Страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.21. Докажите тождество:

1) $\frac{x}{x - y} + \frac{3x}{x + y} - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = \frac{4x}{x + y}$;

2) $\left( \frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x + 2} \right) : \left( - \frac{4}{x^2 - 4} \right) = x - 1.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой части.

Левая часть уравнения: $\frac{x}{x-y} + \frac{3x}{x+y} - \frac{2xy}{x^2-y^2}$.

Заметим, что знаменатель третьей дроби является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Это и будет общим знаменателем для всех трех дробей.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$:

$\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{3x(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)}$

Теперь сложим и вычтем числители, оставив общий знаменатель:

$\frac{x(x+y) + 3x(x-y) - 2xy}{(x-y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 + xy + 3x^2 - 3xy - 2xy}{(x-y)(x+y)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^2 + 3x^2) + (xy - 3xy - 2xy)}{(x-y)(x+y)} = \frac{4x^2 - 4xy}{(x-y)(x+y)}$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки в числителе:

$\frac{4x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$, при условии что $x \neq y$:

$\frac{4x}{x+y}$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $\frac{x}{x-y} + \frac{3x}{x+y} - \frac{2xy}{x^2-y^2}$ после преобразований равна правой части $\frac{4x}{x+y}$, что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать тождество, мы выполним действия в левой части уравнения по порядку.

Сначала упростим выражение в первых скобках: $\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$.

Знаменатель первой дроби $x^2-4$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Этот знаменатель будет общим для всех трех дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x^2}{(x-2)(x+2)} - \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Объединим дроби:

$\frac{x^2 - x(x+2) - 2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - (x^2 + 2x) - (2x - 4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 - x^2 - 2x - 2x + 4}{(x-2)(x+2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-4x + 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{-4(x-1)}{x^2-4}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{-4(x-1)}{x^2-4} : \left(-\frac{4}{x^2-4}\right) = \frac{-4(x-1)}{x^2-4} \cdot \left(-\frac{x^2-4}{4}\right)$

Выполним умножение и сокращение. Произведение двух отрицательных выражений положительно.

$\frac{4(x-1)(x^2-4)}{4(x^2-4)}$

Сократим общие множители $4$ и $(x^2-4)$, при условии что $x \neq \pm2$:

$x-1$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $\left(\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}\right) : \left(-\frac{4}{x^2-4}\right)$ после преобразований равна правой части $x-1$, что и требовалось доказать.

2.22. Равны ли значения числовых выражений:

1) $\sqrt{100}$ и $\sqrt{4 \cdot \sqrt{25}}$ ;

2) $\sqrt{3600}$ и $\sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$ ;

3) $\sqrt{169}$ и $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}$ ?

1) Чтобы определить, равны ли значения выражений $\sqrt{100}$ и $\sqrt{4} \cdot \sqrt{25}$, мы можем вычислить значение каждого выражения отдельно.

Вычислим значение первого выражения:
$\sqrt{100} = 10$.

Вычислим значение второго выражения:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.

Сравнивая результаты, мы видим, что $10 = 10$.

В качестве альтернативного решения можно использовать свойство корня из произведения, которое гласит, что для неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
В нашем случае $100 = 4 \cdot 25$, поэтому:
$\sqrt{100} = \sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25}$.
Это доказывает, что значения выражений равны, не прибегая к полным вычислениям.

Ответ: да, значения выражений равны.

2) Сравним значения выражений $\sqrt{3600}$ и $\sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$.

Вычислим значение первого выражения:
$\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = 6 \cdot 10 = 60$.

Вычислим значение второго выражения:
$\sqrt{144} \cdot \sqrt{25} = 12 \cdot 5 = 60$.

Сравнивая результаты, получаем $60 = 60$.

Также, как и в предыдущем пункте, можно применить свойство корня из произведения. Проверим, равно ли подкоренное выражение первого корня произведению подкоренных выражений второго:
$144 \cdot 25 = 144 \cdot \frac{100}{4} = 36 \cdot 100 = 3600$.
Поскольку $3600 = 144 \cdot 25$, то на основании свойства корня из произведения $\sqrt{3600} = \sqrt{144 \cdot 25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$.

Ответ: да, значения выражений равны.

3) Сравним значения выражений $\sqrt{\frac{169}{100}}$ и $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}$.

Для решения этой задачи используется свойство корня из частного (дроби): $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применив это свойство к первому выражению, мы видим, что оно в точности равно второму выражению:
$\sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}$.
Это означает, что выражения тождественно равны. Мы можем подтвердить это, вычислив их значения.

Вычислим значение первого выражения:
$\sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10} = 1,3$.

Вычислим значение второго выражения:
$\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} = 1,3$.

Результаты совпадают: $1,3 = 1,3$.

Ответ: да, значения выражений равны.

2.23. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{25^2 - 24^2}$ ;

2) $\sqrt{25^2 \cdot 16}$ ;

3) $\sqrt{\frac{225}{9}}$ ;

4) $\left(\sqrt{13^2}\right)^2$ .

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{25^2 - 24^2}$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Применим эту формулу к выражению под корнем:
$25^2 - 24^2 = (25 - 24)(25 + 24) = 1 \cdot 49 = 49$.
Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{25^2 \cdot 16}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{25^2 \cdot 16} = \sqrt{25^2} \cdot \sqrt{16}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = a$ для $a \ge 0$. Таким образом, $\sqrt{25^2} = 25$.
Также, $\sqrt{16} = 4$.
Найдем произведение полученных значений:
$25 \cdot 4 = 100$.
Ответ: 100

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{225}{9}}$, можно сначала выполнить деление под знаком корня.
$225 \div 9 = 25$.
Теперь извлечем корень из результата:
$\sqrt{25} = 5$.
Другой способ — использовать свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{225}{9}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5$.
Ответ: 5

4) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{13^2})^2$, воспользуемся определением квадратного корня. Для любого неотрицательного числа $x$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
В нашем случае $x = 13^2$, что является неотрицательным числом.
Таким образом, $(\sqrt{13^2})^2 = 13^2$.
Вычислим $13^2$:
$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$.
Ответ: 169