Номер 8, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. a) Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби и найдите ее период:

1) $\frac{4}{9}$; 2) $2\frac{2}{11}$; 3) $3\frac{1}{3}$; 4) $1\frac{4}{15}$; 5) $2\frac{3}{7}$; 6) $3\frac{6}{17}$;

б) Переведите бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

1) $3, (13)$; 2) $1, (36)$; 3) $2,2(3)$; 4) $10,0(21)$; 5) $0,2(13)$; 6) $2,20(31)$.

Упростите выражения (9–11):

а) 1) Чтобы перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель. Для дроби $\frac{4}{9}$ выполним деление: $4 \div 9 = 0,444...$. В записи этой дроби бесконечно повторяется цифра 4. Это и есть период. Получаем десятичную дробь $0,(4)$. Ответ: $0,(4)$, период 4.

а) 2) Для смешанной дроби $2\frac{2}{11}$ целая часть равна 2. Работаем с дробной частью $\frac{2}{11}$. Выполним деление: $2 \div 11 = 0,1818...$. Периодически повторяется группа цифр 18. Таким образом, $\frac{2}{11} = 0,(18)$. Соединяем целую и дробную части: $2 + 0,(18) = 2,(18)$. Ответ: $2,(18)$, период 18.

а) 3) Для смешанной дроби $3\frac{1}{3}$ целая часть равна 3. Переведем дробную часть $\frac{1}{3}$ в десятичную: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Соединяем целую и дробную части: $3 + 0,(3) = 3,(3)$. Ответ: $3,(3)$, период 3.

а) 4) Для смешанной дроби $1\frac{4}{15}$ целая часть равна 1. Переведем дробную часть $\frac{4}{15}$: $4 \div 15 = 0,2666... = 0,2(6)$. Здесь цифра 2 после запятой не повторяется, а цифра 6 повторяется бесконечно. Соединяем целую и дробную части: $1 + 0,2(6) = 1,2(6)$. Ответ: $1,2(6)$, период 6.

а) 5) Для смешанной дроби $2\frac{3}{7}$ целая часть равна 2. Переведем дробную часть $\frac{3}{7}$: $3 \div 7 = 0,428571428571... = 0,(428571)$. Соединяем целую и дробную части: $2 + 0,(428571) = 2,(428571)$. Ответ: $2,(428571)$, период 428571.

а) 6) Для смешанной дроби $3\frac{6}{17}$ целая часть равна 3. Переведем дробную часть $\frac{6}{17}$: $6 \div 17 = 0,3529411764705882...$. Остаток от деления снова стал равен 6, значит, последовательность цифр начнет повторяться. Таким образом, $\frac{6}{17} = 0,(3529411764705882)$. Соединяем целую и дробную части: $3 + 0,(3529411764705882) = 3,(3529411764705882)$. Ответ: $3,(3529411764705882)$, период 3529411764705882.

б) 1) Пусть $x = 3,(13) = 3,1313...$. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$: $100x = 313,1313...$. Теперь вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 313,1313... - 3,1313...$. Получим $99x = 310$. Отсюда $x = \frac{310}{99}$. Выделим целую часть: $310 \div 99 = 3$ (остаток 13). Значит, $x = 3\frac{13}{99}$. Ответ: $3\frac{13}{99}$.

б) 2) Пусть $x = 1,(36) = 1,3636...$. Умножим на 100, так как в периоде две цифры: $100x = 136,3636...$. Вычтем исходное уравнение: $100x - x = 136,3636... - 1,3636...$. Получим $99x = 135$. Отсюда $x = \frac{135}{99}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9: $x = \frac{15}{11}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 1\frac{4}{11}$. Ответ: $1\frac{4}{11}$.

б) 3) Пусть $x = 2,2(3) = 2,2333...$. Это смешанная периодическая дробь. Умножим на 10, чтобы часть до периода стала целой: $10x = 22,333...$. Теперь умножим на 100 (так как нужно сдвинуть запятую еще на одну цифру, чтобы "захватить" период): $100x = 223,333...$. Вычтем из второго полученного уравнения первое: $100x - 10x = 223,333... - 22,333...$. Получим $90x = 201$. Отсюда $x = \frac{201}{90}$. Сократим дробь на 3: $x = \frac{67}{30}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 2\frac{7}{30}$. Ответ: $2\frac{7}{30}$.

б) 4) Пусть $x = 10,0(21) = 10,02121...$. Умножим на 10: $10x = 100,2121...$. Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100: $100 \times 10x = 1000x = 10021,2121...$. Вычтем: $1000x - 10x = 10021,2121... - 100,2121...$. Получим $990x = 9921$. Отсюда $x = \frac{9921}{990}$. Сократим дробь на 3: $x = \frac{3307}{330}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 10\frac{7}{330}$. Ответ: $10\frac{7}{330}$.

б) 5) Пусть $x = 0,2(13) = 0,21313...$. Умножим на 10: $10x = 2,1313...$. Умножим еще на 100: $1000x = 213,1313...$. Вычтем: $1000x - 10x = 213,1313... - 2,1313...$. Получим $990x = 211$. Отсюда $x = \frac{211}{990}$. Число 211 - простое, поэтому дробь несократимая. Ответ: $\frac{211}{990}$.

б) 6) Пусть $x = 2,20(31) = 2,203131...$. Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (20) оказалась до запятой: $100x = 220,3131...$. Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100: $10000x = 22031,3131...$. Вычтем: $10000x - 100x = 22031,3131... - 220,3131...$. Получим $9900x = 21811$. Отсюда $x = \frac{21811}{9900}$. Переведем в смешанную дробь: $x = 2\frac{2011}{9900}$. Ответ: $2\frac{2011}{9900}$.