Номер 3.19, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.19. Вычислите:

1) $((\sqrt{3})^2)^3$;

2) $(-(-\sqrt{2})^2)^3$;

3) $(-\frac{1}{5}(\sqrt{5})^2)^3$;

4) $(-\frac{1}{2}(\sqrt{3})^{-1})^6$.

1) Чтобы вычислить данное выражение, воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(( \sqrt{3} )^2)^3 = ( \sqrt{3} )^{2 \cdot 3} = ( \sqrt{3} )^6$
Так как $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, то:
$( 3^{\frac{1}{2}} )^6 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 3^3 = 27$
Другой способ — пошаговое вычисление. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках:
$( \sqrt{3} )^2 = 3$
Затем полученный результат возведем в куб:
$3^3 = 27$
Ответ: 27

2) Вычислим выражение по шагам, начиная с самых внутренних скобок.
Сначала возведем в квадрат $-\sqrt{2}$:
$(-\sqrt{2})^2 = (-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) = 2$
Теперь выражение выглядит так:
$(-(2))^3 = (-2)^3$
Возводим -2 в третью степень:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
Ответ: -8

3) Сначала упростим выражение внутри внешних скобок.
Вычислим $(\sqrt{5})^2$:
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Теперь умножим результат на $-\frac{1}{5}$:
$-\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$
Полученное значение возведем в третью степень:
$(-1)^3 = -1$
Таким образом, $((-\frac{1}{5}(\sqrt{5})^2)^3) = (-1)^3 = -1$.
Ответ: -1

4) Упростим выражение в скобках. Сначала разберемся с отрицательной степенью.
$(\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Теперь выражение в скобках принимает вид:
$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$
Возведем полученный результат в шестую степень:
$(-\frac{1}{2\sqrt{3}})^6$
Так как степень четная (6), отрицательный знак исчезает:
$(\frac{1}{2\sqrt{3}})^6 = \frac{1^6}{(2\sqrt{3})^6} = \frac{1}{2^6 \cdot (\sqrt{3})^6}$
Вычислим знаменатель:
$2^6 = 64$
$(\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27$
Теперь перемножим значения в знаменателе:
$64 \cdot 27 = 1728$
Итоговый результат:
$\frac{1}{1728}$
Ответ: $\frac{1}{1728}$