Страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как можно записать любое рациональное число?

2. Какая десятичная бесконечная дробь является рациональным числом, какая — иррациональным?

3. Верно ли, что:

— всякое рациональное число является действительным числом;

— всякое иррациональное число является действительным числом;

— всякое действительное число является рациональным числом;

— всякое действительное число является иррациональным число?

1. Как можно записать любое рациональное число?

Любое рациональное число по определению можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{p}{q} $, где числитель $p$ — это целое число (положительное, отрицательное или ноль), а знаменатель $q$ — это натуральное число (целое положительное число). Например, целое число 5 можно записать как $ \frac{5}{1} $, отрицательное число -3 как $ \frac{-3}{1} $, а десятичную дробь 0,25 как $ \frac{1}{4} $. Ответ: любое рациональное число можно записать в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число.

2. Какая десятичная бесконечная дробь является рациональным числом, какая — иррациональным?

Бесконечная десятичная дробь является рациональным числом, если она периодическая. Это означает, что в её десятичной записи, начиная с некоторого момента, бесконечно повторяется определённая группа цифр, называемая периодом. Например, $ \frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6) $. Бесконечная десятичная дробь является иррациональным числом, если она непериодическая. В такой дроби нет повторяющейся группы цифр. Примерами служат числа $ \pi \approx 3,14159265... $ и $ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $. Ответ: рациональным числом является бесконечная периодическая десятичная дробь, а иррациональным — бесконечная непериодическая десятичная дробь.

3. Верно ли, что:

— всякое рациональное число является действительным числом;

Это утверждение верно. Множество действительных чисел (обозначается как $ \mathbb{R} $) является объединением множества рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $) и множества иррациональных чисел ($ \mathbb{I} $). Таким образом, любое рациональное число по определению входит в состав действительных чисел. Ответ: верно.

— всякое иррациональное число является действительным числом;

Это утверждение верно. Так же как и рациональные числа, все иррациональные числа являются подмножеством множества действительных чисел. Ответ: верно.

— всякое действительное число является рациональным числом;

Это утверждение неверно. Множество действительных чисел шире, чем множество рациональных, так как оно также включает в себя иррациональные числа. Например, число $ \sqrt{3} $ является действительным, но не является рациональным. Ответ: неверно.

— всякое действительное число является иррациональным числом?

Это утверждение неверно. Множество действительных чисел также включает в себя и рациональные числа. Например, число 10 или дробь $ \frac{3}{4} $ являются действительными, но не являются иррациональными (они рациональные). Ответ: неверно.