Номер 58, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

58. Найдите x из пропорции:

1) $\frac{x}{a + c} = \frac{c}{c^2 - a^2}$;

2) $\frac{x}{2n + c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2}$;

3) $\frac{x}{a - 3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2}$;

4) $\frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c + 2a}$;

5) $\frac{a \cdot x}{2a - 3c} = \frac{3ac}{9c^2 - 4a^2}$;

6) $\frac{2a \cdot x}{3b - a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2}$.

1) Исходная пропорция:$ \frac{x}{a + c} = \frac{c}{c^2 - a^2} $
Чтобы найти $x$, выразим его из пропорции, умножив правую часть на знаменатель левой части:$ x = \frac{c \cdot (a + c)}{c^2 - a^2} $
Знаменатель $c^2 - a^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$:$ c^2 - a^2 = (c - a)(c + a) $
Подставим разложенный знаменатель обратно в выражение для $x$:$ x = \frac{c \cdot (a + c)}{(c - a)(c + a)} $
Сократим общий множитель $(a + c)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a + c \neq 0$):$ x = \frac{c}{c - a} $
Ответ: $x = \frac{c}{c - a}$.

2) Исходная пропорция:$ \frac{x}{2n + c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2} $
Выразим $x$:$ x = \frac{4c \cdot (2n + c)}{c^2 - 4n^2} $
Разложим знаменатель $c^2 - 4n^2$ на множители как разность квадратов $c^2 - (2n)^2$:$ c^2 - 4n^2 = (c - 2n)(c + 2n) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$:$ x = \frac{4c \cdot (2n + c)}{(c - 2n)(c + 2n)} $
Так как $2n + c = c + 2n$, сократим этот общий множитель (при условии, что $c + 2n \neq 0$):$ x = \frac{4c}{c - 2n} $
Ответ: $x = \frac{4c}{c - 2n}$.

3) Исходная пропорция:$ \frac{x}{a - 3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2} $
Выразим $x$:$ x = \frac{2c \cdot (a - 3c)}{9c^2 - a^2} $
Разложим знаменатель $9c^2 - a^2$ на множители как разность квадратов $(3c)^2 - a^2$:$ 9c^2 - a^2 = (3c - a)(3c + a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$:$ x = \frac{2c \cdot (a - 3c)}{(3c - a)(3c + a)} $
Заметим, что множитель в числителе $(a - 3c)$ и множитель в знаменателе $(3c - a)$ отличаются знаком: $a - 3c = -(3c - a)$. Вынесем минус за скобки в числителе:$ x = \frac{2c \cdot (-(3c - a))}{(3c - a)(3c + a)} = \frac{-2c \cdot (3c - a)}{(3c - a)(3c + a)} $
Сократим общий множитель $(3c - a)$ (при условии, что $3c - a \neq 0$):$ x = \frac{-2c}{3c + a} $
Ответ: $x = \frac{-2c}{a + 3c}$.

4) Исходная пропорция:$ \frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c + 2a} $
Выразим $x$ из пропорции:$ x = \frac{6c \cdot (5c + 2a)}{25c^2 - 4a^2} $
Разложим знаменатель $25c^2 - 4a^2$ на множители как разность квадратов $(5c)^2 - (2a)^2$:$ 25c^2 - 4a^2 = (5c - 2a)(5c + 2a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$:$ x = \frac{6c \cdot (5c + 2a)}{(5c - 2a)(5c + 2a)} $
Сократим общий множитель $(5c + 2a)$ (при условии, что $5c + 2a \neq 0$):$ x = \frac{6c}{5c - 2a} $
Ответ: $x = \frac{6c}{5c - 2a}$.

5) Исходная пропорция:$ \frac{a \cdot x}{2a - 3c} = \frac{3ac}{9c^2 - 4a^2} $
Выразим произведение $a \cdot x$:$ a \cdot x = \frac{3ac \cdot (2a - 3c)}{9c^2 - 4a^2} $
Разложим знаменатель $9c^2 - 4a^2$ на множители как разность квадратов $(3c)^2 - (2a)^2$:$ 9c^2 - 4a^2 = (3c - 2a)(3c + 2a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение:$ a \cdot x = \frac{3ac \cdot (2a - 3c)}{(3c - 2a)(3c + 2a)} $
Заметим, что $2a - 3c = -(3c - 2a)$. Вынесем минус за скобки:$ a \cdot x = \frac{3ac \cdot (-(3c - 2a))}{(3c - 2a)(3c + 2a)} = \frac{-3ac \cdot (3c - 2a)}{(3c - 2a)(3c + 2a)} $
Сократим общий множитель $(3c - 2a)$:$ a \cdot x = \frac{-3ac}{3c + 2a} $
Теперь найдем $x$, разделив обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):$ x = \frac{-3ac}{a(3c + 2a)} $
Сократим $a$:$ x = \frac{-3c}{3c + 2a} $
Ответ: $x = \frac{-3c}{2a + 3c}$.

6) Исходная пропорция:$ \frac{2a \cdot x}{3b - a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2} $
Выразим произведение $2a \cdot x$:$ 2a \cdot x = \frac{6ab \cdot (3b - a)}{9b^2 - a^2} $
Разложим знаменатель $9b^2 - a^2$ на множители как разность квадратов $(3b)^2 - a^2$:$ 9b^2 - a^2 = (3b - a)(3b + a) $
Подставим разложенный знаменатель в выражение:$ 2a \cdot x = \frac{6ab \cdot (3b - a)}{(3b - a)(3b + a)} $
Сократим общий множитель $(3b - a)$:$ 2a \cdot x = \frac{6ab}{3b + a} $
Теперь найдем $x$, разделив обе части на $2a$ (при условии, что $a \neq 0$):$ x = \frac{6ab}{2a(3b + a)} $
Сократим общий множитель $2a$ в числителе и знаменателе:$ x = \frac{3b}{3b + a} $
Ответ: $x = \frac{3b}{a + 3b}$.