Номер 2, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.

1) $\frac{3^2 \cdot 4^3 \cdot 12^2}{9^2 \cdot 6^3}$;

2) $\frac{5^2 \cdot 6^4 \cdot 12^2}{15^2 \cdot 9^3}$;

3) $\frac{12^2 \cdot 4^3 \cdot 6^2}{8^2 \cdot 18^3}$;

4) $\frac{(3^3)^3 \cdot 9^7 \cdot 2^2}{81^5 \cdot 2^3}$.

1) $\frac{3^2 \cdot 4^3 \cdot 12^2}{9^2 \cdot 6^3}$

Для упрощения дроби представим основания степеней в виде произведения простых множителей: $4 = 2^2$, $12 = 3 \cdot 2^2$, $9 = 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$. Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{3^2 \cdot (2^2)^3 \cdot (3 \cdot 2^2)^2}{(3^2)^2 \cdot (2 \cdot 3)^3}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, преобразуем выражение:

$\frac{3^2 \cdot 2^6 \cdot 3^2 \cdot 2^4}{3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \frac{3^{2+2} \cdot 2^{6+4}}{3^{4+3} \cdot 2^3} = \frac{3^4 \cdot 2^{10}}{3^7 \cdot 2^3}$

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и вычислим результат:

$3^{4-7} \cdot 2^{10-3} = 3^{-3} \cdot 2^7 = \frac{2^7}{3^3} = \frac{128}{27}$

Ответ: $\frac{128}{27}$

2) $\frac{5^2 \cdot 6^4 \cdot 12^2}{15^2 \cdot 9^3}$

Разложим основания степеней на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$, $9 = 3^2$. Подставим разложения в выражение:

$\frac{5^2 \cdot (2 \cdot 3)^4 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}{(3 \cdot 5)^2 \cdot (3^2)^3}$

Применим свойства степеней для упрощения:

$\frac{5^2 \cdot 2^4 \cdot 3^4 \cdot 2^4 \cdot 3^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 3^6} = \frac{5^2 \cdot 2^{4+4} \cdot 3^{4+2}}{5^2 \cdot 3^{2+6}} = \frac{5^2 \cdot 2^8 \cdot 3^6}{5^2 \cdot 3^8}$

Сократим дробь, используя правило деления степеней:

$5^{2-2} \cdot 2^8 \cdot 3^{6-8} = 5^0 \cdot 2^8 \cdot 3^{-2} = 1 \cdot 2^8 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{2^8}{3^2} = \frac{256}{9}$

Ответ: $\frac{256}{9}$

3) $\frac{12^2 \cdot 4^3 \cdot 6^2}{8^2 \cdot 18^3}$

Разложим основания на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. Подставим в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (2^2)^3 \cdot (2 \cdot 3)^2}{(2^3)^2 \cdot (2 \cdot 3^2)^3}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^6 \cdot 2^2 \cdot 3^2}{2^6 \cdot 2^3 \cdot 3^6} = \frac{2^{4+6+2} \cdot 3^{2+2}}{2^{6+3} \cdot 3^6} = \frac{2^{12} \cdot 3^4}{2^9 \cdot 3^6}$

Выполним деление степеней и вычислим значение:

$2^{12-9} \cdot 3^{4-6} = 2^3 \cdot 3^{-2} = \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

4) $\frac{(3^3)^3 \cdot 9^7 \cdot 2^2}{81^5 \cdot 2^3}$

Представим основания степеней через простые множители, в данном случае через основание 3: $9 = 3^2$, $81 = 3^4$.

Подставим эти значения и применим свойство возведения степени в степень:

$\frac{(3^3)^3 \cdot (3^2)^7 \cdot 2^2}{(3^4)^5 \cdot 2^3} = \frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 7} \cdot 2^2}{3^{4 \cdot 5} \cdot 2^3} = \frac{3^9 \cdot 3^{14} \cdot 2^2}{3^{20} \cdot 2^3}$

Сложим показатели степеней в числителе:

$\frac{3^{9+14} \cdot 2^2}{3^{20} \cdot 2^3} = \frac{3^{23} \cdot 2^2}{3^{20} \cdot 2^3}$

Разделим степени с одинаковыми основаниями и вычислим ответ:

$3^{23-20} \cdot 2^{2-3} = 3^3 \cdot 2^{-1} = \frac{3^3}{2} = \frac{27}{2}$

Ответ: $\frac{27}{2}$