Номер 47, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47. Найдите наименьшее и наибольшее целые значения переменной x, для которых верно неравенство:

1) $|\frac{5}{8}x - 4| \le 1\frac{2}{9}$;

2) $|4\frac{1}{3}x - 5,3| < 2\frac{4}{9}$;

3) $|9,7 - 5\frac{1}{4}x| \le 9\frac{4}{7}$;

4) $|2,6 - 3\frac{1}{3}x| < 3\frac{2}{3}$.

1) Исходное неравенство $|\frac{5}{8}x - 4| \le 1\frac{2}{9}$.
Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{11}{9} \le \frac{5}{8}x - 4 \le \frac{11}{9}$
Прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-4$ в центре:
$4 - \frac{11}{9} \le \frac{5}{8}x \le 4 + \frac{11}{9}$
$\frac{36}{9} - \frac{11}{9} \le \frac{5}{8}x \le \frac{36}{9} + \frac{11}{9}$
$\frac{25}{9} \le \frac{5}{8}x \le \frac{47}{9}$
Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{8}{5}$:
$\frac{25}{9} \cdot \frac{8}{5} \le x \le \frac{47}{9} \cdot \frac{8}{5}$
$\frac{5 \cdot 8}{9} \le x \le \frac{376}{45}$
$\frac{40}{9} \le x \le \frac{376}{45}$
Для нахождения целых решений преобразуем неправильные дроби в смешанные числа:
$4\frac{4}{9} \le x \le 8\frac{16}{45}$
Примерные десятичные значения: $4,44... \le x \le 8,35...$
Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 5, 6, 7, 8.
Наименьшее из них - 5, а наибольшее - 8.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 5, наибольшее – 8.

2) Исходное неравенство $|4\frac{1}{3}x - 5,3| < 2\frac{4}{9}$.
Неравенство с модулем вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
Сначала переведем все смешанные дроби и десятичные числа в неправильные дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$; $5,3 = \frac{53}{10}$; $2\frac{4}{9} = \frac{22}{9}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{22}{9} < \frac{13}{3}x - \frac{53}{10} < \frac{22}{9}$
Прибавим $\frac{53}{10}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{53}{10} - \frac{22}{9} < \frac{13}{3}x < \frac{53}{10} + \frac{22}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 90:
$\frac{53 \cdot 9 - 22 \cdot 10}{90} < \frac{13}{3}x < \frac{53 \cdot 9 + 22 \cdot 10}{90}$
$\frac{477 - 220}{90} < \frac{13}{3}x < \frac{477 + 220}{90}$
$\frac{257}{90} < \frac{13}{3}x < \frac{697}{90}$
Умножим все части на $\frac{3}{13}$:
$\frac{257}{90} \cdot \frac{3}{13} < x < \frac{697}{90} \cdot \frac{3}{13}$
$\frac{257}{30 \cdot 13} < x < \frac{697}{30 \cdot 13}$
$\frac{257}{390} < x < \frac{697}{390}$
Оценим значения дробей: $\frac{257}{390} \approx 0,66$ и $\frac{697}{390} \approx 1,79$.
Таким образом, $0,66 < x < 1,79$.
Единственное целое число в этом интервале - это 1. Значит, наименьшее и наибольшее целые значения совпадают.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 1, наибольшее – 1.

3) Исходное неравенство $|9,7 - 5\frac{1}{4}x| \le 9\frac{4}{7}$.
Это неравенство вида $|A| \le B$, которое равносильно $-B \le A \le B$.
Переведем все числа в неправильные дроби: $9,7 = \frac{97}{10}$; $5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $9\frac{4}{7} = \frac{67}{7}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{67}{7} \le \frac{97}{10} - \frac{21}{4}x \le \frac{67}{7}$
Вычтем $\frac{97}{10}$ из всех частей:
$-\frac{67}{7} - \frac{97}{10} \le -\frac{21}{4}x \le \frac{67}{7} - \frac{97}{10}$
Приведем к общему знаменателю 70:
$\frac{-670 - 679}{70} \le -\frac{21}{4}x \le \frac{670 - 679}{70}$
$-\frac{1349}{70} \le -\frac{21}{4}x \le -\frac{9}{70}$
Умножим все части на $-\frac{4}{21}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-\frac{9}{70}) \cdot (-\frac{4}{21}) \le x \le (-\frac{1349}{70}) \cdot (-\frac{4}{21})$
$\frac{9 \cdot 4}{70 \cdot 21} \le x \le \frac{1349 \cdot 4}{70 \cdot 21}$
Сократим дроби:
$\frac{3 \cdot 2}{35 \cdot 7} \le x \le \frac{1349 \cdot 2}{35 \cdot 21}$
$\frac{6}{245} \le x \le \frac{2698}{735}$
Оценим значения дробей: $\frac{6}{245} \approx 0,024$ и $\frac{2698}{735} \approx 3,67$.
Неравенство для $x$: $0,024 \le x \le 3,67$.
Целые значения $x$ в этом промежутке: 1, 2, 3.
Наименьшее целое значение равно 1, наибольшее - 3.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 1, наибольшее – 3.

4) Исходное неравенство $|2,6 - 3\frac{1}{3}x| < 3\frac{2}{3}$.
Это неравенство вида $|A| < B$, равносильное $-B < A < B$.
Переведем все числа в неправильные дроби: $2,6 = \frac{13}{5}$; $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$.
Запишем двойное неравенство:
$-\frac{11}{3} < \frac{13}{5} - \frac{10}{3}x < \frac{11}{3}$
Вычтем $\frac{13}{5}$ из всех частей:
$-\frac{11}{3} - \frac{13}{5} < -\frac{10}{3}x < \frac{11}{3} - \frac{13}{5}$
Приведем к общему знаменателю 15:
$\frac{-55 - 39}{15} < -\frac{10}{3}x < \frac{55 - 39}{15}$
$-\frac{94}{15} < -\frac{10}{3}x < \frac{16}{15}$
Умножим все части на $-\frac{3}{10}$ и поменяем знаки неравенства на противоположные:
$\frac{16}{15} \cdot (-\frac{3}{10}) < x < (-\frac{94}{15}) \cdot (-\frac{3}{10})$
$-\frac{16 \cdot 3}{15 \cdot 10} < x < \frac{94 \cdot 3}{15 \cdot 10}$
Сократим дроби:
$-\frac{16}{5 \cdot 10} < x < \frac{94}{5 \cdot 10}$
$-\frac{16}{50} < x < \frac{94}{50}$
$-\frac{8}{25} < x < \frac{47}{25}$
Переведем в десятичные дроби для удобства: $-0,32 < x < 1,88$.
Целые значения $x$ в этом интервале: 0, 1.
Наименьшее целое значение равно 0, наибольшее - 1.
Ответ: наименьшее целое значение $x$ равно 0, наибольшее – 1.