Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.7. Представьте выражение в виде частного корней:

1) $\sqrt{\frac{7}{11}}$;

2) $\sqrt{\frac{a}{17}}$;

3) $\sqrt{\frac{5}{c}}$;

4) $\sqrt{\frac{y}{131}}$;

5) $\sqrt{\frac{5}{47c}}$;

6) $\sqrt{\frac{2y}{231}}$;

7) $\sqrt{\frac{15}{57a}}$;

8) $\sqrt{\frac{21y}{56}}$.

1) Чтобы представить выражение в виде частного корней, используется свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a \ge 0$ и $b > 0$).
Применяя это свойство к выражению $\sqrt{\frac{7}{11}}$, получаем:
$\sqrt{\frac{7}{11}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}$

2) Используя свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, представим выражение $\sqrt{\frac{a}{17}}$. Выражение имеет смысл при $a \ge 0$.
$\sqrt{\frac{a}{17}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{17}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{17}}$

3) Для выражения $\sqrt{\frac{5}{c}}$ применим свойство корня из частного. Выражение определено при $c > 0$.
$\sqrt{\frac{5}{c}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{c}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{c}}$

4) По аналогии с предыдущими примерами, представим $\sqrt{\frac{y}{131}}$ в виде частного корней. Выражение имеет смысл при $y \ge 0$.
$\sqrt{\frac{y}{131}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{131}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{131}}$

5) Применяем свойство корня из частного к выражению $\sqrt{\frac{5}{47c}}$. Область определения выражения требует, чтобы $47c > 0$, то есть $c > 0$.
$\sqrt{\frac{5}{47c}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{47c}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{47c}}$

6) Представим выражение $\sqrt{\frac{2y}{231}}$ в виде частного корней. Выражение определено при $2y \ge 0$, то есть $y \ge 0$.
$\sqrt{\frac{2y}{231}} = \frac{\sqrt{2y}}{\sqrt{231}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2y}}{\sqrt{231}}$

7) Для выражения $\sqrt{\frac{15}{57a}}$ сначала упростим дробь под корнем, сократив ее на 3.
$\frac{15}{57a} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 19a} = \frac{5}{19a}$
Исходное выражение становится $\sqrt{\frac{5}{19a}}$. Оно имеет смысл при $a > 0$.
Теперь применим свойство корня из частного:
$\sqrt{\frac{5}{19a}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{19a}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{19a}}$

8) В выражении $\sqrt{\frac{21y}{56}}$ сначала упростим подкоренное выражение, сократив дробь на 7.
$\frac{21y}{56} = \frac{7 \cdot 3y}{7 \cdot 8} = \frac{3y}{8}$
Исходное выражение становится $\sqrt{\frac{3y}{8}}$. Оно определено при $y \ge 0$.
Применяем свойство корня из частного:
$\sqrt{\frac{3y}{8}} = \frac{\sqrt{3y}}{\sqrt{8}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3y}}{\sqrt{8}}$

3.8. Найдите значение произведения:

1) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{24};$

2) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52};$

3) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{28};$

4) $\sqrt{4,5} \cdot \sqrt{50};$

5) $\sqrt{162} \cdot \sqrt{32};$

6) $\sqrt{1,1} \cdot \sqrt{9,9}.$

Для решения всех заданий используется свойство произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

1) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{24}$

Объединим выражения под один корень и выполним умножение:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144}$

Квадратный корень из 144 равен 12.

$\sqrt{144} = 12$

Альтернативный способ: разложим 24 на множители.

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6 \cdot 4} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{6})^2 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$

Ответ: 12

2) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$

Объединим под один корень и разложим 52 на множители, чтобы выделить полный квадрат:

$52 = 4 \cdot 13$

$\sqrt{13} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{13 \cdot 52} = \sqrt{13 \cdot (13 \cdot 4)} = \sqrt{13^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(13 \cdot 2)^2} = \sqrt{26^2} = 26$

Ответ: 26

3) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{28}$

Аналогично предыдущему примеру, разложим 28 на множители:

$28 = 4 \cdot 7$

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{7 \cdot (7 \cdot 4)} = \sqrt{7^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(7 \cdot 2)^2} = \sqrt{14^2} = 14$

Ответ: 14

4) $\sqrt{4,5} \cdot \sqrt{50}$

Перемножим подкоренные выражения:

$\sqrt{4,5 \cdot 50} = \sqrt{225}$

Квадратный корень из 225 равен 15.

$\sqrt{225} = 15$

Альтернативный способ: представим 4,5 в виде дроби.

$\sqrt{4,5} = \sqrt{\frac{9}{2}}$

$\sqrt{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{\frac{9 \cdot 50}{2}} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

5) $\sqrt{162} \cdot \sqrt{32}$

Разложим оба подкоренных выражения на множители, чтобы упростить вычисление:

$162 = 81 \cdot 2 = 9^2 \cdot 2$

$32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2$

$\sqrt{162} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{162 \cdot 32} = \sqrt{(9^2 \cdot 2) \cdot (4^2 \cdot 2)} = \sqrt{9^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(9 \cdot 4 \cdot 2)^2} = \sqrt{72^2} = 72$

Ответ: 72

6) $\sqrt{1,1} \cdot \sqrt{9,9}$

Объединим под один корень и разложим 9,9 на множители:

$9,9 = 9 \cdot 1,1$

$\sqrt{1,1} \cdot \sqrt{9,9} = \sqrt{1,1 \cdot 9,9} = \sqrt{1,1 \cdot (9 \cdot 1,1)} = \sqrt{1,1^2 \cdot 9} = \sqrt{1,1^2} \cdot \sqrt{9} = 1,1 \cdot 3 = 3,3$

Ответ: 3,3

3.9. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}$;

2) $\sqrt{6} : \sqrt{24}$;

3) $\sqrt{0.5} \cdot \sqrt{0.32}$;

4) $\sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{63}{125}};

5) $\sqrt{3\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{0.2}$;

6) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{135}}$.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{63} \cdot \sqrt{28} $ воспользуемся свойством произведения квадратных корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{63 \cdot 28} $

Чтобы упростить извлечение корня, разложим подкоренные числа на множители:

$ 63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7 $

$ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $

Тогда произведение под корнем равно:

$ 63 \cdot 28 = (9 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 7) = 9 \cdot 4 \cdot 7^2 = 36 \cdot 49 $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42 $

Ответ: 42

2) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{6} : \sqrt{24} $ воспользуемся свойством частного квадратных корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.

$ \sqrt{6} : \sqrt{24} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{6}{24}} $

Сократим дробь под корнем:

$ \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

3) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{0,5} \cdot \sqrt{0,32} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{0,5} \cdot \sqrt{0,32} = \sqrt{0,5 \cdot 0,32} $

Вычислим произведение под корнем:

$ 0,5 \cdot 0,32 = 0,16 $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{0,16} = 0,4 $

Ответ: 0,4

4) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{63}{125}} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{63}{125}} = \sqrt{\frac{5}{7} \cdot \frac{63}{125}} $

Упростим произведение дробей под корнем, сократив общие множители:

$ \frac{5}{7} \cdot \frac{63}{125} = \frac{5 \cdot (7 \cdot 9)}{7 \cdot (5 \cdot 25)} = \frac{9}{25} $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $

5) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{3\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{0,2} $ сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.

$ 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5} $

$ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Теперь выражение имеет вид: $ \sqrt{\frac{16}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} $

Воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:

$ \sqrt{\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{25}} $

Извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $

6) Для вычисления значения выражения $ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{135}} $ воспользуемся свойством $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.

$ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{135}} = \sqrt{\frac{15}{135}} $

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 15:

$ \frac{15}{135} = \frac{15}{15 \cdot 9} = \frac{1}{9} $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

3.10. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение выражения с точностью до 0,01:

1) $3 \cdot \sqrt{15}$;

2) $12 \cdot \sqrt{215}$;

3) $0,4 \cdot \sqrt{315}$;

4) $0,1 \cdot \sqrt{95} : 5$.

1) Вычислим приближенное значение выражения $3 \cdot \sqrt{15}$ с точностью до 0,01.
С помощью калькулятора находим, что $\sqrt{15} \approx 3,872983...$
Умножаем это значение на 3: $3 \cdot 3,872983... = 11,618949...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону: $11,618949... \approx 11,62$.
Ответ: $11,62$

2) Вычислим приближенное значение выражения $12 \cdot \sqrt{215}$ с точностью до 0,01.
С помощью калькулятора находим, что $\sqrt{215} \approx 14,662878...$
Умножаем это значение на 12: $12 \cdot 14,662878... = 175,954536...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 4. Так как $4 < 5$, оставляем предыдущую цифру без изменений: $175,954536... \approx 175,95$.
Ответ: $175,95$

3) Вычислим приближенное значение выражения $0,4 \cdot \sqrt{315}$ с точностью до 0,01.
С помощью калькулятора находим, что $\sqrt{315} \approx 17,748239...$
Умножаем это значение на 0,4: $0,4 \cdot 17,748239... = 7,0992956...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону. Округление 7,09 вверх дает 7,10: $7,0992956... \approx 7,10$.
Ответ: $7,10$

4) Вычислим приближенное значение выражения $0,1 \cdot \sqrt{95} : 5$ с точностью до 0,01. Это выражение можно записать в виде дроби $\frac{0,1 \cdot \sqrt{95}}{5}$.
С помощью калькулятора находим, что $\sqrt{95} \approx 9,746794...$
Выполним вычисления в числителе: $0,1 \cdot 9,746794... = 0,9746794...$
Теперь разделим результат на 5: $0,9746794... : 5 = 0,1949358...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 4. Так как $4 < 5$, оставляем предыдущую цифру без изменений: $0,1949358... \approx 0,19$.
Ответ: $0,19$

3.11. Используя таблицу квадратов натуральных чисел от 10 до 99 (с.183), найдите значение выражения:

1) $\sqrt{115600}$;

2) $\sqrt{7,29} - 3,25$;

3) $\sqrt{42,25 - 6,05}$;

4) $\sqrt{0,1296} + 4,06$.

Вычислите (3.12—3.13):

1) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{115\ 600}$, представим подкоренное число в виде произведения двух множителей, из которых легко извлекается квадратный корень: $115\ 600 = 1156 \cdot 100$.

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получаем:

$\sqrt{115\ 600} = \sqrt{1156 \cdot 100} = \sqrt{1156} \cdot \sqrt{100}$

Известно, что $\sqrt{100} = 10$.

Для нахождения $\sqrt{1156}$ обратимся к таблице квадратов чисел от 10 до 99. Нам нужно найти число, квадрат которого равен 1156. Заметим, что $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$, значит, искомое число находится в промежутке от 30 до 40. Так как число 1156 оканчивается на 6, его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Проверим число 34: $34^2 = 1156$.

Таким образом, $\sqrt{1156} = 34$.

Окончательно вычисляем значение выражения: $\sqrt{115\ 600} = 34 \cdot 10 = 340$.

Ответ: $340$.

2) В выражении $\sqrt{7,29} - 3,25$ сначала необходимо вычислить значение квадратного корня.

Представим десятичную дробь 7,29 в виде обыкновенной дроби: $7,29 = \frac{729}{100}$.

Тогда $\sqrt{7,29} = \sqrt{\frac{729}{100}} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{729}}{10}$.

Найдем $\sqrt{729}$ с помощью таблицы квадратов. Так как $20^2 = 400$ и $30^2 = 900$, корень из 729 лежит между 20 и 30. Последняя цифра 9 указывает, что корень оканчивается на 3 или 7. Проверим число 27: $27^2 = 729$.

Следовательно, $\sqrt{7,29} = \frac{27}{10} = 2,7$.

Теперь выполним вычитание: $2,7 - 3,25 = -0,55$.

Ответ: $-0,55$.

3) В данном выражении $\sqrt{42,25 - 6,05}$ знак корня (винкулум) покрывает оба числа, что означает необходимость сначала выполнить вычитание. Однако, результат $42,25 - 6,05 = 36,2$ не позволяет легко извлечь корень с помощью таблицы квадратов целых чисел. Вероятно, в условии допущена опечатка, и выражение должно иметь вид $\sqrt{42,25} - 6,05$, аналогично пунктам 2 и 4. Решим задачу в этой более вероятной постановке.

Сначала вычислим $\sqrt{42,25}$.

Представим $42,25$ в виде дроби: $42,25 = \frac{4225}{100}$.

Тогда $\sqrt{42,25} = \sqrt{\frac{4225}{100}} = \frac{\sqrt{4225}}{10}$.

С помощью таблицы квадратов найдем $\sqrt{4225}$. Число оканчивается на 5, поэтому его корень тоже должен оканчиваться на 5. Проверим число 65: $65^2 = 4225$.

Таким образом, $\sqrt{42,25} = \frac{65}{10} = 6,5$.

Теперь выполним вычитание: $6,5 - 6,05 = 6,50 - 6,05 = 0,45$.

Ответ: $0,45$.

4) В выражении $\sqrt{0,1296} + 4,06$ сначала найдем значение квадратного корня.

Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,1296 = \frac{1296}{10000}$.

Тогда $\sqrt{0,1296} = \sqrt{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt{1296}}{\sqrt{10000}} = \frac{\sqrt{1296}}{100}$.

Найдем $\sqrt{1296}$ по таблице квадратов. Поскольку $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$, корень находится между 30 и 40. Последняя цифра 6 означает, что корень оканчивается на 4 или 6. Проверим число 36: $36^2 = 1296$.

Следовательно, $\sqrt{0,1296} = \frac{36}{100} = 0,36$.

Теперь выполним сложение: $0,36 + 4,06 = 4,42$.

Ответ: $4,42$.

3.12.

1) $3 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{44}$;

2) $\sqrt{3^4} \cdot \sqrt{7^2}$;

3) $\sqrt{13^2 \cdot 2^4}$;

4) $0,2 \cdot \sqrt{\frac{4}{25}}$.

1) $3 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{44}$

Для решения воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для $a \ge 0, b \ge 0$.

$3 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{44} = 3 \cdot \sqrt{11 \cdot 44}$

Разложим число 44 на множители, чтобы выделить полный квадрат:

$44 = 4 \cdot 11$

Подставим это в выражение под корнем:

$3 \cdot \sqrt{11 \cdot 4 \cdot 11} = 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 11^2}$

Теперь используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и извлечем корни:

$3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{11^2} = 3 \cdot 2 \cdot 11$

Вычислим произведение:

$3 \cdot 2 \cdot 11 = 6 \cdot 11 = 66$

Ответ: $66$

2) $\sqrt{3^4} \cdot \sqrt{7^2}$

Для извлечения корня из степени воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$

$\sqrt{7^2} = 7$

Теперь перемножим полученные значения:

$9 \cdot 7 = 63$

Ответ: $63$

3) $\sqrt{13^2 \cdot 2^4}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{13^2 \cdot 2^4} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{2^4}$

Извлечем корень из каждого множителя, используя свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$:

$\sqrt{13^2} = 13$

$\sqrt{2^4} = \sqrt{(2^2)^2} = 2^2 = 4$

Перемножим полученные результаты:

$13 \cdot 4 = 52$

Ответ: $52$

4) $0,2 \cdot \sqrt{\frac{4}{25}}$

Сначала вычислим значение корня из дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$

Теперь нужно умножить 0,2 на полученную дробь. Переведем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Выполним умножение дробей:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{2}{25}$

Для получения конечного ответа переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{2}{25} = \frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100} = 0,08$

Альтернативный способ: можно было дробь $\frac{2}{5}$ перевести в десятичную: $\frac{2}{5} = 0,4$. Тогда $0,2 \cdot 0,4 = 0,08$.

Ответ: $0,08$

3.13. 1) $\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48}$;

2) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{56} \cdot \sqrt{7}$;

3) $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{4\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{6\frac{1}{4}}$;

4) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{27}$.

1) Чтобы вычислить произведение $\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48}$, воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и вынесем множители из-под знака корня.
Сначала упростим каждый корень по отдельности.
$\sqrt{0,25} = 0,5$.
Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Разложим число 48 на множители: $48 = 16 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$0,5 \cdot (5\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) = (0,5 \cdot 5 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 10 \cdot 3 = 30$.
Ответ: 30

2) Для вычисления выражения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{56} \cdot \sqrt{7}$ объединим все числа под один корень, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{56} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{2 \cdot 56 \cdot 7}$.
Разложим число 56 на множители, чтобы найти полные квадраты: $56 = 8 \cdot 7$.
Подставим разложение в выражение под корнем:
$\sqrt{2 \cdot (8 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 49}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{16} \cdot \sqrt{49} = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

3) Для решения выражения $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{4\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{6\frac{1}{4}}$ сначала преобразуем все числа в дроби.
$0,5 = \frac{1}{2}$.
$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$.
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{\frac{25}{4}}$.
Используем свойство произведения корней и объединим все дроби под один корень:
$\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 9 \cdot 25}{2 \cdot 2 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{225}{16}}$.
Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{16}} = \frac{15}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную: $\frac{15}{4} = 3,75$.
Ответ: 3,75

4) Чтобы вычислить $\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{27}$, объединим множители под одним знаком корня:
$\sqrt{5 \cdot 15 \cdot 27}$.
Разложим числа 15 и 27 на простые множители для упрощения:
$15 = 3 \cdot 5$.
$27 = 3 \cdot 9$.
Подставим разложения в выражение под корнем:
$\sqrt{5 \cdot (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)}$.
Сгруппируем одинаковые множители:
$\sqrt{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 9} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 9}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 \cdot 3 = 45$.
Ответ: 45

3.14. Найдите значение выражения:

1) $5\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7});$

2) $0,2\sqrt{72} \cdot (-\sqrt{2});$

3) $5\sqrt{49} \cdot (-\sqrt{7})^2;$

4) $5\sqrt{81} - (-\sqrt{5})^2.$

1) Чтобы найти значение выражения $5\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7})$, сгруппируем множители: $5 \cdot \sqrt{7} \cdot (-1) \cdot \sqrt{7} = -5 \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7})$. По определению квадратного корня, произведение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$. Следовательно, $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$. Подставляем это значение в выражение и получаем: $-5 \cdot 7 = -35$.
Ответ: -35.

2) Для вычисления выражения $0,2\sqrt{72} \cdot (-\sqrt{2})$ воспользуемся свойством умножения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Перемножим числовые коэффициенты и подкоренные выражения: $0,2 \cdot (-1) \cdot \sqrt{72 \cdot 2} = -0,2 \cdot \sqrt{144}$. Так как квадратный корень из 144 равен 12, то выражение становится равным $-0,2 \cdot 12$. Результат умножения равен -2,4.
Ответ: -2,4.

3) В выражении $5\sqrt{49} \cdot (-\sqrt{7})^2$ сначала выполним операции извлечения корня и возведения в степень. Квадратный корень из 49 равен 7: $\sqrt{49} = 7$. При возведении в квадрат $(-\sqrt{7})^2$, отрицательный знак исчезает, а корень и степень взаимно уничтожаются, так что $(-\sqrt{7})^2 = 7$. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $5 \cdot 7 \cdot 7$. Выполняем умножение: $5 \cdot 49 = 245$.
Ответ: 245.

4) В выражении $5\sqrt{81} - (-\sqrt{5})^2$ сначала вычисляем каждое слагаемое по отдельности. Для первого слагаемого, $5\sqrt{81}$, находим корень: $\sqrt{81} = 9$. Тогда $5 \cdot 9 = 45$. Для второго слагаемого, $(-\sqrt{5})^2$, возводим в квадрат: $(-\sqrt{5})^2 = 5$. Теперь выполняем вычитание: $45 - 5 = 40$.
Ответ: 40.

3.15. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

1) $\sqrt{x - 4,5}$;

2) $\sqrt{2x - 0,74}$;

3) $57\sqrt{4,3 - x}$;

4) $x\sqrt{28 - 4x}$.

1) Допустимые значения переменной в выражении $\sqrt{x - 4,5}$ определяются условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Составим и решим неравенство:

$x - 4,5 \ge 0$

Перенесем 4,5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 4,5$

Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения, которые больше или равны 4,5.

Ответ: $x \ge 4,5$

2) Для выражения $\sqrt{2x - 0,74}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2x - 0,74 \ge 0$

Перенесем -0,74 в правую часть, поменяв знак:

$2x \ge 0,74$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \ge \frac{0,74}{2}$

$x \ge 0,37$

Следовательно, допустимыми значениями являются все числа, большие или равные 0,37.

Ответ: $x \ge 0,37$

3) В выражении $57\sqrt{4,3 - x}$ числовой множитель 57 не влияет на область допустимых значений. Условие существования корня — неотрицательность подкоренного выражения:

$4,3 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства (это эквивалентно прибавлению $x$ к обеим частям):

$4,3 \ge x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$x \le 4,3$

Таким образом, допустимыми являются все значения переменной, которые меньше или равны 4,3.

Ответ: $x \le 4,3$

4) В выражении $x\sqrt{28 - 4x}$ множитель $x$ перед корнем может принимать любые действительные значения. Ограничение накладывает только квадратный корень. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$28 - 4x \ge 0$

Перенесем $-4x$ в правую часть, изменив знак:

$28 \ge 4x$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{28}{4} \ge x$

$7 \ge x$

Или, что то же самое:

$x \le 7$

Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все числа, меньшие или равные 7.

Ответ: $x \le 7$

Решите уравнения, ответ округлите до тысячных (3.16–3.17):

3.16. 1) $x^2 - 7 = 0;$ 2) $2x^2 - 34 = 0;$

3) $138 - 3x^2 = 0;$ 4) $0,3x^2 - 5,4 = 0.$

1) $x^2 - 7 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 7$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение такого вида имеет два противоположных по знаку корня:

$x = \pm\sqrt{7}$

Теперь вычислим приближенное значение корня и округлим результат до тысячных (трех знаков после запятой):

$\sqrt{7} \approx 2,64575...$

Округляя до тысячных, получаем $2,646$.

Ответ: $x \approx \pm 2,646$

2) $2x^2 - 34 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$2x^2 = 34$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{34}{2}$

$x^2 = 17$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{17}$

Вычислим и округлим до тысячных:

$\sqrt{17} \approx 4,12310...$

Округляя до тысячных, получаем $4,123$.

Ответ: $x \approx \pm 4,123$

3) $138 - 3x^2 = 0$

Перенесем член, содержащий $x^2$, в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:

$138 = 3x^2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = \frac{138}{3}$

$x^2 = 46$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{46}$

Вычислим и округлим до тысячных:

$\sqrt{46} \approx 6,78232...$

Округляя до тысячных, получаем $6,782$.

Ответ: $x \approx \pm 6,782$

4) $0,3x^2 - 5,4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$0,3x^2 = 5,4$

Разделим обе части уравнения на 0,3:

$x^2 = \frac{5,4}{0,3}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x^2 = \frac{54}{3} = 18$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{18}$

Вычислим и округлим до тысячных:

$\sqrt{18} \approx 4,24264...$

Округляя до тысячных, получаем $4,243$.

Ответ: $x \approx \pm 4,243$