Номер 46, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46. 1)

$$\begin{cases} 3x - 2 \geq 2,5, \\ |x| \leq 3; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} 2x - 6,1 \geq 4,5, \\ |x| > 3; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} 3|x| - 5 \geq 2,5, \\ |x| \leq 3; \end{cases}$$

4)

$$\begin{cases} 5,1 - 2|x| \leq 4,5, \\ |x| \leq 3. \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2 \ge 2.5 \\ |x| \le 3 \end{cases} $.
Сначала решим первое неравенство:
$3x - 2 \ge 2.5$
$3x \ge 2.5 + 2$
$3x \ge 4.5$
$x \ge \frac{4.5}{3}$
$x \ge 1.5$
Решение первого неравенства — промежуток $x \in [1.5; +\infty)$.
Теперь решим второе неравенство:
$|x| \le 3$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 \le x \le 3$
Решение второго неравенства — промежуток $x \in [-3; 3]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[1.5; +\infty)$ и $[-3; 3]$.
На числовой оси это будет выглядеть так:

Пересечением является промежуток $[1.5; 3]$.
Ответ: $x \in [1.5; 3]$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 6.1 \ge 4.5 \\ |x| > 3 \end{cases} $.
Решим первое неравенство:
$2x - 6.1 \ge 4.5$
$2x \ge 4.5 + 6.1$
$2x \ge 10.6$
$x \ge \frac{10.6}{2}$
$x \ge 5.3$
Решение первого неравенства — промежуток $x \in [5.3; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$|x| > 3$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x > 3$ или $x < -3$
Решение второго неравенства — объединение промежутков $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $[5.3; +\infty) \cap ((-\infty; -3) \cup (3; +\infty))$.
Пересечение с промежутком $(-\infty; -3)$ пусто. Пересечение с промежутком $(3; +\infty)$ дает $[5.3; +\infty)$.

Общим решением является промежуток $[5.3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [5.3; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3|x| - 5 \ge 2.5 \\ |x| \le 3 \end{cases} $.
Решим первое неравенство:
$3|x| - 5 \ge 2.5$
$3|x| \ge 2.5 + 5$
$3|x| \ge 7.5$
$|x| \ge \frac{7.5}{3}$
$|x| \ge 2.5$
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 2.5$ или $x \le -2.5$.
Решение первого неравенства — объединение промежутков $(-\infty; -2.5] \cup [2.5; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$|x| \le 3$
Это равносильно $-3 \le x \le 3$, то есть промежутку $x \in [-3; 3]$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty; -2.5] \cup [2.5; +\infty))$ и $[-3; 3]$.
Это можно сделать по частям:
1) $(-\infty; -2.5] \cap [-3; 3] = [-3; -2.5]$
2) $[2.5; +\infty) \cap [-3; 3] = [2.5; 3]$
Объединив эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-3; -2.5] \cup [2.5; 3]$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5.1 - 2|x| \le 4.5 \\ |x| \le 3 \end{cases} $.
Решим первое неравенство:
$5.1 - 2|x| \le 4.5$
$-2|x| \le 4.5 - 5.1$
$-2|x| \le -0.6$
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$|x| \ge \frac{-0.6}{-2}$
$|x| \ge 0.3$
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 0.3$ или $x \le -0.3$.
Решение первого неравенства — объединение промежутков $(-\infty; -0.3] \cup [0.3; +\infty)$.
Решение второго неравенства $|x| \le 3$ — это промежуток $x \in [-3; 3]$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty; -0.3] \cup [0.3; +\infty))$ и $[-3; 3]$.
Найдем пересечение по частям:
1) $(-\infty; -0.3] \cap [-3; 3] = [-3; -0.3]$
2) $[0.3; +\infty) \cap [-3; 3] = [0.3; 3]$
Объединяем полученные промежутки.

Ответ: $x \in [-3; -0.3] \cup [0.3; 3]$.