Номер 49, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения графиков.

1) $f(x) = x^3$ и $f(x) = x$;

2) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x$;

3) $f(x) = x^2$ и $f(x) = x + 2$.

1) $f(x) = x^3$ и $f(x) = x$

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = x$, необходимо приравнять их правые части:

$x^3 = x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три значения $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив полученные $x$ в любую из исходных функций (например, в $y = x$):

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.

При $x_3 = -1$, $y_3 = -1$. Точка пересечения: $(-1, -1)$.

Построим графики функций. График $y=x$ — это прямая, проходящая через начало координат. График $y=x^3$ — это кубическая парабола.

Ответ: $(-1, -1), (0, 0), (1, 1)$.

2) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x$

Чтобы найти точки пересечения, приравняем функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = x$:

$\frac{1}{x} = x$

Умножим обе части на $x$, учитывая, что $x \neq 0$ (согласно области определения функции $y = \frac{1}{x}$):

$1 = x^2$

$x^2 - 1 = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в $y = x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -1$. Точка пересечения: $(-1, -1)$.

Построим графики функций. График $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. График $y=x$ — прямая.

Ответ: $(-1, -1), (1, 1)$.

3) $f(x) = x^2$ и $f(x) = x + 2$

Приравняем правые части функций $y = x^2$ и $y = x + 2$:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это уравнение можно решить через дискриминант или разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Тогда уравнение можно разложить на множители:

$(x - 2)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = x + 2$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 + 2 = 4$. Точка пересечения: $(2, 4)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -1 + 2 = 1$. Точка пересечения: $(-1, 1)$.

Построим графики функций. График $y=x^2$ — парабола с вершиной в начале координат. График $y=x+2$ — прямая.

Ответ: $(-1, 1), (2, 4)$.