Номер 55, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

55. Выполните действия над дробями:

1) $\frac{27c^4}{5d} : (-18c^3d^2)$;

2) $\frac{14a^2}{9x^3} : \frac{7a}{4x^2}$;

3) $\frac{7x^2}{10a^3} : \frac{343x^8}{15a^5}$;

4) $27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3}$.

1) $\frac{27c^4}{5d} : (-18c^3d^2)$

Чтобы разделить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби со знаменателем 1: $-18c^3d^2 = \frac{-18c^3d^2}{1}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь (перевернутую):

$\frac{27c^4}{5d} : \frac{-18c^3d^2}{1} = \frac{27c^4}{5d} \cdot \frac{1}{-18c^3d^2}$

Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{27c^4 \cdot 1}{5d \cdot (-18c^3d^2)} = \frac{27c^4}{-90c^3d^3}$

Сократим полученную дробь. Вынесем знак минус перед дробью. Сократим числовые коэффициенты 27 и 90 на их наибольший общий делитель, равный 9 ($27:9=3$, $90:9=10$). Сократим степени с одинаковым основанием, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$-\frac{27c^4}{90c^3d^3} = -\frac{9 \cdot 3 \cdot c^{4-3}}{9 \cdot 10 \cdot d^3} = -\frac{3c}{10d^3}$

Ответ: $-\frac{3c}{10d^3}$

2) $\frac{14a^2}{9x^3} : \frac{7a}{4x^2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{14a^2}{9x^3} \cdot \frac{4x^2}{7a} = \frac{14a^2 \cdot 4x^2}{9x^3 \cdot 7a}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе до перемножения, чтобы упростить вычисления. Сократим 14 и 7 на 7. Сократим $a^2$ и $a$ на $a$. Сократим $x^3$ и $x^2$ на $x^2$.

$\frac{14a^2}{9x^3} \cdot \frac{4x^2}{7a} = \frac{(2 \cdot 7)a^2 \cdot 4x^2}{9x^3 \cdot 7a} = \frac{2a \cdot 4}{9x} = \frac{8a}{9x}$

Ответ: $\frac{8a}{9x}$

3) $\frac{7x^2}{10a^3} : \frac{343x^8}{15a^5}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{7x^2}{10a^3} \cdot \frac{15a^5}{343x^8} = \frac{7x^2 \cdot 15a^5}{10a^3 \cdot 343x^8}$

Сократим общие множители. Заметим, что $343 = 7^3 = 7 \cdot 49$.

Числовые коэффициенты: $\frac{7}{343} = \frac{1}{49}$ и $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Переменные: $\frac{x^2}{x^8} = \frac{1}{x^{8-2}} = \frac{1}{x^6}$ и $\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2$.

Перемножим оставшиеся части:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{49x^6} = \frac{3a^2}{98x^6}$

Ответ: $\frac{3a^2}{98x^6}$

4) $27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3}$

Выполним действия по порядку, слева направо. Сначала умножение:

$27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{a^2}{b^2} = \frac{27a^{3+2}}{b^2} = \frac{27a^5}{b^2}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{27a^5}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3} = \frac{27a^5}{b^2} \cdot \frac{7b^3}{18a^5}$

Сократим общие множители:

Числовые коэффициенты: $\frac{27}{18} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{3}{2}$.

Переменные: $\frac{a^5}{a^5} = 1$ и $\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b$.

Перемножим оставшиеся множители:

$\frac{3}{1} \cdot \frac{7b}{2} = \frac{21b}{2}$

Ответ: $\frac{21b}{2}$