > 10^2 : 5^2 : 2^3$.
Ответ: $13 \cdot 4^3 : 2^3 > 10^2 : 5^2 : 2^3$.

4) Сравним значения выражений $\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4}$.
Упростим первое выражение:
$\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} = \frac{14}{2} \cdot 3^{2-3} = 7 \cdot 3^{-1} = \frac{7}{3}$.
Упростим второе выражение:
$\frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4} = \frac{(3 \cdot 7)^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4} = 5 \cdot \frac{3^3}{3^4} \cdot \frac{7^3}{7^3} = 5 \cdot 3^{3-4} \cdot 7^{3-3} = 5 \cdot 3^{-1} \cdot 7^0 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$.
Сравним дроби $\frac{7}{3}$ и $\frac{5}{3}$.
Так как $7 > 5$, то $\frac{7}{3} > \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{14 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} > \frac{21^3 \cdot 5}{7^3 \cdot 3^4}$.

5) Сравним значения выражений $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4$ и $2^3 - 2,6$.
Вычислим значение первого выражения:
$(-0,5)^3 \cdot 16 + 4 = (- \frac{1}{2})^3 \cdot 16 + 4 = -\frac{1}{8} \cdot 16 + 4 = -2 + 4 = 2$.
Вычислим значение второго выражения:
$2^3 - 2,6 = 8 - 2,6 = 5,4$.
Сравним полученные значения: $2$ и $5,4$.
Так как $2 < 5,4$, то $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4 < 2^3 - 2,6$.
Ответ: $(-0,5)^3 \cdot 16 + 4 < 2^3 - 2,6$.

6) Сравним значения выражений $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64$ и $6^3 + (-3)^2 - 2^5$.
Вычислим значение первого выражения:
$\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64 = \frac{1}{3^4} \cdot 3^5 + 216 - 64 = \frac{1}{81} \cdot 243 + 216 - 64 = 3 + 216 - 64 = 155$.
Вычислим значение второго выражения:
$6^3 + (-3)^2 - 2^5 = 216 + 9 - 32 = 225 - 32 = 193$.
Сравним полученные значения: $155$ и $193$.
Так как $155 < 193$, то $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64 < 6^3 + (-3)^2 - 2^5$.
Ответ: $\left(-\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 243 + 6^3 - 64 < 6^3 + (-3)^2 - 2^5$.

7) Сравним значения выражений $50^4$ и $2^4 : 5^{-6}$.
Преобразуем первое выражение:
$50^4 = (5 \cdot 10)^4 = (5 \cdot 2 \cdot 5)^4 = (2 \cdot 5^2)^4 = 2^4 \cdot (5^2)^4 = 2^4 \cdot 5^8$.
Преобразуем второе выражение:
$2^4 : 5^{-6} = 2^4 \cdot \frac{1}{5^{-6}} = 2^4 \cdot 5^6$.
Сравним $2^4 \cdot 5^8$ и $2^4 \cdot 5^6$. Так как $2^4$ является общим положительным множителем, сравним $5^8$ и $5^6$.
Поскольку основание $5 > 1$ и показатель степени $8 > 6$, то $5^8 > 5^6$.
Следовательно, $2^4 \cdot 5^8 > 2^4 \cdot 5^6$.
Ответ: $50^4 > 2^4 : 5^{-6}$.

8) Сравним значения выражений $90^4$ и $3^4 : 10^{-6}$.
Преобразуем первое выражение:
$90^4 = (9 \cdot 10)^4 = (3^2 \cdot 10)^4 = (3^2)^4 \cdot 10^4 = 3^8 \cdot 10^4$.
Преобразуем второе выражение:
$3^4 : 10^{-6} = 3^4 \cdot \frac{1}{10^{-6}} = 3^4 \cdot 10^6$.
Сравним $3^8 \cdot 10^4$ и $3^4 \cdot 10^6$. Разделим оба выражения на общий положительный множитель $3^4 \cdot 10^4$ и сравним результаты:
$\frac{3^8 \cdot 10^4}{3^4 \cdot 10^4} = 3^{8-4} \cdot 10^{4-4} = 3^4 \cdot 10^0 = 81$.
$\frac{3^4 \cdot 10^6}{3^4 \cdot 10^4} = 3^{4-4} \cdot 10^{6-4} = 3^0 \cdot 10^2 = 100$.
Так как $81 < 100$, то $3^8 \cdot 10^4 < 3^4 \cdot 10^6$.
Ответ: $90^4 < 3^4 : 10^{-6}$.