Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. 1) $\frac{(2^4)^3 \cdot 6^7 \cdot 3^2}{18^4 \cdot 2^9}$;

2) $\frac{2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2}{10^7 \cdot 3^6}$;

3) $\frac{(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{81^2 \cdot 10^5}$;

4) $\frac{(6^3)^3 \cdot 9^2 \cdot (5^2)^2}{1000 \cdot 18^7}$.

1) Найдем значение выражения $\frac{(2^4)^3 \cdot 6^7 \cdot 3^2}{18^4 \cdot 2^9}$.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель, разложив составные числа на простые множители и используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.

Числитель: $(2^4)^3 \cdot 6^7 \cdot 3^2 = 2^{4 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 3)^7 \cdot 3^2 = 2^{12} \cdot 2^7 \cdot 3^7 \cdot 3^2$.

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $2^{12+7} \cdot 3^{7+2} = 2^{19} \cdot 3^9$.

Знаменатель: $18^4 \cdot 2^9 = (2 \cdot 3^2)^4 \cdot 2^9 = 2^4 \cdot (3^2)^4 \cdot 2^9 = 2^4 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot 2^9 = 2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^9$.

Сгруппируем степени: $2^{4+9} \cdot 3^8 = 2^{13} \cdot 3^8$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{19} \cdot 3^9}{2^{13} \cdot 3^8} = 2^{19-13} \cdot 3^{9-8} = 2^6 \cdot 3^1 = 64 \cdot 3 = 192$.

Ответ: 192

2) Найдем значение выражения $\frac{2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2}{10^7 \cdot 3^6}$.

Разложим числа на простые множители и применим свойства степеней.

Числитель: $2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2 = 2 \cdot 5^{3 \cdot 3} \cdot (3^2)^4 \cdot (2^2)^2 = 2^1 \cdot 5^9 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot 2^{2 \cdot 2} = 2^1 \cdot 5^9 \cdot 3^8 \cdot 2^4$.

Сгруппируем степени: $2^{1+4} \cdot 3^8 \cdot 5^9 = 2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^9$.

Знаменатель: $10^7 \cdot 3^6 = (2 \cdot 5)^7 \cdot 3^6 = 2^7 \cdot 5^7 \cdot 3^6$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^9}{2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^7} = 2^{5-7} \cdot 3^{8-6} \cdot 5^{9-7} = 2^{-2} \cdot 3^2 \cdot 5^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 \cdot 25 = \frac{1}{4} \cdot 225 = \frac{225}{4} = 56,25$.

Ответ: 56,25

3) Найдем значение выражения $\frac{(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{81^2 \cdot 10^5}$.

Разложим числа на простые множители и применим свойства степеней.

Числитель: $(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2 = 3^{3 \cdot 3} \cdot 5^7 \cdot 2^2 = 3^9 \cdot 5^7 \cdot 2^2$.

Знаменатель: $81^2 \cdot 10^5 = (3^4)^2 \cdot (2 \cdot 5)^5 = 3^{4 \cdot 2} \cdot 2^5 \cdot 5^5 = 3^8 \cdot 2^5 \cdot 5^5$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{3^8 \cdot 2^5 \cdot 5^5} = 3^{9-8} \cdot 2^{2-5} \cdot 5^{7-5} = 3^1 \cdot 2^{-3} \cdot 5^2 = 3 \cdot \frac{1}{2^3} \cdot 25 = 3 \cdot \frac{1}{8} \cdot 25 = \frac{75}{8} = 9,375$.

Ответ: 9,375

4) Найдем значение выражения $\frac{(6^3)^3 \cdot 9^2 \cdot (5^2)^2}{1000 \cdot 18^7}$.

Разложим числа на простые множители и применим свойства степеней.

Числитель: $(6^3)^3 \cdot 9^2 \cdot (5^2)^2 = 6^{3 \cdot 3} \cdot (3^2)^2 \cdot 5^{2 \cdot 2} = (2 \cdot 3)^9 \cdot 3^4 \cdot 5^4 = 2^9 \cdot 3^9 \cdot 3^4 \cdot 5^4$.

Сгруппируем степени: $2^9 \cdot 3^{9+4} \cdot 5^4 = 2^9 \cdot 3^{13} \cdot 5^4$.

Знаменатель: $1000 \cdot 18^7 = 10^3 \cdot (2 \cdot 3^2)^7 = (2 \cdot 5)^3 \cdot 2^7 \cdot (3^2)^7 = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^7 \cdot 3^{14}$.

Сгруппируем степени: $2^{3+7} \cdot 3^{14} \cdot 5^3 = 2^{10} \cdot 3^{14} \cdot 5^3$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2^9 \cdot 3^{13} \cdot 5^4}{2^{10} \cdot 3^{14} \cdot 5^3} = 2^{9-10} \cdot 3^{13-14} \cdot 5^{4-3} = 2^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$