Номер 3.23, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.23. При каких значениях переменной a имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3a} + \sqrt{-4a}$;

2) $2 - \sqrt{a^2 + 3}$;

3) $\sqrt{\frac{a}{|a|}} - 7$;

4) $\sqrt{-a^4 - 0,02}$?

1) Выражение $\sqrt{3a} + \sqrt{-4a}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3a \ge 0 \\ -4a \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. Из $3a \ge 0$ следует, что $a \ge 0$.

2. Из $-4a \ge 0$ следует, что $a \le 0$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный).

Теперь найдем пересечение решений $a \ge 0$ и $a \le 0$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 0.

Ответ: $a = 0$.

2) Выражение $2 - \sqrt{a^2 + 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$a^2 + 3 \ge 0$

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $a$, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма $a^2 + 3$ всегда будет больше или равна 3, то есть $a^2 + 3 \ge 3$.

Так как $3 > 0$, то неравенство $a^2 + 3 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $a$.

Ответ: $a$ — любое действительное число.

3) Выражение $\sqrt{\frac{a}{|a|}} - 7$ имеет смысл, когда выполняются два условия:

1. Знаменатель не равен нулю: $|a| \ne 0$, что означает $a \ne 0$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{a}{|a|} \ge 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $a$:

• Если $a > 0$, то $|a| = a$. Тогда подкоренное выражение равно $\frac{a}{a} = 1$. Так как $1 \ge 0$, это условие выполняется. Значит, все $a > 0$ подходят.

• Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Тогда подкоренное выражение равно $\frac{a}{-a} = -1$. Так как $-1 < 0$, это условие не выполняется.

Объединяя результаты, получаем, что выражение имеет смысл только при $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

4) Выражение $\sqrt{-a^4 - 0,02}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$-a^4 - 0,02 \ge 0$

Рассмотрим выражение $a^4$. Так как степень четная, $a^4 \ge 0$ для любого действительного значения $a$.

Тогда $-a^4 \le 0$.

Следовательно, выражение $-a^4 - 0,02$ всегда будет отрицательным или, в лучшем случае, равным $-0,02$ (когда $a=0$). То есть $-a^4 - 0,02 \le -0,02$.

Неравенство $-a^4 - 0,02 \ge 0$ никогда не выполняется, так как левая часть всегда меньше или равна $-0,02$.

Ответ: таких значений $a$ не существует.