Номер 37, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. Решите систему уравнений с параметром:

1)

$\begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ ax + 2y = -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} -3x + 4y = -2, \\ 5ax - 2y = -6; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 12x - 3y - 7 = 0, \\ 3ax + 2y = -3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2ax - 3y = 5, \\ 4ax + 5y = 12. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ ax + 2y = -3. \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x$ и $y$. Решим ее методом Крамера. Найдем главный определитель системы (детерминант матрицы коэффициентов):
$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ a & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-3) \cdot a = 4 + 3a. $
Система имеет единственное решение, если главный определитель не равен нулю:
$ \Delta \neq 0 \implies 4 + 3a \neq 0 \implies a \neq -4/3. $
При этом условии найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3) = 10 - 9 = 1. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ a & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - 5 \cdot a = -6 - 5a. $
Тогда решение системы:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{1}{4 + 3a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-6 - 5a}{4 + 3a}. $
Теперь рассмотрим случай, когда главный определитель равен нулю:
$ \Delta = 0 \implies 4 + 3a = 0 \implies a = -4/3. $
В этом случае система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Так как вспомогательный определитель $ \Delta_x = 1 \neq 0 $, то система не имеет решений.
Проверим это подстановкой $ a = -4/3 $ в исходную систему:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ -\frac{4}{3}x + 2y = -3. \end{cases} $
Умножим второе уравнение на $ -3/2 $:
$ (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{4}{3}x + 2y) = (-\frac{3}{2}) \cdot (-3) \implies 2x - 3y = \frac{9}{2}. $
Получили систему, в которой левые части уравнений равны, а правые — нет ($5 \neq 4.5$), следовательно, система несовместна.
Ответ: если $ a \neq -4/3 $, то $ x = \frac{1}{4 + 3a}, y = \frac{-6 - 5a}{4 + 3a} $; если $ a = -4/3 $, то решений нет.

2) Дана система уравнений:$ \begin{cases} -3x + 4y = -2, \\ 5ax - 2y = -6. \end{cases} $
Найдем главный определитель системы:
$ \Delta = \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5a & -2 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (-2) - 4 \cdot (5a) = 6 - 20a. $
Система имеет единственное решение при $ \Delta \neq 0 $:
$ 6 - 20a \neq 0 \implies 20a \neq 6 \implies a \neq 3/10. $
При этом условии найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -6 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-2) - 4 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 5a & -6 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (-6) - (-2) \cdot (5a) = 18 + 10a. $
Решение системы при $ a \neq 3/10 $:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{28}{6 - 20a} = \frac{14}{3 - 10a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{18 + 10a}{6 - 20a} = \frac{2(9 + 5a)}{2(3 - 10a)} = \frac{9 + 5a}{3 - 10a}. $
Рассмотрим случай $ \Delta = 0 $, то есть $ a = 3/10 $.
Поскольку $ \Delta_x = 28 \neq 0 $, система не имеет решений при этом значении параметра.
Ответ: если $ a \neq 3/10 $, то $ x = \frac{14}{3 - 10a}, y = \frac{9 + 5a}{3 - 10a} $; если $ a = 3/10 $, то решений нет.

3) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 12x - 3y - 7 = 0, \\ 3ax + 2y = -3. \end{cases} $
Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $ 12x - 3y = 7 $.
Найдем главный определитель системы:
$ \Delta = \begin{vmatrix} 12 & -3 \\ 3a & 2 \end{vmatrix} = 12 \cdot 2 - (-3) \cdot (3a) = 24 + 9a. $
Система имеет единственное решение при $ \Delta \neq 0 $:
$ 24 + 9a \neq 0 \implies 9a \neq -24 \implies a \neq -8/3. $
Найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 7 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3) = 14 - 9 = 5. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 12 & 7 \\ 3a & -3 \end{vmatrix} = 12 \cdot (-3) - 7 \cdot (3a) = -36 - 21a. $
Решение системы при $ a \neq -8/3 $:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{5}{24 + 9a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-36 - 21a}{24 + 9a} = \frac{-3(12 + 7a)}{3(8 + 3a)} = -\frac{12 + 7a}{8 + 3a}. $
Рассмотрим случай $ \Delta = 0 $, то есть $ a = -8/3 $.
Поскольку $ \Delta_x = 5 \neq 0 $, система не имеет решений при данном значении параметра.
Ответ: если $ a \neq -8/3 $, то $ x = \frac{5}{24 + 9a}, y = -\frac{12 + 7a}{8 + 3a} $; если $ a = -8/3 $, то решений нет.

4) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 2ax - 3y = 5, \\ 4ax + 5y = 12. \end{cases} $
Рассмотрим особый случай, когда $ a = 0 $. Система принимает вид:
$ \begin{cases} -3y = 5, \\ 5y = 12. \end{cases} \implies \begin{cases} y = -5/3, \\ y = 12/5. \end{cases} $
Так как $ -5/3 \neq 12/5 $, система несовместна, и при $ a = 0 $ решений нет.
Теперь рассмотрим случай, когда $ a \neq 0 $. Найдем главный определитель системы:
$ \Delta = \begin{vmatrix} 2a & -3 \\ 4a & 5 \end{vmatrix} = (2a) \cdot 5 - (-3) \cdot (4a) = 10a + 12a = 22a. $
Так как мы рассматриваем $ a \neq 0 $, то $ \Delta = 22a \neq 0 $, и система имеет единственное решение.
Найдем вспомогательные определители:
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 12 & 5 \end{vmatrix} = 5 \cdot 5 - (-3) \cdot 12 = 25 + 36 = 61. $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2a & 5 \\ 4a & 12 \end{vmatrix} = (2a) \cdot 12 - 5 \cdot (4a) = 24a - 20a = 4a. $
Решение системы при $ a \neq 0 $:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{61}{22a}, $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{4a}{22a} = \frac{2}{11}. $
Этот результат подтверждает, что при $ a=0 $ (когда $ \Delta=0 $ и $ \Delta_x \neq 0 $) решений нет.
Ответ: если $ a \neq 0 $, то $ x = \frac{61}{22a}, y = \frac{2}{11} $; если $ a = 0 $, то решений нет.