Страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения, разложив их левую часть на множители (26–28):

26. 1) $x^2 - 3x = 0;$

2) $5x + 2x^2 = 0;$

3) $0,7x - 1,4x^2 = 0;$

4) $\frac{1}{7}x + 3\frac{1}{7}x^2 = 0.$

1) $x^2 - 3x = 0$

Для решения данного уравнения необходимо разложить его левую часть на множители. Общим множителем для обоих слагаемых является $x$. Вынесем его за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x = 0$ или $x - 3 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x = 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 3.

2) $5x + 2x^2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, вынеся за скобки общий множитель $x$:

$x(5 + 2x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $5 + 2x = 0$

Решаем второе уравнение:

$2x = -5$

$x = -\frac{5}{2} = -2,5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -2,5; 0.

3) $0,7x - 1,4x^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель. Заметим, что $1,4 = 0,7 \cdot 2$. Таким образом, общим множителем является $0,7x$:

$0,7x(1 - 2x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$0,7x = 0$ или $1 - 2x = 0$

Из первого уравнения следует, что $x = 0$.

Решаем второе уравнение:

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2} = 0,5$

Корни уравнения найдены.

Ответ: 0; 0,5.

4) $\frac{1}{7}x + 3\frac{1}{7}x^2 = 0$

Для удобства преобразуем смешанное число $3\frac{1}{7}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{7}x + \frac{22}{7}x^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{7}x$:

$\frac{1}{7}x(1 + 22x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$\frac{1}{7}x = 0$ или $1 + 22x = 0$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Решаем второе уравнение:

$22x = -1$

$x = -\frac{1}{22}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{1}{22}$; 0.

27. 1) $\frac{1}{4}x^2 - 1 = 0;$

2) $\frac{1}{3}x^2 - 3 = 0;$

3) $0,2 - 1,8x^2 = 0;$

4) $7 - \frac{4}{7}x^2 = 0.$

1) Дано уравнение $\frac{1}{4}x^2 - 1 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:
$\frac{1}{4}x^2 = 1$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы выразить $x^2$:
$x^2 = 4$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2, x_2 = -2$
Ответ: $x = \pm 2$.

2) Дано уравнение $\frac{1}{3}x^2 - 3 = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-3) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$\frac{1}{3}x^2 = 3$
Умножим обе части уравнения на 3:
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3, x_2 = -3$
Ответ: $x = \pm 3$.

3) Дано уравнение $0,2 - 1,8x^2 = 0$.
Перенесем член с $x^2$ в правую часть, чтобы коэффициент при нем стал положительным:
$0,2 = 1,8x^2$
Выразим $x^2$, разделив обе части на 1,8:
$x^2 = \frac{0,2}{1,8}$
Упростим дробь. Для этого умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков:
$x^2 = \frac{2}{18}$
Сократим полученную дробь на 2:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
$x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x = \pm\frac{1}{3}$.

4) Дано уравнение $7 - \frac{4}{7}x^2 = 0$.
Перенесем член с $x^2$ в правую часть уравнения:
$7 = \frac{4}{7}x^2$
Чтобы выразить $x^2$, умножим обе части уравнения на дробь, обратную коэффициенту при $x^2$, то есть на $\frac{7}{4}$:
$x^2 = 7 \cdot \frac{7}{4}$
$x^2 = \frac{49}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{49}{4}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$
$x_1 = \frac{7}{2}, x_2 = -\frac{7}{2}$
Ответ: $x = \pm\frac{7}{2}$.

28. 1) $(2x - 1) \cdot (3x + 5) - (2x - 1) \cdot 5x + 7(2x - 1) = 0;$

2) $(4x - 3) \cdot (3x - 9) - (4x - 3) \cdot 7x + 5(4x - 3) = 0;$

3) $(3 - 7x) \cdot (8x - 5) - (2x - 1) \cdot (3 - 7x) + 7(3 - 7x) - 7x + 3 = 0;$

4) $(1 - x^2) \cdot (8x - 5) - (1 - x^2) \cdot (3 - 7x) - 9(1 - x^2) + x^2 - 1 = 0.$

1) $(2x - 1) \cdot (3x + 5) - (2x - 1) \cdot 5x + 7(2x - 1) = 0$

В данном уравнении мы видим общий множитель $(2x - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(2x - 1) \cdot ((3x + 5) - 5x + 7) = 0$

Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$(2x - 1) \cdot (3x + 5 - 5x + 7) = 0$

$(2x - 1) \cdot (-2x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1. $2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x_1 = \frac{1}{2}$

2. $-2x + 12 = 0$

$12 = 2x$

$x_2 = 6$

Ответ: $x_1 = 0.5; x_2 = 6$

2) $(4x - 3) \cdot (3x - 9) - (4x - 3) \cdot 7x + 5(4x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(4x - 3)$ за скобки:

$(4x - 3) \cdot ((3x - 9) - 7x + 5) = 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(4x - 3) \cdot (3x - 9 - 7x + 5) = 0$

$(4x - 3) \cdot (-4x - 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $4x - 3 = 0$

$4x = 3$

$x_1 = \frac{3}{4}$

2. $-4x - 4 = 0$

$-4x = 4$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = 0.75; x_2 = -1$

3) $(3 - 7x) \cdot (8x - 5) - (2x - 1) \cdot (3 - 7x) + 7(3 - 7x) - 7x + 3 = 0$

Заметим, что $-7x + 3$ это то же самое, что и $(3 - 7x)$. Перепишем уравнение:

$(3 - 7x) \cdot (8x - 5) - (2x - 1) \cdot (3 - 7x) + 7(3 - 7x) + (3 - 7x) = 0$

Вынесем общий множитель $(3 - 7x)$ за скобки:

$(3 - 7x) \cdot ((8x - 5) - (2x - 1) + 7 + 1) = 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(3 - 7x) \cdot (8x - 5 - 2x + 1 + 8) = 0$

$(3 - 7x) \cdot (6x + 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $3 - 7x = 0$

$3 = 7x$

$x_1 = \frac{3}{7}$

2. $6x + 4 = 0$

$6x = -4$

$x_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{3}{7}; x_2 = -\frac{2}{3}$

4) $(1 - x^2) \cdot (8x - 5) - (1 - x^2) \cdot (3 - 7x) - 9(1 - x^2) + x^2 - 1 = 0$

Заметим, что $x^2 - 1 = -(1 - x^2)$. Перепишем уравнение, подставив это выражение:

$(1 - x^2) \cdot (8x - 5) - (1 - x^2) \cdot (3 - 7x) - 9(1 - x^2) - (1 - x^2) = 0$

Вынесем общий множитель $(1 - x^2)$ за скобки:

$(1 - x^2) \cdot ((8x - 5) - (3 - 7x) - 9 - 1) = 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(1 - x^2) \cdot (8x - 5 - 3 + 7x - 10) = 0$

$(1 - x^2) \cdot (15x - 18) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $1 - x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x_{1,2} = \pm 1$

2. $15x - 18 = 0$

$15x = 18$

$x_3 = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$

Ответ: $x_1 = -1; x_2 = 1; x_3 = 1.2$

29. Найдите значение суммы трех чисел, если первое число равно 360, второе число составляет 90% от первого числа, третье — 50% от значения суммы первого и второго чисел.

Для решения задачи последовательно найдем значения второго и третьего чисел, а затем их общую сумму.

1. Найдем второе число.

По условию, первое число равно 360. Второе число составляет 90% от первого. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту.

Второе число = $360 \times \frac{90}{100} = 360 \times 0,9 = 324$.

2. Найдем третье число.

Третье число составляет 50% от суммы первого и второго чисел. Сначала вычислим сумму первого и второго чисел:

Сумма первого и второго = $360 + 324 = 684$.

Теперь найдем 50% от этой суммы. 50% - это половина числа, то есть нужно разделить на 2.

Третье число = $684 \times \frac{50}{100} = 684 \times 0,5 = 342$.

3. Найдем сумму трех чисел.

Сложим значения всех трех чисел: первого (360), второго (324) и третьего (342).

Сумма = $360 + 324 + 342 = 684 + 342 = 1026$.

Ответ: 1026.

30. Найдите число, если значение суммы 60% от этого числа и удвоенного числа равно 91.

Пусть искомое число равно $x$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти такое число $x$, для которого сумма 60% от него и его удвоенного значения равна 91.

1. Найдем 60% от числа $x$. Для этого представим проценты в виде десятичной дроби: $60\% = \frac{60}{100} = 0.6$. Таким образом, 60% от $x$ это $0.6x$.

2. Найдем удвоенное число $x$. Это $2 \times x$ или $2x$.

3. Составим уравнение, исходя из того, что сумма этих двух величин равна 91:

$0.6x + 2x = 91$

4. Решим полученное уравнение:

Сначала сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$2.6x = 91$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2.6:

$x = \frac{91}{2.6}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{91 \times 10}{2.6 \times 10} = \frac{910}{26}$

Выполним деление:

$x = 35$

Проверка:
60% от 35 это $0.6 \times 35 = 21$.
Удвоенное число 35 это $2 \times 35 = 70$.
Сумма: $21 + 70 = 91$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 35.

31. Собственная скорость моторной лодки равна 10 км/ч, скорость течения реки составляет 20% от собственной скорости моторной лодки. Во сколько раз скорость моторной лодки по течению больше скорости против течения? Сколько процентов составляет скорость моторной лодки против течения от скорости моторной лодки по течению?

Для решения задачи сначала определим все необходимые значения скоростей.
Собственная скорость моторной лодки дана в условии: $V_{собств} = 10$ км/ч.
Скорость течения реки составляет 20% от собственной скорости лодки. Вычислим ее:
$V_{теч} = 0,20 \times V_{собств} = 0,20 \times 10 = 2$ км/ч.
Теперь найдем скорость лодки по течению и против течения.
Скорость лодки по течению (когда течение помогает) равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$V_{по\;теч} = V_{собств} + V_{теч} = 10 + 2 = 12$ км/ч.
Скорость лодки против течения (когда течение мешает) равна разности собственной скорости и скорости течения:
$V_{против\;теч} = V_{собств} - V_{теч} = 10 - 2 = 8$ км/ч.
Теперь можно ответить на вопросы задачи.

Во сколько раз скорость моторной лодки по течению больше скорости против течения?
Чтобы найти это соотношение, необходимо разделить скорость по течению на скорость против течения:
$ \frac{V_{по\;теч}}{V_{против\;теч}} = \frac{12}{8} = 1,5 $
Ответ: в 1,5 раза.

Сколько процентов составляет скорость моторной лодки против течения от скорости моторной лодки по течению?
Чтобы найти, сколько процентов составляет одна величина от другой, нужно первую величину (скорость против течения) разделить на вторую (скорость по течению) и результат умножить на 100%. Скорость по течению в данном случае принимается за 100%.
$ \frac{V_{против\;теч}}{V_{по\;теч}} \times 100\% = \frac{8}{12} \times 100\% = \frac{2}{3} \times 100\% = \frac{200}{3}\% \approx 66,7\% $
Ответ: Скорость против течения составляет $ \frac{200}{3}\% $ (или приблизительно 66,7%) от скорости по течению.

Решите систему уравнений (32–34):

32. 1)

$\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 7x - 0,4y = -5 \\ 4x - 0,4y = 10 \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 5x - 0,6y = 8 \\ 2x - 0,3y = 16 \end{cases}$

4)

$\begin{cases} -5x + 7y = 15 \\ 3x - 4y = 13 \end{cases}$

5)

$\begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}y = -6 \\ -4x - \frac{2}{3}y = 26 \end{cases}$

6)

$\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = -2\frac{5}{21} \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 5\frac{3}{7} \end{cases}$

7)

$\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = \frac{1}{5} \\ \frac{2 - x}{3} - \frac{5 - y}{7} = 8\frac{3}{21} \end{cases}$

8)

$\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2y + 7}{7} = -\frac{20}{21} \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 3\frac{1}{7} \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 3x - 2y = 7, \\ 2x + 2y = 8. \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$. Коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$), поэтому при сложении они дадут ноль.

$(3x - 2y) + (2x + 2y) = 7 + 8$

$5x = 15$

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$2(3) + 2y = 8$

$6 + 2y = 8$

$2y = 8 - 6$

$2y = 2$

$y = 1$

Ответ: $(3; 1)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 7x - 0,4y = -5, \\ 4x - 0,4y = 10. \end{cases}$

Используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого.

$(7x - 0,4y) - (4x - 0,4y) = -5 - 10$

$7x - 4x - 0,4y + 0,4y = -15$

$3x = -15$

$x = -5$

Подставим значение $x = -5$ во второе уравнение системы:

$4(-5) - 0,4y = 10$

$-20 - 0,4y = 10$

$-0,4y = 10 + 20$

$-0,4y = 30$

$y = \frac{30}{-0,4} = -\frac{300}{4} = -75$

Ответ: $(-5; -75)$.

3)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 5x - 0,6y = 8, \\ 2x - 0,3y = 16. \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали равными.

$2 \cdot (2x - 0,3y) = 2 \cdot 16$

$4x - 0,6y = 32$

Теперь система имеет вид: $\begin{cases} 5x - 0,6y = 8, \\ 4x - 0,6y = 32. \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(5x - 0,6y) - (4x - 0,6y) = 8 - 32$

$x = -24$

Подставим $x = -24$ в исходное второе уравнение:

$2(-24) - 0,3y = 16$

$-48 - 0,3y = 16$

$-0,3y = 16 + 48$

$-0,3y = 64$

$y = \frac{64}{-0,3} = -\frac{640}{3}$

Ответ: $(-24; -\frac{640}{3})$.

4)

Дана система уравнений: $\begin{cases} -5x + 7y = 15, \\ 3x - 4y = 13. \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $5$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.

$3(-5x + 7y) = 3 \cdot 15 \implies -15x + 21y = 45$

$5(3x - 4y) = 5 \cdot 13 \implies 15x - 20y = 65$

Сложим полученные уравнения:

$(-15x + 21y) + (15x - 20y) = 45 + 65$

$y = 110$

Подставим $y = 110$ во второе исходное уравнение:

$3x - 4(110) = 13$

$3x - 440 = 13$

$3x = 440 + 13$

$3x = 453$

$x = \frac{453}{3} = 151$

Ответ: $(151; 110)$.

5)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}y = -6, \\ -4x - \frac{2}{3}y = 26. \end{cases}$

Для избавления от дробей, умножим первое уравнение на $9$, а второе на $3$.

$9(\frac{2}{3}x - \frac{4}{9}y) = 9(-6) \implies 6x - 4y = -54$

$3(-4x - \frac{2}{3}y) = 3(26) \implies -12x - 2y = 78$

Получили систему: $\begin{cases} 6x - 4y = -54, \\ -12x - 2y = 78. \end{cases}$

Упростим ее, разделив первое уравнение на $2$, а второе на $-2$.

$3x - 2y = -27$

$6x + y = -39$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = -39 - 6x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(-39 - 6x) = -27$

$3x + 78 + 12x = -27$

$15x = -27 - 78$

$15x = -105$

$x = -7$

Теперь найдем $y$: $y = -39 - 6(-7) = -39 + 42 = 3$.

Ответ: $(-7; 3)$.

6)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = -2\frac{5}{21}, \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 5\frac{3}{7}. \end{cases}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-2\frac{5}{21} = -\frac{2 \cdot 21 + 5}{21} = -\frac{47}{21}$; $5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{38}{7}$.

Система: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2y}{7} = -\frac{47}{21}, \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = \frac{38}{7}. \end{cases}$

Умножим первое уравнение на $21$, а второе на $7$.

$7(2x - 1) - 3(2y) = -47 \implies 14x - 7 - 6y = -47 \implies 14x - 6y = -40 \implies 7x - 3y = -20$.

$7(4x) - (8 - 2y) = 38 \implies 28x - 8 + 2y = 38 \implies 28x + 2y = 46 \implies 14x + y = 23$.

Получили систему: $\begin{cases} 7x - 3y = -20, \\ 14x + y = 23. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 23 - 14x$.

Подставим в первое уравнение: $7x - 3(23 - 14x) = -20 \implies 7x - 69 + 42x = -20 \implies 49x = 49 \implies x = 1$.

Найдем $y$: $y = 23 - 14(1) = 9$.

Ответ: $(1; 9)$.

7)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2}{7}y = \frac{1}{5}, \\ \frac{2 - x}{3} - \frac{5 - y}{7} = 8\frac{3}{21}. \end{cases}$

Упростим смешанное число: $8\frac{3}{21} = 8\frac{1}{7} = \frac{57}{7}$.

Умножим первое уравнение на общий знаменатель $3 \cdot 7 \cdot 5 = 105$, а второе на $3 \cdot 7 = 21$.

Первое уравнение: $35(2x - 1) - 15(2y) = 21 \implies 70x - 35 - 30y = 21 \implies 70x - 30y = 56 \implies 35x - 15y = 28$.

Второе уравнение: $7(2 - x) - 3(5 - y) = 3 \cdot 57 \implies 14 - 7x - 15 + 3y = 171 \implies -7x + 3y = 172$.

Получили систему: $\begin{cases} 35x - 15y = 28, \\ -7x + 3y = 172. \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $5$: $5(-7x + 3y) = 5(172) \implies -35x + 15y = 860$.

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(35x - 15y) + (-35x + 15y) = 28 + 860$

$0 = 888$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что система несовместна и не имеет решений.

Ответ: нет решений.

8)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \frac{2x - 1}{3} - \frac{2y + 7}{7} = -\frac{20}{21}, \\ 4x - \frac{8 - 2y}{7} = 3\frac{1}{7}. \end{cases}$

Преобразуем смешанное число: $3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$.

Умножим первое уравнение на $21$, а второе на $7$.

Первое уравнение: $7(2x - 1) - 3(2y + 7) = -20 \implies 14x - 7 - 6y - 21 = -20 \implies 14x - 6y = 8 \implies 7x - 3y = 4$.

Второе уравнение: $7(4x) - (8 - 2y) = 22 \implies 28x - 8 + 2y = 22 \implies 28x + 2y = 30 \implies 14x + y = 15$.

Получили систему: $\begin{cases} 7x - 3y = 4, \\ 14x + y = 15. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 15 - 14x$.

Подставим в первое уравнение: $7x - 3(15 - 14x) = 4 \implies 7x - 45 + 42x = 4 \implies 49x = 49 \implies x = 1$.

Найдем $y$: $y = 15 - 14(1) = 1$.

Ответ: $(1; 1)$.