Номер 50, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (50–51):

50. 1) $y = \frac{1}{x}$;

2) $y = -\frac{1}{x}$;

3) $y = \frac{2}{x}$;

4) $y = \frac{1}{x - 1}$;

5) $y = x^2$;

6) $y = -x^3$;

7) $y = -2x^3$;

8) $y = 0,5x^3$.

1) $y = \frac{1}{x}$

Это график обратной пропорциональности, который называется гиперболой. Он является базовым для функций вида $y = k/x$.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как на ноль делить нельзя.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как дробь никогда не равна нулю.
- Асимптоты: оси координат. Вертикальная — $x = 0$ (ось Oy), горизонтальная — $y = 0$ (ось Ox).
- Симметрия: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
- Расположение: ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.
Ключевые точки: $(-2, -0.5)$, $(-1, -1)$, $(-0.5, -2)$, $(0.5, 2)$, $(1, 1)$, $(2, 0.5)$.

Ответ:

2) $y = -\frac{1}{x}$

Этот график является гиперболой, полученной из графика $y = \frac{1}{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox (или оси Oy).
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты: $x = 0$ и $y = 0$.
- Симметрия: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
- Расположение: ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.
Ключевые точки: $(-2, 0.5)$, $(-1, 1)$, $(-0.5, 2)$, $(0.5, -2)$, $(1, -1)$, $(2, -0.5)$.

Ответ:

3) $y = \frac{2}{x}$

Это гипербола. График получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. Ветви графика будут дальше от осей координат.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты: $x = 0$ и $y = 0$.
- Расположение: ветви в I и III четвертях.
Ключевые точки: $(-2, -1)$, $(-1, -2)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$.

Ответ:

4) $y = \frac{1}{x-1}$

Это гипербола. График получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, так как знаменатель $x-1 \neq 0$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты: Вертикальная — $x = 1$, горизонтальная — $y = 0$.
Ключевые точки: $(-1, -0.5)$, $(0, -1)$, $(0.5, -2)$, $(1.5, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 0.5)$.

Ответ:

5) $y = x^2$

Это график квадратичной функции, называемый параболой. Вершина параболы находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как квадрат любого числа неотрицателен.
- Симметрия: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
Ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

Ответ:

6) $y = -x^3$

Это кубическая парабола. График получается из графика $y = x^3$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Симметрия: функция нечетная, $y(-x) = -(-x)^3 = x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Функция является убывающей на всей области определения.
Ключевые точки: $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$.

Ответ:

7) $y = -2x^3$

Это кубическая парабола. График получается из $y = x^3$ отражением относительно оси Ox и растяжением вдоль оси Oy в 2 раза. Он будет "круче", чем график $y = -x^3$.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Симметрия: нечетная функция, график симметричен относительно начала координат.
Ключевые точки: $(-1.5, 6.75)$, $(-1, 2)$, $(0, 0)$, $(1, -2)$, $(1.5, -6.75)$.

Ответ:

8) $y = 0.5x^3$

Это кубическая парабола. График получается из $y = x^3$ сжатием вдоль оси Oy в 2 раза (коэффициент 0.5). Он будет более "пологим", чем график $y = x^3$.
Свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Симметрия: нечетная функция, график симметричен относительно начала координат.
- Функция является возрастающей на всей области определения.
Ключевые точки: $(-2, -4)$, $(-1, -0.5)$, $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(2, 4)$.

Ответ: