Номер 3.13, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.13. 1) $\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48}$;

2) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{56} \cdot \sqrt{7}$;

3) $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{4\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{6\frac{1}{4}}$;

4) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{27}$.

1) Чтобы вычислить произведение $\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48}$, воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и вынесем множители из-под знака корня.
Сначала упростим каждый корень по отдельности.
$\sqrt{0,25} = 0,5$.
Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Разложим число 48 на множители: $48 = 16 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$0,5 \cdot (5\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) = (0,5 \cdot 5 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 10 \cdot 3 = 30$.
Ответ: 30

2) Для вычисления выражения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{56} \cdot \sqrt{7}$ объединим все числа под один корень, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{56} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{2 \cdot 56 \cdot 7}$.
Разложим число 56 на множители, чтобы найти полные квадраты: $56 = 8 \cdot 7$.
Подставим разложение в выражение под корнем:
$\sqrt{2 \cdot (8 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 49}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{16} \cdot \sqrt{49} = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

3) Для решения выражения $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{4\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{6\frac{1}{4}}$ сначала преобразуем все числа в дроби.
$0,5 = \frac{1}{2}$.
$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$.
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{\frac{25}{4}}$.
Используем свойство произведения корней и объединим все дроби под один корень:
$\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 9 \cdot 25}{2 \cdot 2 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{225}{16}}$.
Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{16}} = \frac{15}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную: $\frac{15}{4} = 3,75$.
Ответ: 3,75

4) Чтобы вычислить $\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{27}$, объединим множители под одним знаком корня:
$\sqrt{5 \cdot 15 \cdot 27}$.
Разложим числа 15 и 27 на простые множители для упрощения:
$15 = 3 \cdot 5$.
$27 = 3 \cdot 9$.
Подставим разложения в выражение под корнем:
$\sqrt{5 \cdot (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)}$.
Сгруппируем одинаковые множители:
$\sqrt{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 9} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 9}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 \cdot 3 = 45$.
Ответ: 45