Номер 3.29, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.29. Верно ли равенство $x\sqrt{6} = \sqrt{6x^2}$ :

1) при $x = 3$;

2) при $x = -3$;

3) при $x \ge 0$;

4) при $x \le 0$?

1) при x = 3
Подставим значение $x = 3$ в левую и правую части равенства $x\sqrt{6} = \sqrt{6x^2}$.
Левая часть: $3\sqrt{6}$.
Правая часть: $\sqrt{6 \cdot 3^2} = \sqrt{6 \cdot 9} = \sqrt{54}$.
Чтобы сравнить $3\sqrt{6}$ и $\sqrt{54}$, внесем множитель 3 под знак корня. Так как $3 > 0$, то $3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$.
Получаем, что левая часть равна правой: $\sqrt{54} = \sqrt{54}$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

2) при x = -3
Подставим значение $x = -3$ в левую и правую части равенства.
Левая часть: $-3\sqrt{6}$. Это отрицательное число.
Правая часть: $\sqrt{6 \cdot (-3)^2} = \sqrt{6 \cdot 9} = \sqrt{54}$. Это положительное число, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
Отрицательное число не может быть равно положительному: $-3\sqrt{6} \neq \sqrt{54}$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

3) при x ≥ 0
Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{6x^2}$. По свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{6x^2} = \sqrt{6}\sqrt{x^2} = \sqrt{6}|x|$.
Тогда исходное равенство $x\sqrt{6} = \sqrt{6x^2}$ можно переписать в виде $x\sqrt{6} = |x|\sqrt{6}$.
По определению модуля, если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Подставив это в наше преобразованное равенство, получаем $x\sqrt{6} = x\sqrt{6}$.
Это тождество, которое верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $x \ge 0$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

4) при x ≤ 0
Как и в предыдущем пункте, преобразуем равенство к виду $x\sqrt{6} = |x|\sqrt{6}$.
По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Подставив это в равенство, получаем $x\sqrt{6} = -x\sqrt{6}$.
Это равенство выполняется только при $x = -x$, то есть $2x = 0$, откуда $x=0$.
При $x = 0$ равенство верно: $0\cdot\sqrt{6} = \sqrt{6 \cdot 0^2} \Rightarrow 0 = 0$.
Однако для любого другого значения $x$ из промежутка $x \le 0$ (то есть для всех $x < 0$) равенство не выполняется. Например, мы уже показали в пункте 2, что для $x=-3$ оно неверно.
Так как равенство должно выполняться для всех $x$ из указанного промежутка, а оно выполняется только для одной точки $x=0$, то утверждение в целом неверно.
Ответ: неверно.